【考研类试卷】考研数学一(线性代数)-试卷36及答案解析.doc
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1、考研数学一(线性代数)-试卷 36 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 与 B 相似,E 为 n 阶单位矩阵,则 ( )(分数:2.00)A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t,tE-A 与 tE-B 相似3.设 A 为 n 阶矩阵,下列命题正确的是 ( )(分数:2.00)A.若 为 A T 的特征向量,那么 为 A 的特征向量B.若 为 A
2、 * 的特征向量,那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量,那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量,那么 为 A 的特征向量4.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1, 2 =2, 3 =3,则 2A * 的特征值是 ( )(分数:2.00)A.1,2,3B.4,6,12C.2,4,6D.8,16,245.已知 A 是 3 阶矩阵,r(A)=1,则 =0 ( )(分数:2.00)A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能6.已知 1 , 2 是方程(2E-A)X=0 的两个不同的解向量,则下列
3、向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )(分数:2.00)A. 1B. 2C. 1 - 2D. 1 + 27.设 (分数:2.00)A. 1 =1,2,1 TB. 2 =1,-2,1 TC. 3 =2,1,2 TD. 4 =2,1,-2 T8.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:5,分数:10.00)9.设 A 是 3 阶矩阵,A=3,且满足A 2 +2A=0,2A 4 +A=0,则 A * 的特征值是 1(分数:2.00)填空项 1:_10.设 A 是 N 阶实对称阵, 1 , 2 , n 是 A 的 n 个互不相同的
4、特征值, 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量,则矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_11.矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_12.设 A 是 n 阶矩阵, 是 A 的 r 重特征根,A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个,则 k 满足 1(分数:2.00)填空项 1:_13.与 1 =1,2,3,- T , 2 =0,1,1,2 T , 3 =2,1,3,0 T 都正交的单位向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:12,分数:34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 A= (分数:2.00)_16.证明:AB,
5、其中 (分数:2.00)_17.设 A 是 n 阶矩阵,满足 A 2 =A,且 r(A)=r(0rn)证明: (分数:2.00)_18.设 A,B 均为 n 阶矩阵,A 有 n 个互不相同的特征值,且 AB=BA证明:B 相似于对角阵(分数:2.00)_19.设 =a 1 ,a 2 ,a n T 0,A= T ,求可逆阵 P,使 P -1 AP=A(分数:2.00)_设 A=E+ T ,其中 =a 1 ,a 2 ,a n T 0,=b 1 ,b 2 ,b n T 0,且 T =2(分数:4.00)(1).求 A 的特征值和特征向量;(分数:2.00)_(2).求可逆矩阵 P,使得 P -1 A
6、p=A(分数:2.00)_设向量 =a 1 ,a 2 ,a n T ,=b 1 ,b 2 ,b n T 都是非零向量,且满足条件 T =0,记 n 阶矩阵 A= T ,求:(分数:6.00)(1).A 2 ;(分数:2.00)_(2).A 的特征值和特征向量;(分数:2.00)_(3).A 能否相似于对角阵,说明理由(分数:2.00)_设 a 0 ,a 1 ,a n-1 是 n 个实数,方阵 (分数:4.00)(1).若 是 A 的特征值,证明:=1, 2 , T 是 A 的对应于特征值 的特征向量;(分数:2.00)_(2).若 A 有 n 个互异的特征值 1 , 2 , n ,求可逆阵 P
7、,使 p -1 AP=A(分数:2.00)_20.设 (分数:2.00)_设 A 是三阶矩阵, 1 =1, 2 =2, 3 =3 是 A 的特征值,对应的特征向量分别是 1 =E2,2,-1 T , 2 =-1,2,2 T , 3 =2,-1,2 T 又 =1,2,3 T 计算:(分数:4.00)(1).A n 1 ;(分数:2.00)_(2).A n (分数:2.00)_已知二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= (分数:4.00)(1).写出二次型 f 的矩阵表达式;(分数:2.00)_(2).用正交变换把二次型 f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵(分数:2.00)_考研数学一(线
8、性代数)-试卷 36 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 与 B 相似,E 为 n 阶单位矩阵,则 ( )(分数:2.00)A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t,tE-A 与 tE-B 相似 解析:解析:A 与 B 相似,存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP=B,则 tE-B=tE-P -1 AP=P -1 (tE)P-P -1 AP=
9、P -1 (tE-A)P,即 tE-A 与 tE-B 相似,选(D)对于(A):由 E-A=E-B,有 A=B;对于(B):A 与 B 相似,则A 与 B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同;对于(C):A 与 B 不一定能够相似对角化3.设 A 为 n 阶矩阵,下列命题正确的是 ( )(分数:2.00)A.若 为 A T 的特征向量,那么 为 A 的特征向量B.若 为 A * 的特征向量,那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量,那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量,那么 为 A 的特征向量 解析:解析:矩阵 A T 与 A 的特征值相同,但特征向量不一定相同
10、,故(A)错误 假设 为 A 的特征向量, 为其特征值,当 0 时 也为 A * 的特征向量这是由于 但反之, 为 A * 的特征向量,那么 不一定为 A 的特征向量例如:当 r(A)n-1 时,A * =O,此时,任意 n 维非零列向量都是 A * 的特征向量,故 A * 的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误 假设 为 A 的特征向量, 为其特征值,则 为 A 2 的特征向量这是由于 A 2 =A(A)=A= 2 但反之,若 为 A 2 的特征向量, 不一定为 A 的特征向量例如:假设 A 1 = 1 ,A 2 =- 2 ,其中 1 , 2 0此时有 A 2 ( 1 + 2 )=
11、A 2 1 +A 2 2 = 1 + 2 ,可知 1 + 2 为 A 2 的特征向量但 1 , 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量,它们的和 1 + 2 不是 A 的特征向量故(C)错误 若 为 2A 的特征向量,则存在实数 使得 2A=,此时有 4.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1, 2 =2, 3 =3,则 2A * 的特征值是 ( )(分数:2.00)A.1,2,3B.4,6,12 C.2,4,6D.8,16,24解析:解析:2A * 的特征值是 5.已知 A 是 3 阶矩阵,r(A)=1,则 =0 ( )(分数:2.00)A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特
12、征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析:解析:A 是三阶矩阵,r(A)=1,r(0E-A)=1 (0E-A)X=0 有两个线性无关特征向量,故 =0 至少是二重特征值,也可能是三重,例如:6.已知 1 , 2 是方程(2E-A)X=0 的两个不同的解向量,则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )(分数:2.00)A. 1B. 2C. 1 - 2 D. 1 + 2解析:解析:因 1 2 ,故 1 - 2 0,且仍有关系 A( 1 - 2 )= 1 - 2 =( 1 - 2 ),故 1 - 2 是 A 的特征向量 而(A) 1 ,(B) 2 ,(
13、D) 1 + 2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量7.设 (分数:2.00)A. 1 =1,2,1 TB. 2 =1,-2,1 T C. 3 =2,1,2 TD. 4 =2,1,-2 T解析:解析:因 A 2 = 8.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:四个选项的矩阵,特征值均为 1,1,2,能相似于对角阵的矩阵,要求对应二重特征值 1 = 2 =1,有两个线性无关特征向量对(C)而言,因 二、填空题(总题数:5,分数:10.00)9.设 A 是 3 阶矩阵,A=3,且满足A 2 +2A=0,2A 4 +A=0,则 A * 的特征值
14、是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:AA+2E=0,因A=3,则A+2E=0,故 A 有特征值 1 =-2 又 因A=3= 1 2 3 ,故 3 =3 A=, A * A=A * , A * 故 A * 有特征值 10.设 A 是 N 阶实对称阵, 1 , 2 , n 是 A 的 n 个互不相同的特征值, 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量,则矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0, 2 , 3 , n)解析:解析:因 A 是实对称阵, 1 , 2 , n 互不相同,对应的特征向量 1 , 2 , n 相互正交,故
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