[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷6及答案与解析.doc

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1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)，独立同分布，且方差 20，记的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C） （D）12 设相互独立的两随机变量 X 与 Y 均服从分布 B 则 PX2Y=( )3 已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY)=( )（A）0（B）（C）（D）14 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 均服从分布 。则( )（A）X 1+X2 与 X3+X4 同分布（B） X1

2、一 X2 与 X3 一 X4 同分布（C） (X1，X 2)与(X 3，X 4)同分布（D）X 1，X 22，X 33，X 44 同分布5 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( )6 设相互独立两随机变量 X 和 Y 均服从 则可以作出服从二项分布的随机变量是( )7 设随机变量 (i=1，2) 且满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2等于( )（A）0（B）（C）（D）18 设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 Px=1|X+Y=2的值为( )9 设随机变量 X 和 Y 相互独立同分布，已知 PX=k=p(1 一

3、 p)k-1，k=1 ，2， ，0p1，则 PXY 的值为( )10 设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度（B） F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数（C） F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）f 1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度二、填空题11 一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作，那么到 48 小时为止，系统

4、仅更换一个元件的概率为_12 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2)，则 Pmax(X，Y) 一Pmin(X，Y)=_13 设二维随机变量(X，Y)在 xOy 平面上由直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域上服从均匀分布，则14 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，其中 X1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2服从正态分布 N(0，2 2)， X3 服从参数为 3 的泊松分布，则 D(X1 一 2X2+3X3)=_15 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，E(X i)=，D(X i)=8(i=1，2， ，n)，则概率16 设 X 和 Y 为两个随机变量

5、，且 PX0，Y0= ，PX0=P(Y0)= ，则Pmax(X，Y) 0=_17 设平面区域 D 由曲线 及直线 y=0，x=1 ，x=e 2 所围成，二维随机变量(X， Y)在区域 D 上服从均匀分布，则 (X，Y)关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为_18 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 则PX+Y1=_19 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则PmaxX，Y1=_20 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则PX+Y1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设

6、二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 一 x+，一y+，求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)22 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 令随机变量(I)求 Y 的分布函数；( )求概率 PXY23 设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1 ，1)四个值，其相应的概率分别为 (I)求(X ，Y)的联合概率分布；() 求关于 X 与关于 Y 的边缘概率分布；()求在 Y=1 条件下关于 X 的条件分布与在 X=1 条件下关于 Y 的条件分布24 设(X，Y)的联合分布函数为 其中参数 0，试求 X 与 Y 的边缘分布函数25 将三

7、封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒记 X 为 1 号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目求：(I)(X，Y)的联合概率分布；()Y 的边缘分布；()在 X=0 条件下，关于 y 的条件分布26 编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 求(X 1，X 2)的联合分布27 设随机变量 Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p 的 01 分布，令求随机变量(X 1，X 2)的联合分布28 设在一高速公路的某一路段，每年发生交通事故的次数 XP(20) 对每次交通事故而言，有人死亡的概率为 p=005设各次交通事故的后果是相互独

8、立的，以Y 记一年中发生的引起死亡的交通事故的次数，求 Y 的分布律29 在时刻 t=0 时开始计时，设事件 A1，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为求 A1 先于 A2 发生的概率30 设二维随机变量(X 1，Y 1)与(X 2，Y 2)的联合概率密度分别为求：(I)常数 k1，k 2 的值； ()X i，Y i(i=1，2)的边缘概率密度； ( )PX i2Y i(i=1，2)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 故选项 B 正确

9、【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 PX2Y=PX=0+PX=1，Y=1= +PX=1PY=1=故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 根据题设知 所以(X，Y) 的联合密度函数故选项D 正确【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 故选项D 正确【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X 一 N(0,1)与 YN(1 ，1)以及 X 与 Y 相互独立，得 X+YN(1，2)，XYN(一 1，2) 因为，若 ZN(， 2)，则必有比较四个选项，只有选项 B 正确【知识模块】

10、概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 不难计算出选项 A、C、D 的分布律，它们均不服从二项分布【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 由 PX1X2=0=1 得知，PX 1X20=0于是根据 X1，X 2 的分布律，有 PX 1=一 1，X 2=一 1=0，PX 1=一，X 2=1=0 PX 1=1，X 2=一 1=0， PX1=1，X 2=1=0 再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X1，X 2)的联合分布律如下表由上表显然可见，X1=X2 有三种情况，每种情况的概率均为 0，因此 PX1=X2=0，故选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理

11、统计8 【正确答案】 A【试题解析】 PX=1，X+Y=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1 =e -1.e-1=e-2故选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，有 F 1(x)F2(x)=PX1xPX2x =PX1x，X 2x，(因X1 与 X2 相互独立) 令 X=maxX1，X 2，并考虑到 PX1x，X 2x=Pmax(X1，X 2)x，可知，F 1(x)F2(x)必为随机变量 X 的分布函数，即 F X(x)=PXx 故选项 B 正确【知识模块】 概率

12、论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 48e -48【试题解析】 设事件 A=“到 48 小时为止，系统仅更换一个元件”，用元件的寿命来表示 A如果用 Xi 表示第 i 个元件的寿命，根据题意 Xi 相互独立且有相同的密度函数 f(x)= 而事件 A=“第一个元件在 48 小时之前已经损坏，第一个、第二个元件寿命之和要超过 48 小时”=“0X 148，X 1+X248”，所以题意要求 P(A)，如图 31 所示，p(A)=P0X 148，X 1+X248【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0【试题解析】 Pmax(X ， Y)一 Pmin(X，Y) =1 一 Pmax(X，

13、Y)一1一 Pmin(X，Y) =一 Pmax(X，Y)+Pmin(X，Y) =一 PX，Y+PX，Y =一 PX+PX，Y+PX，Y =一 PX+PY 因为 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2)，所以 PX=故 Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y)=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域面积为 A=01(x 一 x2)dx= 所以(X ， Y)的概率密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 46【试题解析】 根据题设可知，D(X 1)= D(X2)=22=4，D(X 3)=3，于是D(X12X2

14、+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+44+93=46,【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 因为随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，因此有根据切比雪夫不等式，有【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 设 A=X 0，B=Y0 ，因此 Pmax(X，Y)0=1 一Pmax(X，Y)0=1 一 PX0，Y0【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 区域 D 的面积为 因此(X ，Y)的联合概率密度是 且其关于 x 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 已

15、知二维随机变量(X，Y)的概率密度 f(x，y)，求满足一定条件的概率 Pg(X，Y)z 0，一般可转化为二重积分 Pg(X，Y)z 0= f(x，y)dxdy 进行计算根据题设可得，如图 32 所示，【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 根据题设可知，X 与 Y 具有相同的概率密度则 PmaxX，Y1=PX1，Y1 =PX1PY1=(PX1)2=【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 根据正态分布的性质，即服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以(X+Y)N(1，2)，利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 知，PX+Y1

16、=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 根据概率密度的性质 -+-+f(x， y)dxdy=1，可知【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (I)根据题意可知随机变量 Y 的取值区间为1，2，Y 的分布函数为 F(y)=PYy 当 y1 时，F(y)=0 ； 当 y2 时，F(y)=1 ； 当 1y2 时，F(y)=Pyy=Py1+P1Yy =PX2+P1所以 Y 的分布函数为()根据概率的性质，可得 PXY=1PXY=1 一 PX2=【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (I)根据题意，(X ，Y)的联合概率

17、分布如下表所示()关于 X 与关于 Y 的边缘概率分布分别为表中最右一列与最下一行()因为PX=1= 且在 Y=1 条件下，X 只能取 1，因此关于 X 的条件概率分布为 在 X=1 条件下，Y取一 1 和 1 两个值，其条件概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 当 x0 时，F X(x)=PXx=F(x，+)=1 一 e-x；当 x0 时，F X(x)=0，所以关于 X 的边缘分布函数为 同理，关于 Y的边缘分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (I)根据题意，(X ，Y)的全部可能取值为(0，1) ，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)

18、，(2，2) ，(3，1)，再分别计算相应的概率事件 X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3 个邮筒中的某一个邮筒内 ”根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为 43=64，有利于时间X=0 ，Y=1 的样本点数为 C31=3，于是类似地可以计算出各有关概率值，列表如下：()从表中看出 Y 只取 1， 2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 pij 的各列求和于是 Y 的边缘分布为表中最下行值在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 先求出 Xi 的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分布如果将

19、3 个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为3!=6，PX 1=1=P1 号球落入 1 号盒=又 PX1=1，X 2=1=P1 号球落入 1 号盒，2 号球落入 2 号盒= 依次可求得(X1，X 2)的联合分布为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 根据题意随机变量(X 1，X 2)是离散型的，它的全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0) 题目中是要计算出取各相应值的概率注意事件Y1，Y 2，Y 3 相互独立且服从同参数 P 的 01 分布，所以它们的和 Y1+Y2+Y3 Y服从二项分布 B(3，p)于是 PX 1=0，X 2=0=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2

20、+Y32=PY=0+PY=3=q3+p3， PX1=0，X 2=1=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y3=2=PY=2=3p2q， PX 1=1，X 2=0=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y32=PY=1=3pq2， PX 1=1，X 2=1=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y3=2=P=0 计算可得(X 1，X 2)的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 根据题意 XP(20)，即有在 X 取特定值 m 时，Y 的可能取值为0，1，m因各次交通事故的后果是相互独立的，所以 Y=k|X=m,Y=k=Cmk005 k095 m-k，k=0，1，2，m

21、于是得到 X 和 Y 的联合分布律为 PX=m，Y=k=PY=k|X=mPX=m得 Y的分布律为 PY=k= ，k=0 ，1，2，即 Y 服从参数为 =1 的泊松分布【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 根据 X 和 Y 的独立性，知 X 和 Y 的联合概率密度为按题意需求概率 PXY，如图 33 所示【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (I)由 1= -+-+f1(x，y)dxdy= 0+dy0+k1e-(x+y)dx=k1 解得 k1=1；又由 1= -+-+f2(x，y)dxdy= 0+dyy+k2e-(x+y)dx=0+k2e-2ydy= 解得 k2=2因此(X1，Y 2)与(X 2，Y 2)的概率密度分别为【知识模块】 概率论与数理统计