[考研类试卷]考研数学二（线性方程组）模拟试卷6及答案与解析.doc

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1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为 则自由变量可取为(1)x 4，x 5(2)x 3，x 5(3)x 1，x 5(4)x 2，x 3那么正确的共有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 已知 1,2,3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么下列向量 1 一2， 1+2 一 23, ， 1 一 32+23 中能导出方程组 Ax=0 解的向量共有( )（A）4 个（B） 3 个（C） 2 个（D）1 个3 已知 1=(1， 1，一 1)

2、T， 2=(1，2，0) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是 ( )（A）(1 ，一 1，3) T（B） (2，1，一 3)T（C） (2，2，一 5)T（D）(2 ，一 2，6) T4 设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则 Ax=0 有非零解的充分必要条件是( )（A）r=n（B） rN（C） rn（D）rn5 已知 4 阶方阵 A=(1,2,3,4)， 1,2,3,4 均为四维列向量，其中 1,2 线性无关，若 1+22 一 3=， 1+2+3+4=，2 1+32+3+24=，k 1，k 2 为任意常数，那么Ax= 的

3、通解为( )（A）（B）（C）（D）6 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应的齐次线性方程 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )（A）（B）（C）（D）7 三元一次方程组 329，所代表的三个平面的位置关系为( )（A）（B）（C）（D）8 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0

4、 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解9 要使 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为( )（A）一 2 1 1（B）（C）（D）10 设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0 和()ATAx=0，必有( )（A）(I)的解是()的解，()的解也是(I)的解（B） (I)的解是 ()的解， ()的解不是(I)的解（C） ()的解是(I)的解， (I)的解不是()的解（D）() 的解不是 (I)的解，(I)的解也不是()的解二、填空题11 设 A 为 33 矩阵，且方程组 Ax=0 的基础解系含有两个解向量，则 r

5、(A)=_.12 设 A 是一个五阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 ， 是齐次线性方程组 Ax=0的两个线性无关的解，则 r(A*)=_13 方程组 有非零解，则 k=_14 设 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_15 已知方程组 总有解，则 应满足的条件是_16 已知方程组 有无穷多解，那么 =_17 已知 1， 2 是方程组 的两个不同的解向量，则=_18 四元方程组 Ax=b 的三个解是 1,2,3，其中 1=(1，1，1，1)T， 2+3=(2，3，4，5) T，如果 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是_.19 设 1=(6，一 1，1) T 与 2=(

6、一 7，4，2) T 是线性方程组 的两个解，那么此方程组的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 A=E 一 T，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明：20 A2=A 的充分条件是 T=1；21 当 T=1 时， A 是不可逆矩阵22 设 已知方程组 Ax=b 有无穷多解，求a 的值并求其通解23 设 1,2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t11+t23， s=t11+t21，其中 t1，t 2 为实常数试问 t1，t 2 满足什么条件时， 12 s 也为 Ax=0 的一个基础解系24

7、已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax+26y+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=025 求下列齐次线性方程组的基础解系： (3)nx1+(n 一 1)x2+2xn-1+xn=026 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为 1=(0，1，2，3) T， 2=(3，2，1，0)T26 设四元齐次线性方程组 求：27 方程组 I 与的基础解系；28 I 与 的公共解28 设29 求满足 A2=1，A 2=1 的所有向量 2， 3；30 对(1)中任意向量 2 和 3，证明 1， 2， 3 线性

8、无关30 设 已知线性方程组 Ax=b，存在两个不同的解31 求 ，a；32 求方程组 Ax=b 的通解33 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c 的值34 已知 A 是 mn 矩阵，其 m 个行向量是齐次线性方程组 Cx=0 的基础解系，B是 m 阶可逆矩阵，证明：BA 的行向量也是齐次方程组 Cx=0 的基础解系考研数学二（线性方程组）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为系数矩阵的秩 r(A)=3，有 nr(A)=53=2，故应当有 2 个自由变量由于去掉 x4，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 因为其

9、秩与 r(A)不相等，故 x4，x 5 不是自由变量同理，x 3，x 5 不能是自由变量而 x1，x 2 与x2，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 都不为 0所以应选 B【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 由 Ai=b(i=1，2，3) 有 A(1 一 2)=A1A2=bb=0，A( 1+223)=A1+A22A3=b+b 一 2b=0，A(1 一 32+23)=A1 一3A2+2A3=b 一 3b+2b=0，那么， 12， 1+223， ， 1 一32+23 均是齐次方程组 Ax=0 的解所以应选 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 如果 A

10、 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解因此选项A、D 均不是 Ax=0 的解由于 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，那么 1， 2 可表示Ax=0 的任何一个解 ，亦即方程组 x11，+x 12= 必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，一 5)T 不能由 1， 2 线性表示所以应选 B【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 将矩阵 A 按列分块，A=( 1,2 n)，则 Ax=0 的向量形式为x11+x22+xnn=0，而 Ax=0 有非零解 1,2 n 线性相关所以应选 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【试题解析】 由 1+22

11、一 3= 知 即1=(1，2，一 1，0) T 是 Ax= 的解同理 2=(1，1，1，1) T， 3=(2，3，1，2) T 也均是 Ax= 的解，那么 1=1 一 2=(0，1，一 2，一 1)T， 2=3 一 2=(1，2，0，1)T 是导出组 Ax=0 的解，并且它们线性无关于是 Ax=0 至少有两个线性无关的解向量，有 nr(A)2，即 r(A)2，又因为 1,2 线性无关，有 r(A)=r(1,2,3,4)2所以必有 r(A)=2，从而 nr(A)=2，因此 1， 2 就是 Ax=0 的基础解系，根据解的结构，所以应选 B【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 对

12、于 A、C 选项，因为 所以选项A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确对于选项 D，虽然(1 一 2)是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B事实上，对于选项 B，由于 1， (1 一 2)与 1， 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故 1，( 1 一 2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 可知 是齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B 选项正确【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 C【试题解析】 设方程组的系数矩阵为 A，对增广矩阵 A 作初等行变换，有因为 r(A

13、)=2，而 r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点又因平面的法向量，n1=(1，2，1)，n 2=(2，3，1)，n 3=(1，一 1，一 2)互不平行所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱所以应选 C【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 D【试题解析】 因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r(A)=n 或r(A)n，以此均不能推得 r(A)=r(A；b) 所以选项 A、B 均不正确而由 Ax=b 有无穷多个解可知，r(A)=r(A；b)n根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解所以应选 D【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】

14、A【试题解析】 由题意， 1、 2 与 A 的行向量是正交的，对于选项 A，因(一2，1，1) 1=0，(一 2，1，1) 2=0，而逐一验证可得，其他三个选项均不满足正交条件所以应选 A【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 A【试题解析】 如果 是(I)的解，有 A=0，可得 ATA=AT(A)=AT0=0，即 是()的解故 (I)的解必是 ()的解反之，若 是 ()的解，有 ATA=0，用 T 左乘可得 T(ATA)=(AT)(A)=(A)T(A)=T0=0，若设 A=(b1，b 2，b n)，那么(A)T(A)=b12+b22+bn2=0b i=0(i=1，2，n)即 A=0亦即

15、是(I)的解因此()的解也必是 (I)的解所以应选 A【知识模块】 线性方程组二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为 33 阶，因此 r(A)=n 一 r=32=1【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 0【试题解析】 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=O 的两个线性无关的解因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，有 nr(A)2，即 r(A)3又因为 A 是 5 阶矩阵，而 r(A)3，因此A的 4 阶子式一定全部为 0，因此代数余子式 Aij，恒为零，即 A*=O，所以

16、r(A*)=0【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 一 1【试题解析】 一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即 因此得 k=一1【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 k 1(1，2，一 1)T+k2(1，0，1) T【试题解析】 A 是一个 3 阶矩阵，由已知得A=0，且 r(A)=2，因此 r(A*)=1，那么可知 nr(A*)=3 一 1=2，因此 A*x=0 有两个基础解系，其通解形式为k11+k22又因为 A*A=AE=0 ，因此矩阵 A 的列向量是 A*x=0 的解，故通解是 k1(1，2，一 1)T+k2(1， 0，1) T【知

17、识模块】 线性方程组15 【正确答案】 【试题解析】 对于任意的 b1，b 2，b 3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A的秩为 3，即A0，由【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 3【试题解析】 线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 ，而有无穷多解的充分必要条件是 ，对增广矩阵作初等行变换，有由于 r(A)=2，则可以推出62a=0，因此方程组有无穷多解的充分必要条件是 a=3【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 一 2【试题解析】 因为 1， 2 是方程组的两个不同的解，因此该方程组有无穷多解，即系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且均小于 3，对增广矩阵作初等行变换有因此

18、a=一 2 时，系数矩阵和增广矩阵的秩相等且均为 2故 a=一 2【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 (1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【试题解析】 根据( 2+3)一 21=(2 一 1)+(2 一 1)=(2，3，4，5) T 一2(1，1 ，1，1) T=(0，1，2，3) T，因此可知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解又因为r(A)=3，n 一 r(A)=1，所以 Ax=b 的通解为(1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (6，一 1，1) T+k(13，一 5，一 1)T(k 为任意常数)【试题解析】

19、一方面因为 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，因此一定有 r(A)=r(A)3另一方面由于在系数矩阵 A 中存在 2 阶子式因此一定有 r(A)2，因此必有 r(A)=r(A)=2则 n 一 r(A)=32=1，因此，导出组 Ax=0 的基础解系由一个解向量所构成，根据解的性质可知 1一 2=(6，一 1，1) T 一(一 7，4，2) T=(13，一 5，一 1)T，是导出组 Ax=0 的非零解，即基础解系，那么由非齐次线性方程组解的结构可知(6，一 1，1) T+k(1 3，一 5，一 1)T(k 为任意常数)是方程组的通解【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出

20、文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 A 2=(E 一 T)(E 一 T)=E 一 2T+(T)T=E 一(2 一 T)T 因此A2=AE 一(2 一 T)T=E 一 T( T 一 1)T=0因为 0，所以 T0，因此A2=A 的充分条件为 T=1【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 当 T=1 时，由 A=E 一 T 可得 A= 一 T= 一 =0，因为0，因此 Ax=0 有非零解，即A=0，所以 A 不可逆【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 由题干可知，线性方程组 Ax=b 有无穷多解 对线性方程组 Ax=b 的增广矩阵作初等行变换，【知识

21、模块】 线性方程组23 【正确答案】 因为 i(i=1，2，s)是 1,2 s 的线性组合，且 1,2 s是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知 i(i=1，2，s)均为 Ax=0的解由 1,2 s 是 Ax=0 的基础解系，知 s=nr(A)以下分析 12 s 线性无关的条件：设 k11+k22+kss=0，即(t 1k1+t2ks)1+(t2k1+t1k2)2+(t2k2+t1k3)3+(t2ks-1+t1ks)s=0，由于 1,2 s 线性无关，因此有当 t1s+(一 1)s+1t2s0 时，方程组 (*)只有零解 k1=k2=ks=0因此当 s 为偶数，t1t2，或当 s

22、 为奇数，t 1一 t2 时， 12 s 线性无关【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 方法一：必要性：设三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则其线性方程组为：【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 (1)方程组的系数矩阵所以 r(A)=2，因此基础解系所含向量的个数为 42=2，又原方程组等价于 取 x3=1，x 4=5，得 x1=一4，x 2=2；取 x3=0，x 4=4，得 x1=0，x 2=1因此基础解系为 (2)方程组系数矩阵 得 r(A)=2，基础解系所含向量的个数为 42=2又原方程组等价于 取 x3=1，x 4=2 得x1=0， x2=0；取 x3=0，x 4=

23、19，得 x1=1，x 2=7因此基础解系为(3)记 A=(n，n 一 1，1)，可见 r(A)=1，从而有 n 一 1 个线性无关的解构成此方程的基础解系，原方程组为 xs=一 nx1 一(n 一 1)x2一 2xn-1取 x1=1， x2=x3=xx-1=0，得 xn=一 n；取 x2=1，x 1=x3=x4=xx-1=0，得 xn=一(n 一 1)=一 n+1：取 xn-1=1，x 1=x2=xn-2=0，得 xn=一 2所以基础解系为【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 设所求齐次方程为 Ax=0， 1， 2 是 4 维列向量，基础解系含有 2个向量，因此 r(A)=42=2，即

24、方程的个数大于等于 2记 B=(1， 2)，即有AB=0，且 r(A)=2 即 BTAT=0 且 r(AT)=2所以 AT 的列向量就是 BTx=0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 求方程组 I 的基础解系：系数矩阵为【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T 为 I 与的公共解，用两种方法求 x 的一般表达式：方法一：x 是 I 与的公共解，因此 x 是方程组的解，方程组为 I与联立的方程组，即【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 对增广矩阵(A： 1)作初等行变换，则

25、得 Ax=0 的基础解系(1，一 1，2)T 和 Ax=1 的特解(0，0，1) T故 2=(0，0，1) T+k(1，一 1，2) T 或 2=(k，一2k，2k+1) T，其中 k 为任意常数由于 ，对增广矩阵(A 2； 1)作初等行变换，有 得 A2x=0 的基础解系(一 1，1，0) T，(0，0，1) T又 A2x=1 有特解 故其中 t1，t 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 因为 所以，1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 由已知可得，线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，则故A=0，即【知识模块】 线

26、性方程组32 【正确答案】 当 =一 1，a=一 2 时，【知识模块】 线性方程组33 【正确答案】 由于方程组()中“ 方程个数未知数个数” ，所以方程组() 必有非零解那么方程组(I)必有非零解(I) 的系数矩阵行列式为 0，即对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有则方程组(I)的通解是 k(一 1，一 1，1) T由已知，则(一 1，一 1，1) T 也是方程组()的解，则有【知识模块】 线性方程组34 【正确答案】 由已知可得 A 的行向量是 Cx=0 的解，即 CA T=O则 C(BA)T=CATBT=OBT=0可见 BA 的行向量是方程组 Cx=0 的解由于 A 的行向量是基础解系，所以 A 的行向量线性无关，于是 m=r(A)=nr(C)又因为 B 是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=nr(C)，所以鲋的行向量线性无关，其向量个数正好是 nr(C)，因此是方程组 Cx=0 的基础解系【知识模块】 线性方程组