第四章 线性方程组.ppt

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1、第四章 线性方程组,4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式,惠州学院数学系,伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。 克莱因（Klein F，18491925）,惠州学院数学系,4.1 消元法,1.内容分布4.1.1 线性方程组的初等变换4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵4.1.3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法,惠州学院数学系,前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系

2、数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：,在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.,（1）,惠州学院数学系,例1 解线性方程组：,从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量,（2）,惠州学院数学系,得到：,为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二 个方程交换，得：,惠州学院数学系,现在很容易求出方程组（2）的解. 从第一个方程 减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三 个方程，得,再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：,这样我们就求出方程组的解.,惠州学院数学系,交换两个方程的位置； 用一个不等于零的数某一个方程；

3、 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.,4.1.1 线性方程组的初等变换,线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换：,这三种变换叫作线性方程组的初等变换.,定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组,惠州学院数学系,线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：,而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：,（3）,（4）,惠州学院数学系,4.1.2矩阵的初等变换,叫做一个s行t列（或st）的矩阵，,叫做这个矩阵的元素.,注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.,惠州学院数学系,矩阵（3）和（4

4、）分别叫作线性方程组（1）的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组.,定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换：,3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素后加到另一行（列）的对应元素上.,1) 交换矩阵的两行（列）,2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素；,惠州学院数学系,显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我

5、们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.,在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.,惠州学院数学系,在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵,先化为,然后，进一步化为,定理4.1.2 设A是一个 m行n列的矩阵：,惠

6、州学院数学系,通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为 以下形式：,(5),惠州学院数学系,进而化为以下形式，,（6）,惠州学院数学系,乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适 当倍数，矩阵A化为,若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，,惠州学院数学系,那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为,如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵.,形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是,惠州学院数学系,显然的. 只要把由第一，第二，第r 1 行 分别减去第r 行的适当倍数，再

7、由第一，第二， 第r 2行分别减去第r 1行的适当倍数，等等.,惠州学院数学系,4.1.3用消元法解线性方程组,考察方程组（1）的增广矩阵（4）. 由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）. 对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：,(7),惠州学院数学系,与（7）相当的线性方程组是,（8）,惠州学院数学系,由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程组（8）与方程组（1）同解. 因此，要解方程组（1），只需解方程组（8）. 但方程组（8）是否有解以及有怎样的

8、解都容易看出.,情形1，,惠州学院数学系,情形2，,惠州学院数学系,当r n 时，方程组（9）可以改写成,(10),惠州学院数学系,惠州学院数学系,叫做自由未知量，而把（10）叫做方程组（1）的 一般解.,例2 解线性方程组,这样，线性方程组（1）有没有解，以及有怎样的解，都可以从矩阵（7）看出. 因此，我们完全可以就方程组（9）的增广矩阵来解这个方程组.,惠州学院数学系,施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含 的系数矩阵先化为（5），再化为（6）的形式. 由 第一和第二行分别减去第三行的5 倍和2 倍，然后 把第三行换到第一行的位置，得,解：对增广矩阵,惠州学院数学系,由第二行减去第三

9、行的2倍，得,虽然我们还没有把增广矩阵化成（5）的形式，但已 可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是0 = 5 所以原方程无解.,惠州学院数学系,例3 解线性方程组,解：这里的增广矩阵是,惠州学院数学系,继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为,这个矩阵本质上已有（5）的形式，这一点只要交换 矩阵的第二和第三两列就可以看出. 进一步由第一 行减去第二行的三倍，得出相当于（6）型的矩阵,把第一行的适当倍数加到其它各行，得,惠州学院数学系,对应的线性方程组是,惠州学院数学系,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,1.内容分布 4.2.1 k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩 阵的秩 4.

10、2.2 线性方程组可解的判别法 2.教学目的: 1)理解矩阵秩的定义 2)会用初等变换求矩阵的秩 3)会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 矩阵秩的定义 线性方程组的可解的判别法,惠州学院数学系,4.2.1 k阶子式、 矩阵秩的定义 用初等变换求矩阵的秩,在上一节课讲述了用消元法来解线性方程组：,(1),这个方法在实际解方程组是比较方便的，但是我们还有几个问题没解决。,惠州学院数学系,简化为以下形式一个矩阵,（甲） 利用初等变换把方程组（1）的系数矩阵,（2）,（3）,惠州学院数学系,并且看到，在矩阵（3）中出现的整数r在讨论中占有重要的地位. 但是我们对这个整数还没有什么了解. r 和系数

11、矩阵（2）究竟有什么关系？它是由系数矩阵（2）所唯一决定的，还是依赖于所用的初等变换？因为我们可以用不同的初等变换，把系数矩阵（2）化为形如（3）的矩阵.,（乙） 方程组（1）有解时，它的系数应该满足什么条件？,（丙） 我们没有得出，用方程组的系数和常数项来表示解的公式，而解的公式在理论上有重要的意义.,惠州学院数学系,矩阵的秩 利用一个矩阵的元素可以构成一系列的行列式.,. 位于这些行列交点处的元素（不改变元素相对的位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k阶子式. 我们看一看，在矩阵（3）中出现的整数r和这个矩阵的子式之间有些什么关系. 假定r0 . 这时，矩阵（3）含有一个r 阶的子

12、式：,定义1 在一个s行t列的矩阵中，任取k行k列,惠州学院数学系,定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩. 若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零. 按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数. 一个矩阵A的秩用秩A来表示. 显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩阵的秩才能是零.,这个子式不等于零. 但矩阵（3）不含阶数高于r的不等于零的子式. 这是因为；在r = m 或r = n 时，矩阵（3）根本不含阶数高于r的子式；而当r m ， r n 时，矩阵（3）的任何一个阶数高于r的了式都至少含有一个元素全为零的行，因而必然

13、等于零. 这样，r等于矩阵（3）中的不等于零的子式的最大阶数.,惠州学院数学系,证明 我们先说明以下事实：若是对一个矩阵A施行某一行或列的初等变换而等到矩阵B，那么对B施行同一种初等变换又可以得到A. 事实上，若是交换A的第i行与第j行而得到B，那么交换B 的第i行与第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等于零的数a而得到B，那么将B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以数k加到第i行得到B，那么B的第j行乘以 k加到第i行就得到A. 列的初等变换的情形显然完全一样. 现在我们就用第三种行初等变换来证明定理.,定理4.2.1 初等变换不改变矩阵的秩.,惠州学院数学系,并且A

14、的秩是r . 我们证明，B 的秩也是r . 先证明，B 的秩不超过r . 设矩阵B 有s 阶子式D，而 s r . 那么有三种可能的情形: D不含第i 行的元素，这时D也是矩阵A的一个s阶子式，而s大于A的秩r ，因此D= 0.,设把一矩阵的第j 行乘以k加到第i行而得到矩阵B：,惠州学院数学系,因为后一行列式是矩阵A的一个s阶子式., D含第i行的元素，也含第j行的元素. 这时，由命题3.3.10,惠州学院数学系,这里,D含第i行的元素，但不含第j行的元素，这时,惠州学院数学系,但我们也可以对矩阵B 施行第三种行初等变换而得到 矩阵A. 因此，也有,因此，在矩阵B有阶数大于r的子式的情形，B

15、 的任何 这样的子式都等于零，而B的秩也不超过r . 这样，在任何情形，都有,这样，我们也就证明了，秩A = 秩B ，即第三种行初等变换不改变矩阵的秩. 对于其它的初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立. 这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,4.2.2 线性方程组可解的判别法,定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（1）有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.,惠州学院数学系,那么 的前n 列作成的矩阵 A 就是（1）的系数矩阵. 利用定理4.1.2所指出的那种初等变换把 化为,并且用B表示 的前n列作成的矩阵. 那

16、么由定理4.2.1得：,（4）,惠州学院数学系,故定理得证.,现在设线性方程组（1）有解. 那么或者r = m，或者r m ，而 ，这两种情形都有秩 .于是由（4）得， .,反过来，设 ，那么由（4）得，的秩也是r ，由此得，或者r = m ，或者r m 而 ，因而方程组（1）有解.,定理4.2.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当r 等于方程组所含的未知量的个数n时，方程组有唯一解；当r n 时，方程组有无穷多解.,惠州学院数学系,1.内容分布4.3.1 线性方程组的公式解4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件 2.教学目的 1)

17、会用公式解法解线性方程组 2)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件 3.重点难点 齐次线性方程组有非零解的充要条件,4.3 线性方程组的公式解,惠州学院数学系,4.3.1 线性方程组的公式解,例1 考察线性方程组,(1),(2),考虑线性方程组,惠州学院数学系,那么在这三个方程间有以下关系：,这就是说，第三个方程是前两个方程的结果。因此由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程组和由它的前两个方程所组成的方程组,同解。,惠州学院数学系,证 由于方程组（1）的系数矩阵A的秩是r，所以A至少含有一个r阶子式 。,惠州学院数学系,现在我们证明，方程组（1）的后 m -r 个方程中的每 一个都是（1

18、）的前r 个方程,(3),的结果.,惠州学院数学系,亦即使,(4),惠州学院数学系,方程组（4）的增广矩阵是,而 的前r列作成（4）的系数矩阵B，我们要计算矩阵B和 的秩。注意， 的列刚好是方程组（1）的增广矩阵 的某些行。这样，矩阵 的左上角的 r阶子,惠州学院数学系,式刚好是 子式D 的转置行列式，因而不等于零：,由于 也是矩阵B的子式，所以矩阵B和 的秩都至少是r，另一方面，矩阵 的任一个r +1阶子式 都是 的某一个r +1阶子式的转置行列式。由于 的秩是r，所以 的所有r +1阶子式都等于零，由此得 必然等于零。但 没有阶数高于r +1的子式，所以B和 的秩都是r，而方程组（4）有解

19、。这样我们就证明了，方程组（1）的后m -r个方程都是（1）的前r个方程的结果，而解方程组（1）归结为解方程组（3）。,惠州学院数学系,假定方程组（1）满足定理4.3.1的条件，于是由定理4.3.1，解方程组（1），只需解方程组（3）。我们分别看 的情形。,方程组（1）的公式解：,现在设 ,这时方程组(3)的前r个未知量的系数所构成的行列式 ，在方程组（3）中把含未知量 的项移到右边，,惠州学院数学系,方程组（3）可以写成：,(3),暂时假定 是数，那么（3）变成r 个未知量 的r 个方程。用克拉默规则解出 得,(5),惠州学院数学系,这里,把（5）中的行列式展开，（5）可以写成,(6),惠州

20、学院数学系,这里 都是可以由方程组（1）的系数和常数项表示的数。现仍旧把（6）中 看成未知量，那么（6）是一个线性方程组，从以上的讨论容易看出，方程组（6）与方程组（3）同解，因而和方程组（1）同解。正如用消元法解线性方程组的情形一样，方程组（6）给出方程组（1）的一般解，而 是自由未知量，要求方程组（1）的一个解，只需给予自由未知量 任意一组数值，然后由（6）算出未知量 的对应值，并且（1）的所有解都可以这样得到。,惠州学院数学系,由于（6）的系数和常数项都可以由方程组（1）的 系数和常数项表出，所以（6）或它的前身（5）都 给出求方程组（1）的解的公式。,求解这个方程组的公式，并求出一个解

21、。,惠州学院数学系,惠州学院数学系,即：,惠州学院数学系,用公式来求数字线性方程组的解是比较麻烦的，因为需要计算许多行列式。因此在实际求线性方程组的解的时候，一般总是用消元法。但是在数学问题中遇到线性方程组时，常常不需要真正求出它们的解，而是需要对它们进行讨论，在这种情况下，我们有时要用到（5）式或（6）式。,惠州学院数学系,4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念,定义 若是一个线性方程组的常数项都等于零，那么 这个方程组叫做一个齐次线性方程组.,我们来看一个齐次线性方程组,(8),惠州学院数学系,这个方程组永远有解：显然,就是方程组（8）的一个解，这个解叫做零解。如果方程组（8）还有其它

22、解，那么这些解就叫作非零解。,齐次线性方程组永远有解.,惠州学院数学系,4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件,定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。,证 当 时，方程组只有唯一解，它只能是零解。当 时，方程组有无穷多解，因而它除零解 外，必然还有非零解。,惠州学院数学系,推论4.3.3 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数行列式等于零。,因为在这一种情况，方程组系数行列式等于零就是说，方程组的系数矩阵的秩小于n.,推论4.3.4 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数

23、n，那么这个方程组一定有解。因为在这一情况，方程组的系数矩阵的秩r不能超过m，因而一定小于n .,惠州学院数学系,1.内容分布4.4.1结式与多项式的公根4.4.2多项式的判别式 2.教学目的: 了解多项式有公根的判别 了解多项式的判别式的定义 3.重点难点: 多项式有公根的判别,4.4 结式和判别式,惠州学院数学系,4.4.1结式与多项式的公根,假设 在C 内有公根,依次用 乘第一个等式,用 乘第二个等式,我们得到以下 个等式:,惠州学院数学系,这就表明, 是一个含有 个未知量, 个方程的齐次线性方程组的非零解,因此系数行列式:,惠州学院数学系,必须等于零.,行列式D叫做多项式 的结式,并且

24、用符号 来表示.结式 不但 有公根时等于零,而且当 时显然也等于零.于是就得到,惠州学院数学系,定理4.4.1 如果多项式,定理4.4.2 设,(1),有公根,或者 ,那么它们的结式等于零.,是复数域C上多项式. 是它们的结式.,惠州学院数学系,(ii) 如果 ,而 的全部根,那么,(2),证 我们对m 作数学归纳法来证明公式(1)。先看m=1的情形，这时,惠州学院数学系,因此,惠州学院数学系,假设当 时公式（1）成立。我们看 的情形，这时,令 的全部根。那么,这里 是一个k次多项式，它的根是 比较 的系数，我们有,惠州学院数学系,因此,惠州学院数学系,把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把

25、新的第二列乘以 加到第三列上，最后,把第n+k列乘以 加到第n+k+1列上，并且注到,我们得到,惠州学院数学系,把这个行列式依最后一列展开，我们有,再依次把第n+2行乘以 加到第n+1行，把第n+3行乘以 加到第n+2行，最后，把第n+k+1行乘以 加到第n+k行，于是,惠州学院数学系,这里 是位于最后的行列式左上角的n+k阶行列式，它恰是多项式 的结式，因此由归纳法的假设，,于是,公式（1）被证明。,容易看出，通过适当对调行列式D的行，可以得到,（3）,因此，如果 而 是 的全部根，那么由（1）可得（2）。,惠州学院数学系,定理4.4.3 如果多项式 的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数

26、都等于零，或者这两个多项式有公根。,证 设 ，如果 ，那么由（1），一定有某一 ，从而 是 的一个公根，如果 那么由（2）也可以推出 有公根。,惠州学院数学系,如果 ，同样的计算也可以得到上面的等式。当 时，上面的展开式的右端等于零，不论在任何情形，上面的展开式都成立。,惠州学院数学系,现在利用结式来讨论两个二元多项式的公共零点问题。,设 是两个复系数二元多项式，我们按x的降幂写出这两个多项式：,把 分别看成f 中 和g中 的系数，然后求出f 和g 的结式，记作 ， 是y 的一个多项式：,惠州学院数学系,如果多项式 有公共零点 ，那么以 代替 中的文字y，所得到的一元多项式 有公根，由定理4.

27、4.1，它们的结式 ，这就是说， 是多项式 的一个根。反过来，如果结式 有根 ，那么以 代替多项式 中的文字y，我们得到x 的多项式,惠州学院数学系,的结式 ，因而由定理4.4.3，或者 或者 有公根。这样，求两个未知量两个方程,的公共解可以归结为求一个未知量的一个方程,的根，也就是说，可以用从两个方程中消去一个未知量，所以这个过程通常叫做未知量的消去法。,惠州学院数学系,求出f 与g 的结式,惠州学院数学系,惠州学院数学系,这两个多项式有公根 ，所以 是方程组（4）的一个解，另一方面，以 代替y，所得的多项式有公根 ，所以 也是方程组（4）的一个解，因此，方程组（4）有两个解：,;,惠州学院

28、数学系,；,4.4.2多项式的判别式,最后，我们介绍一下多项式的判别式的概念，并且指出判别式与结式之间的关系。设,是复数域C上一个n（n1）次多项式， 令 的全部根（重根按重数计算）。乘积,惠州学院数学系,叫做多项式 的判别式（这里表示求积的符号）。,由定理2.5.2容易推出，多项式 有重根必要且只要 与它的导数 有公根，因为 ，所以由定理4.4.1和4.4.3， 有重根必要且只要 与 的结式 ，由此可见， 的判别式与结式 之间有密切的关系，下面我们将导出这个关系，根据定理4.4.2，公式（1），我们有,惠州学院数学系,在Cx里，,求导数，我们有,所以,惠州学院数学系,这样，,在这个乘积里，对于任意i 和j（ij）都出现两个因式： 和 ，它们的乘积等于 ，由于满足条件 的指标i 和j 一共有 对，所以,惠州学院数学系,D是多项式 的判别式,从表示 的行列式的第一列显然可以提出因子 ，因此多项式 的判别式D可以表成由系数 所组成的一个行列式，因而是 的多项式。,惠州学院数学系,于是,所以判别式是,例3 求二次多项式 的判别式。,