[考研类试卷]考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编2及答案与解析.doc

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1、考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是线性方程组 Ax：O 的一个基础解系，则 A”x：0 的基础解系可为（A） 1， 3 （B） 1， 2 （C） 1， 2， 3 （D） 2， 3， 42 设有齐次线性方程组 Ax0 和 Ax0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax 0 的解均是 Ax0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax0 的解

2、均是 Bx0 的解；若 Ax 0 与 Bx0 同解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax0 与 Bx0 同解以上命题正确的是（A） （B） （C） （D） 3 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2A0，若 A 的秩为 3，则 A 与 A 相似于（A）（B）（C）（D）4 矩阵 相似的充分必要条件为（A）a0， b2 （B） a0，b 为任意常数（C） a2，b0 （D）a0 ，b 为任意常数 5 设矩阵 ，则 A 与 B（A）合同，且相似 （B）合同，但不相似（C）不合同，但相似 （D）既不合同，也不相似 6 设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为（A）（B）（C）（D）二、

3、填空题7 设方程 有无穷多个解，则 a_8 矩阵 的非零特征值是_9 设 A 为 n 阶矩阵，A0，A *为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 有特征值 ，则(A *)2E 必有特征值_10 设 3 阶矩阵 A 的特征值是 2，3，若行列式2A 48，则 _11 若二次型 f(x1，x 2，x 3)x 123x 22x 322x 1x22x 1x32x 2x3，则 f 的正惯性指数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax2by3c0， l1：bx2cy3a 0， l 1：cx 2ay360 试证这三条直线交于一点的

4、充分必要条件为 ab c013 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解14 取何值时，方程组 无解? 有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解15 设 ，A T， B T，其中 T 是 的转置，求解方程 2B 2A2xA 4xB 4x 16 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解 (1)证明方程组的系数矩阵 A 的秩 r(A)2； (2)求 a，b 的值及方程组的通解17 设 n 元线性方程组 Axb，其中(1)证明行列式A(n1)a n； (2)当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1； (3)当 a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解18 设 (1)

5、求满足 A2 1，A 23 1 的所有向量 2， 3；(2) 对(1)中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关19 设 ，已知线性方程组 Axb 存在 2 个不同的解(1)求 ，a；(2)求方程组 Axb 的通解20 设 (1)计算行列式A ； (2)当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解21 设 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得ACCAB，并求所有矩阵 C。22 已知 4 阶方阵 A( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4，线性无关， 12 2 3，如果 1 2 3 4，求线性方程组Ax 的通解23

6、已知 1， 2， 3， 4 是线性方程组 Ax0 的一个基础解系，若 1 1t 2， 2 2t 3， 3 3t 4， 4 4t 1，讨论实数 t 满足什么关系时，1， 2， 3， 4 也是 Ax0 的一个基础解系?24 设线性方程组 与方程 x12x 2x 3a 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解25 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a b c) ，a，b，c 不全为零，矩阵 B (k为常数)，且 AB0，求线性方程组 Ax0 的通解26 已知 的一个特征向量 (1)试确定参数 a，b 及特征向量考所对应的特征值； (2) 问 A 能否相似于对角阵?说明理由27 设矩阵 ，其行列式A 1

7、，又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值 0，属于 0 的一个特征向量为 (1，1，1)，求 a，b，c 和 0的值28 设 ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵，若 Q 的第 1 列为 ，求 a， Q29 设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于 ，则T_30 若矩阵 相似于对角矩阵 A，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P使 P1 APA31 设矩阵 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化32 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1(1，2，1)T， 2(0，1，1) T 是线性方程组 Ax0 的两个解 (1)求 A

8、 的特征值与特征向量；(2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQA33 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 11， 22， 32， 1(1，1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量，记 BA 54A 3E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵 (1)验证1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量 (2)求矩阵 B34 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩 r(A)2，且 A ，求 (1)A 的特征值与特征向量； (2)矩阵 A35 设二次型 F(x1，x 2，x 3)ax 12ax 22(a1)x 322x 1x32x2x3 (1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值

9、； (2)若二次型 f 的规范形为 y12y 22，求 a 的值36 已知 ，二次型 f(x1，x 2，x 3)x T(ATA)x 的秩为 2 (1)求实数 a 的值； (2)求正交变换 xQy 将 f 化为标准形37 设二次型 f(x1，x 2，x 3)2(a 1x1a 2x2a 3x3)2(b 1x1b 2x2b 3x3)2，记。(1)证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T；(2)若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12y 22考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选

10、项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 详解 因为(1，0，1，0) T 为方程组 Ax0 的一个基础解系，故 r(A)3，r(A *)1 于是 A*x0 的基础解系含线性无关向量个数为 3 又(1，0， 1，0) T 为 Ax0 的解，从而 1 30 由 A*AAE 0 得1， 2， 3， 4 均为 A*x 0 的解 故 2， 3， 4 可作为 A*x0 的基础解系故应选(D)【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 分析 本题也可找反例用排除法进行分析，但和 两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住与 ，迅速排除不正确的选项 详解 若 Ax0与 Bx 0 同解，则

11、nr(A)nr(B)，即 r(A)r(B)，命题 成立，可排除(A)，(C)；但反过来，若 r(A)r(B)，则不能推出 Ax0 与 Ax0 同解，如，则 r(A)r(B)1，但 Ax0 与 Bx0 与 Bx0 不同解，可见命题不成立，排除 (D)，故应选(B) 评注 Ax0 与 Bx0 同解的充要条件是 A，B 的行向量组等价【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 D【试题解析】 详解 设 为 A 的特征值，由 A2A0，知特征方程为 20，所以 1 或 0由于 A 为实对称矩阵，故 A 可相似对角化，即 AA ，r(A)r(A)3，因此 ， 应选(D) 评注 1若 A 可对角化，则 r(

12、A)矩阵 A 的非零特征值的个数 评注 2本题由 A2A0 即可得到 A 可对角化，因此题设条件 A 为实对称矩阵可去掉【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量4 【正确答案】 B【试题解析】 分析 利用结论：两个可对角化的矩阵相似的充：分必要条件是有相同的特征值详解 记矩阵 显然，矩阵 B 的特征值为 2，b， 0，而矩阵 A 与 B 相似的充分必要条件是有相同的特征值，所以2E A2513*4a 20，得 a0当 a0 时，由2EAE A ，得矩阵 A 的特征值为 2，b， 0 故当 a0 时，对任意常数 b，矩阵 A 与 B 相似，且反之亦成立故选(B) 评注对于不可以对角化的两矩阵，特征值

13、相同不能推出相似【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量5 【正确答案】 B【试题解析】 详解 由EA0 得 A 的特征值为 0，3，3，而 B 的特征值为0，1，1，从而 A 与 B 不相似 又 r(A)r(B) 2，且 A、B 有相同的正惯性指数，因此 A 与 B 合同故应选(B) 评注 1 若 A 与 B 相似，则A B；r(A)r(B)；tr(A)tr(B)；A 与 B 有相同的特征值 评注 2若 A、B 为实对称矩阵，则 A 与 B 合同 r(A)r(B)，且 A、B 有相同的止惯性指数 评注 3二次型对数学二来说，2007 年是首次要求考查的内容【知识模块】 二次型6 【正确答案】 D

14、【试题解析】 分析 两个实对称矩阵合同的充要条件是其秩相同且有相同的正惯性指数或者说其正、负特征值的个数分别相同详解 记于是 A 与 D 为实对称矩阵，且特征多项式相同，故 A 与 D 相似，从而 A 与 D 合同 评注(1)若 A、B为实对称矩阵，则 A 与 B 相似 A 与 B 有相同的特征值 (2)若 A、B 为实对称矩阵，则 A 与 B 相似与 B 合同但反之不一定成立【知识模块】 二次型二、填空题7 【正确答案】 应填2【试题解析】 分析 先化增广矩阵为阶梯形，再由系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于 3 求 a详解 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形，有可见，只有当a2 时才有 ，对应方

15、程组有无穷多个解评注 本题也可按下述方式求参数 a：当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解，因此满足题设条件的 a 一定使系数行列式为零，即有解得 n2 或 a1由于答案有两个，此时应将其代回原方程进行检验显然，当 a1 时，原方程无解，因此只能是a2【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 应填 4【试题解析】 分析 本题属基本题，直接按定义求非零特征值即可详解 因为EA 2( 4)0，所以非零特征值为 4【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量9 【正确答案】 应填 【试题解析】 分析 从特征值、特征向量的定义 Axx ，x0 进行推导即可 详解 设 Axx ，x0，则 A 1 x 1 x

16、AA 1 x ，x0即，从而有 E(A*)2Ex，x0，可见(A *)2E 必有特征值 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量10 【正确答案】 应填1【试题解析】 分析 利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得 详解 因 A 的特征值的乘积等于 A，又 A 为 3 阶矩阵，所以 2A2 3A2 32348， 故 1【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量11 【正确答案】 应填 2【试题解析】 分析 正惯性指数就是二次型的标准形中正项的个数，可用特征值或配方法求解。详解 1二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵 ，由E A0 得 A 的 3 个特征值分别为：0，1，4所以 f 的正

17、惯性指数为 2。详解 2将二次型配方得 f(x1，x 2，x 3)x 123x 22x 322x 1x22x 1x32x 2x3(x 1x 2x 3)22x 22 故 f 的正惯性指数为 2【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 详解 1 必要性设三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则线性方程组有唯一解，故系数矩阵 与增广矩阵的秩均为 2，于是 由于6(a6c)(a 2b 2c 2abacbc) 3(a 6c)(ab) 2(bc) 2(ca) 2，但根据题设(a b) 2(bc) 2(ca) 20，故abc0充分性由 a6c一 0，则从必

18、要性的证明可知，。由于 故 r(A)2于是，因此方程组有唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于点详解 2 必要性设三直线交于一点(x 0，y 0)，则 为 Ax0 的非零解，其中于是 A0而 6(a 6c)(a2 b2c 2 abacbc) 3(abc)(a b) 2 (bc) 2(ca) 2，但根据题设(a b)2(b c)2(ca) 20，故 abc一 0 充分性考虑线性方程组将方程组 的三个方程相加，并由 “6c：0 可知，方程组等价于方程组 因为 2(ac b 2)2a(ab)b 2 a 2b 2(ab) 20，故方程组有唯一解，所以方程组有唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3

19、 交于一点【试题解析】 分析 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2 评注 本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点设有齐次线性方程组【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 详解 1 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有，当 a0 时，r(A)14，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1x 2x 3x 40由此得基础解系为 1(1，1，0，0) T， 2(1，0，1，0) T， 3(1，0，0，1) T，于是所求方程组的通解为 xk 11k 2

20、2k 33，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数当 a0 时，当 a10 时，r(A)34，故方程组也有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为 (1，2，3，4) T，所以所求方程组的通解为 xk，其中 k 为任意常数详解 2 方程组的系数行列式当A 0，即 a0或 a10 时，方程组有非零解当 a0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有故方程组的同解方程组为 x1x 2x 3x 40 其基础解系为 1(1，1，0，0) T， 2(1，0，1，0) T， 3(1，0， 0，1) T， 于是所求方程组的通解为 xk 11k 22k 33，其中k1，k 2，k 3 为任意常数当 a10 时，对

21、 A 作初等行变换，有故方程组的同解方程组为 其基础解系为 (1，2，3，4) T，所以所求方程组的通解为 xk，其中 k 为任意常数【试题解析】 分析 此题为求含参数齐次线性方程组的解由系数行列式为 0 确定参数的取值，进而求方程组的非零解 评注 化增广矩阵为阶梯形时，只能施行初等行变换，这一点是值得注意的【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 详解 1 原方程组的系数行列式5 2 4(1)(54)，故当 1 且 时，方程组有唯一解当 1 时，原方程组为 ，对其增广矩阵施行初等行变换：因此，当 1 时，原方程组有无穷多解，其通解为 或(x1，x 2，x 3)T(1，1，0) Tk(0，1

22、，1) T(k 为任意实数) 当 时，原方程组的同解方程组为 对其增广矩阵施行初等行变换：可见当 时，原方程组无解详解 2 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换：于是，当 时，原方程组无解当 1 且 时，方程组有唯一解当 1 时，原方程组有无穷多解，其通解为或(x 1，x 2，x 3)T(1，1，0) Tk(0，1，1)T(k 为任意实数 )【试题解析】 分析 考虑到方程的个数与未知量的个数一致，可用克莱姆法则求解，当系数矩阵行列式A0 时有唯一解；而当A 0 时。可确定参数 ，最后转化为不含参数的线性方程组求解 评注 本题考查非齐次线性方程组的理论及求解方法，对 n 元非齐次线性方程组 Axb

23、 的结论为：记 ，则当 ，无解；当 时，有唯一解；当时，有无穷多解若 A 为方阵，则可以考虑系数行列式A当 A 不为方阵时，一般用初等行变换讨论【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 由题设，有且进一步有 A2 TT( T)T2A， A 48A代入原方程化简，得 16Ax8Ax16x，即 8(A2E)x令 x(x 1，x 2，x 3)T，代入上式，得到非齐次线性方程组 其对应齐次方程组的通解为(k 为任意常数)，非齐次线性方程组的一个特解为于是所求方程的通解为 x *，即(k 为任意常数)【试题解析】 分析 本题的方程表面上看很复杂，但注意到，而 T 是 3 阶矩阵，且有A2 TT( T)

24、T2A 后，即可方便地化简评注 一般地，设(a 1，a 2，a n)，(b 1，b 2，b n)，则 【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是方程组 Ax 的 3 个线性无关的解，其中则有 A( 1 2)0，A( 1 3)0 则 1 2， 1 2 是对应齐次线性方程组 Ax0 的解，且线性无关(否则，易推出1， 2， 3 线性相关，矛盾) 所以 nr(A)2，即 4r(A)2r(A)2 又矩阵 A中有一个 2 阶子式 10，所以 r(A)2 因此 r(A) 2 (2) 因为又 r(A)2，则 对原方程组的增广矩阵 施行初等行变换： 故原方程组与下面的方程组同解

25、选 x3，x 1 为自由变量，则故所求通解为 ，k1，k 2 为任意常数【试题解析】 分析 (1)根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；(2)利用初等变换求矩阵 A 的秩，确定参数 a，b，然后解方程组评注 本题综合考查矩阵的秩、初等变换、方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 (1)方法一 数学归纳法 当 n1 时。 A 2n2a ，结论成立； 当 n2 时， A 3a 2，结论成立； 假设结论对 n2，n1阶行列式成立，即A n2 (n1)

26、a n2 ，A n1 na n1 将A n 按第一行展开有 A n2a A n1 a 2A n2 2a.na n1 a 2.(n1)an2 (”1)a n 即结论对 n 阶行列式仍成立因此由数学归纳原理知，对任何正整数 n，有 A(n 1)a n 方法二 化三角形 (n1)a n(2)当A(n1)a n0，即 a0 时，由 Cramer 法则得 ，其中A n1 na n1 ，故 (3)当(n1)a n0，即 a0 时，方程组有无穷多解，此时增广矩阵为 易得特解为 ，对应的齐次方程组的基础解系只有一个解向量，且可取为 故 Axb 的通解为：，k 为任意常数【试题解析】 对于 n 阶行列式的计算，

27、可用性质化三角形行列式，或按行(列) 展开递推计算，也可用数学归纳法【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 详解 1(1)解方程 A2 1，由于，取 x2 为自由未知量，由 x20 得特解为 。取x21 得对应齐次方程组的基础解系为 。故所求 2k 2 *k 1，其中 k1 为任意常数解得(2)由于 1， 2， 3，故 1， 2， 3 线性无关详解 2(1)解方程 A 2 1，由于 ，取 x3 自由未知量，由 x30 得特解为 ，取x31 得对应齐次方程组的基础解系为 ，故所求 2k 1 *k 1 ，其中 k1 为任意常数解得 ，其中 k1，k 2 为任意常数(2)设存在数 k1，k 2，

28、k 3 使得 k 11k 22k 330 由题设可得 A10， 式两端左乘 A 得 k 2A2k 3A30，即 k 11k 330 式两端左乘 A 得 k 3A30，即 k 330，于是 k 30，将 k30 代入式得 k 210，故 k20，将 k2K 3k 30 代入式得 k 10，从而 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (1)方法一 由线性方程组Axb 存在 2 个不同解，得 1，a2方法二 由线性方程组 Axb 有 2 个不同的解，知 r(A)r(A，6)3，因此方程组的系数行列式得 1 或1；而当 1时，r(A)1r(A ，b) 2，此时，Axb 无

29、解，所以 1由 r(A)r(A，b)得a2 (2)当 1，a2 时，故方程组 Axb 的通解为：，k 为任意常数【试题解析】 本题考查方程组解的判定与通解的求法由非齐次线性方程组存在2 个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 (1)按第一列展开得(2)对增广矩阵(A)作初等行变换得，当实数 1a 40，且 aa 20，即 a1 时，方程组 Ax 有无穷多解此时得 Ax 的通解为 x ，k 为任意常数【试题解析】 分析 这是含参数的线性方组程问题先利用行列式的按行或列展开计算行列式，再讨论方程组的解评注 本题第二问也可由系数

30、矩阵的行列式为 0 得到 a1，再分别讨论得同样结果【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 设 ，则 ACCAB，即，等价地有对方程组的增广矩阵作初等行变换得。当 a1 或 60 时，方程组无解当 a1，b0 时，方程组 有无穷多解，此时 ，得的通解为 ，k1，k 2 为任意常数所以，当 a1，b0 时，存在矩阵 C 使得，ACCAB，并且 ，K 1，K 2 为任意常数【试题解析】 由于从矩阵方程中不能直接得到 C，因此转化为求解线性方程组【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 详解 1 令 ，则由 Ax( 1， 2， 3， 4) ，得 x 11x 22x 33x 44 1 2 3 4

31、，将 12 2 3 代入上式，整理后得 (2x1x 23)2(x 1x 3)3(x 41) 40由 2， 3， 4 线性无关，知解此方程组得 ，其中走为任意常数 详解 2 由 2， 3， 4 线性无关和 12 2 30 4，知 A 的秩为 3，因此 Ax0的基础解系中只包含一个向量由 12 2 30 40，知 为齐次线性方程组 Ax0 的一个解，所以其通解为 ，k 为任意常数再由 1 2 3 4( 1， 2， 3， 4) ，知 为非齐次线性方程组 Ax 的一个特解，于是 Ax 的通解为 ，其中 k 为任意常数【试题解析】 分析 本题不知方程组 Ax 的具体形式，可通过已知将 A， 代入后，再根

32、据 2， 3， 4 线性无关，确定未知量 x 应满足的等式，即方程组，再求解之；或直接根据通解结构，先找出对应齐次线性方程组的通解(基础解系)以及Ax 的一个特解即可，而 12 2 3 相当于告诉了 Ax0 的一个非零解， 1 2 3 4 相当于告诉了 Ax 的一个特解 评注 从本题可以看出，一组向量组之间的线性组合，相当于已知对应齐次线性方程组的一个解；而一个向量用一组向量线性表示则相当于已知对应非齐次线性方程组的一个特解向量与线性方程组之间的这种对应关系是值得注意的【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 由于 1， 2， 3， 4 均为 1， 2， 3， 4 的线性组合，所以1， 2，

33、 3， 4 均为 Ax0 的解下面证明 1， 2， 3， 4 线性无关设 k11k 22k 33k 440，即 (k 1tk 4)1(tk 1k 2)2(tk 2k 3)3(tk 3k 4)4 0，由于 1， 2， 3， 4 线性无关，因此其系数全为零，即 其系数行列式 可见，当 1t 40，即 t1 时，上述方程组只有零解 k1k 2k 3k 40，因此向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，从而1， 2， 3， 4 也为 Ax0 的一个基础解系【试题解析】 分析 基础解系应满足两个条件：首先应是解向量，其次应线性无关且向量个数为 sn r(A)本题的关键是证明 1， 2， 3， 4 线性无

34、关，而抽象向量组的线性无关性的证明一般都采用定义法 评注 对于一个抽象向量组的线性相关性的讨论，基本方法有定义法(如本题的证明)和等价法，若已知条件中包含矩阵等式或矩阵关系式时，可考虑转化为矩阵的秩来进行判断 本题也可用等价法证明：由题设，向量组 1， 2， 3， 4 可由向量组 1， 2， 3， 4 线性表示，且有( 1， 2， 3， 4)( 1， 2， 3， 4) 可见，向量组1， 2， 3， 4 可由向量组 1， 2， 3， 4 线性表示的充要条件是行列式即当 t1 时，向量组 1， 2， 3， 4 与向量组1， 2， 3， 4 等价，从而有向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，因此也

35、为 Ax0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 详解 1将 与联立得非齐次线性方程组 若此非齐次线性方程组有解，则 与有公共解，且的解即为所求全部公共解对 的增广矩阵 作初等行变换得于是当 a1时，有 ，方程组有解，即 与有公共解，其全部公共解即为的通解，此时 方程组 为齐次线性方程组，其基础解系为 ，所以，与 的全部公共解为 k ，k 为任意常数当a2 时，有 ，方程组 有唯一解，此时故方程组的解为 ，即 与有唯一公共解为。详解 2 方程组的系数行列式为当 a1 且 a2 时，只有唯一零解，但它不是的解，此时 与没有公共解当 a1 时，k 为任意常数将其代入方程x12x 2x 311 知，k 也是的解所以， 与的全部公共解为 k，k 为任意常数当 a2 时，