(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习第六章数列第五节数列的综合应用讲义(含解析).doc
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1、1第五节 数列的综合应用题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用典例 (1)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还 ”其大意为:“有一个人走了 378 里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地 ”则此人第 4 天和第 5 天共走了( )A60 里 B48 里C36 里 D24 里(2)(2019北京东城区模拟)为了观看 2022 年的冬奥会,小明打算从 2018 年起,每年的 1 月 1 日到银行存入 a 元 的一年期定期储蓄,若年利率为 p,且
2、保持不变,并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期到 2022 年的 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则可取回_元解析 (1)由题意知,此人每天走的里数构成公比为 的等比数列 an,12设等比数列的首项为 a1,则 378,a1(1 126)1 12解得 a1192,所以 a4192 24, a524 12,18 12则 a4 a5241236,即此人第 4 天和第 5 天共走了 36 里(2)2022 年 1 月 1 日可取出钱的总数为a(1 p)4 a(1 p)3 a(1 p)2 a(1 p) a 1 p 1 1 p 41 1 p (1 p)5(1 p)ap (1
3、 p)51 pap答案 (1)C (2) (1 p)51 pap方法技巧1数列与数学文化解题 3 步骤读懂题意 会脱去数学文化的背景,读懂题意构建模型 由题意,构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型求解模型 利用所学知识求解数列的相关信息,如求指定项、通项公式或前 n 项和的公式22.解答数列应用题需过好“四关”审题关 仔细阅读材料,认真理解题意建模关将已知条件翻译成数学语言,将实际问题转化成数列问题,并分清数列是等差数列还是等比数列求解关 求解该数列问题还原关 将所求的结果还原到实际问题中针对训练1在我国古代著名的数学名著九章算术里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十
4、五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢问:几日相逢?( )A9 日 B8 日C16 日 D12 日解析:选 A 由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为 an,其中a1103, d13;驽马每日行的距离成等差数列,记为 bn,其中 b197, d0.5.设第m 天相逢,则 a1 a2 am b1 b2 bm103 m 97 mm m 1 13221 125,解得 m19 或 m240(舍去),故选 A.m m 1 0.522(2018江西金溪一中月考)据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前
5、一年的一半若饲养 5 年后,鱼的质量预计为原来的 t倍下列选项中,与 t 值最接近的是( )A11 B13C15 D17解析:选 B 设鱼原来的质量为 a,饲养 n 年后鱼的质量为 an, q200%2,则a1 a(1 q), a2 a1 a(1 q) , a5 a(12)(11)(1q2) (1 q2) a12.7 a,即 5 年后,鱼的质量预计为原来的 12.7 倍,(112) (1 122) (1 123) 40532故选 B.题型二 数列中的新定义问题典例 若数列 an满足 d(nN *, d 为常数),则称数列 an为“调和数1an 1 1an列” ,已知正项数列 为“ 调和数列”
6、,且 b1 b2 b2 01920 190,则 b2b2 018的最大1bn值是_3解析 因为数列 是“调和数列” ,1bn所以 bn1 bn d,即数列 bn是等差数列,所以 b1 b2 b2 019 20 190,2 019 b1 b2 0192 2 019 b2 b2 0182所以 b2 b2 01820.又 0,所以 b20, b2 0180,1bn所以 b2 b2 018202 ,b2b2 018即 b2b2 018100(当且仅当 b2 b2 018时等号成立),因此 b2b2 018的最大值为 100.答案 100方法技巧新定义数列问题的特点及解题思路新定义数列题的特点是:通过给
7、出一个新的数列的概论,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求, “照章办事” ,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决 针对训练1定义一种运算“” ,对于任意 nN *均满足以下运算性质:(1)22 0191;(2)(2n2)2 019(2 n)2 0193,则 2 0182 019_.解析:设 an(2 n)2 019,则由运算性质(1)知 a11,由运算性质(2)知 an1 an3,即 an1
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