1、1第五节 数列的综合应用题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用典例 (1)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”则此人第 4 天和第 5 天共走了( )A60 里 B48 里C36 里 D24 里(2)(2019北京东城区模拟)为了观看 2022 年的冬奥会，小明打算从 2018 年起，每年的 1 月 1 日到银行存入 a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为 p，且
2、保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期到 2022 年的 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回_元解析 (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为 的等比数列 an，12设等比数列的首项为 a1，则 378，a1(1 126)1 12解得 a1192，所以 a4192 24， a524 12，18 12则 a4 a5241236，即此人第 4 天和第 5 天共走了 36 里(2)2022 年 1 月 1 日可取出钱的总数为a(1 p)4 a(1 p)3 a(1 p)2 a(1 p) a 1 p 1 1 p 41 1 p (1 p)5(1 p)ap (1
3、 p)51 pap答案 (1)C (2) (1 p)51 pap方法技巧1数列与数学文化解题 3 步骤读懂题意 会脱去数学文化的背景，读懂题意构建模型 由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型求解模型 利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前 n 项和的公式22.解答数列应用题需过好“四关”审题关 仔细阅读材料，认真理解题意建模关将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列是等差数列还是等比数列求解关 求解该数列问题还原关 将所求的结果还原到实际问题中针对训练1在我国古代著名的数学名著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十
4、五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？( )A9 日 B8 日C16 日 D12 日解析：选 A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为 an，其中a1103， d13；驽马每日行的距离成等差数列，记为 bn，其中 b197， d0.5.设第m 天相逢，则 a1 a2 am b1 b2 bm103 m 97 mm m 1 13221 125，解得 m19 或 m240(舍去)，故选 A.m m 1 0.522(2018江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前
5、一年的一半若饲养 5 年后，鱼的质量预计为原来的 t倍下列选项中，与 t 值最接近的是( )A11 B13C15 D17解析：选 B 设鱼原来的质量为 a，饲养 n 年后鱼的质量为 an， q200%2，则a1 a(1 q)， a2 a1 a(1 q) ， a5 a(12)(11)(1q2) (1 q2) a12.7 a，即 5 年后，鱼的质量预计为原来的 12.7 倍，(112) (1 122) (1 123) 40532故选 B.题型二 数列中的新定义问题典例 若数列 an满足 d(nN *， d 为常数)，则称数列 an为“调和数1an 1 1an列” ，已知正项数列 为“ 调和数列”
6、，且 b1 b2 b2 01920 190，则 b2b2 018的最大1bn值是_3解析 因为数列 是“调和数列” ，1bn所以 bn1 bn d，即数列 bn是等差数列，所以 b1 b2 b2 019 20 190，2 019 b1 b2 0192 2 019 b2 b2 0182所以 b2 b2 01820.又 0，所以 b20， b2 0180，1bn所以 b2 b2 018202 ，b2b2 018即 b2b2 018100(当且仅当 b2 b2 018时等号成立)，因此 b2b2 018的最大值为 100.答案 100方法技巧新定义数列问题的特点及解题思路新定义数列题的特点是：通过给
7、出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决 针对训练1定义一种运算“” ，对于任意 nN *均满足以下运算性质：(1)22 0191；(2)(2n2)2 019(2 n)2 0193，则 2 0182 019_.解析：设 an(2 n)2 019，则由运算性质(1)知 a11，由运算性质(2)知 an1 an3，即 an1
8、an3.所以数列 an是首项为 1，公差为 3 的等差数列，故 2 0182 019(21 009)2 019 a1 00911 00833 025.答案：3 0252定义各项为正数的数列 pn的“美数”为 (nN *)若各项为正数np1 p2 pn的数列 an的“美数”为 ，且 bn ，则12n 1 an 14 _.1b1b2 1b2b3 1b2 018b2 019解析：因为各项为正数的数列 an的“美数”为 ，12n 1所以 .na1 a2 an 12n 14设数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn n(2n1)，Sn1 ( n1)2( n1)12 n23 n1( n2)，所以 an
9、Sn Sn1 4 n1( n2)又 ，所以 a13，满足式子 an4 n1，1a1 13所以 an4 n1( nN *)又 bn ，所以 bn n，an 14所以 1 1b1b2 1b2b3 1b2 018b2 019 112 123 12 0182 019 12 12 13 1 .12 018 12 019 12 019 2 0182 019答案：2 0182 019题型三 数列与函数的综合问题典例 (1)(2019重庆模拟)已知 f(x) x2 aln x 在点(1， f(1)处的切线方程为4x y30， an f( n) n(n1， nN *)， an的前 n 项和为 Sn，则下列选项正
10、确的12是( )A S2 0181ln 2 0181Cln 2 018 S2 017(2)(2019昆明模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，且满足 f(3 x) f(x)，f(1)3，数列 an满足 a11 且 an n(an1 an)(nN *)，则 f(a36) f(a37)_.解析 (1)由题意得 f( x)2 x ， f(1)2 a4，解得 a2. an f( n)ax 12 n n (n1， nN *)设 g(x)ln( x1) x，则当 x(0,1)时， g( x)12(2n 2n) 1n1 0， h(x)在1x 1x 1x2(1，)上单调递增， h(x)h(1)0，
11、即 ln x1 ， x(1，)令1xx1 ，则 ln ln ，ln ln ln ln 1n (1n 1) n 1n 1n 1 21 32 435 ，故 ln(n1) Sn1 1.故选 A.n 1n 12 13 1n 1n 1(2)因为函数 f(x)是奇函数，所以 f( x) f(x)，又因为 f(3 x) f(x)，所以f(3 x) f( x) f(x) f(3 x) f(x3)，即 f(x6) f(x)，所以 f(x)是以 6 为周期的周期函数由 an n(an1 an)可得 ，则an 1an n 1nan a1 1 n，即anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a2a1 nn 1
12、 n 1n 2 n 2n 3 n 3n 4 21an n，所以 a3636， a3737，又因为 f(1)3， f(0)0，所以 f(a36) f(a37) f(0) f(1) f(1) f(1)3.答案 (1)A (2)3方法技巧数列与函数综合问题的类型及注意点类型(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形；注意点解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解
13、决针对训练1(2019玉溪模拟)函数 y x2(x0)的图象在点( ak， a )处的切线与 x 轴交点的横坐2k标为 ak1 ， k 为正整数， a116，则 a1 a3 a5( )A18 B21C24 D30解析：选 B 函数 y x2(x0)的导函数为 y2 x，函数 y x2(x0)的图象在点(ak， a )处的切线方程为 y a 2 ak(x ak)令 y0，可得 x ak，即 ak1 ak，数2k 2k12 12列 an为等比数列， an16 n1 ， a1 a3 a5164121.故选 B.(12)2已知数列 an的前 n 项和为 Sn，点( n， Sn3)( nN *)在函数
14、y32 x的图象上，等比数列 bn满足 bn bn1 an(nN *)，其前 n 项和为 Tn，则下列结论正确的是( )A Sn2 Tn B Tn2 bn1C Tnan D Tn0，45 n 152n数列 Sn单调递增， Sn S1 ，15对任意 nN *，都有 Sn .15 45方法技巧数列中不等式证明问题的解题策略数列型不等式的证明常用到“放缩法” ，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩” 放缩法常见的放缩技巧有：(1) .1k2 1k2 1 12( 1k 1 1k 1)(2) .1k 1k 11k2 1k 1 1k(3)2( ) 2( ) n 1 n1n n n
15、 1针对训练(2019广安模拟)已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11，且Sn1 Sn an n1( nN *)(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求满足不等式 Tn 的最小正整数 n.1an 1910解：(1)由 Sn1 Sn an n1( nN *)，得 an1 an n1，又 a11，所以 an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1 n( n1)21. 1 n n2所以数列 an的通项公式为 an . 1 n n2(2)由(1)知 2 ，1an 2 1 n n (1n 1n 1)所以 Tn2Error! Error!2 .(112) (12 13) (1n 1n 1) (1 1n 1) 2nn 18令 ，解得 n19，2nn 1 1910所以满足不等式 Tn 的最小正整数 n 为 19.1910
