【考研类试卷】考研数学三（线性代数）模拟试卷102及答案解析.doc

《【考研类试卷】考研数学三（线性代数）模拟试卷102及答案解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【考研类试卷】考研数学三（线性代数）模拟试卷102及答案解析.doc（10页珍藏版）》请在麦多课文档分享上搜索。

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 102 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.四阶行列式 （分数：2.00）A. 1 2 3 4 b 1 b 2 b 3 b 4B. 1 2 3 4 +b 1 b 2 b 3 b 4C.（ 1 2 b 1 b 2 ）（ 3 4 b 3 b 4 ）D.（ 2 3 b 2 b 3 ） （ 1 4 b 1 b 4 ）3.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 3 =O，则（ ）（分数：2.00）A.EA 不

2、可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+A 可逆D.EA 可逆，E+A 不可逆4.设 （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1D.a1 时，B 的秩必为 25.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数后 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k

3、1 1 +k 2 2 +k s s =0C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关6.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 若 r（ 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 ）=r（ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ），则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 其中正确

4、的个数是（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.37.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则（ ）（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多个解8.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r（A）=3， 1 =（1，2，3，4） T ， 2 + 3 =（0，1，2，3） T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解x=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D

5、.9.已知 A 是三阶矩阵，R（A）=1，则 =0（ ）（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能10.已知矩阵 ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.411.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则（ ）（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩B.A 与 B 有相同的特征值C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.在 xOy 平面上，平面曲线方程 （分数：2.00）填空项 1:_13.与矩

6、阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 1 =（1，0，0） T ， 2 =（1，2，一 1） T ， 3 =（一 1，1，0） T ，且 A 1 =（2，1） T ，A 2 =（一 1，1） T ，A 3 =（3，一 4） T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 1 =（1，2，1） T ， 2 =（2，3，a） T ， 3 =（1，a+2，一 2） T ，若 1 =（1，3，4） T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =（0，1，2） T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 a= 1。（分数：2

7、.00）填空项 1:_17.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 （2，一 1，0，1） T +k 2 （3，2，1，0） T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.已知 （分数：2.00）填空项 1:_21.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax=2x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1 x 3 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11

8、，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_24.已知 AB=AB，证明：A，B 满足乘法交换律。（分数：2.00）_25.设向量组 1 =（1，0，1） T ， 2 =（0，1，1） T ， 3 =（1，3，5） T 不能由向量组 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，3） T ， 3 =（3，4，a） T 线性表示。 （）求 a 的值； （）将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_26.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_27.设

9、四元齐次线性方程组（1）为 （分数：2.00）_28.设矩阵 （分数：2.00）_29.已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r（A）=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r（A+E）。（分数：2.00）_30.设 A，B 为同阶方阵。（）若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（）举一个二阶方阵的例子说明（）的逆命题不成立；（）当 A，B 均为实对称矩阵时，证明（）的逆命题成立。（分数：2.00）_31.已知三元二次型 f=x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_32.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶

10、对称矩阵，C 为 mn 矩阵。 （）计算 P T DP，其中 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 102 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.四阶行列式 （分数：2.00）A. 1 2 3 4 b 1 b 2 b 3 b 4B. 1 2 3 4 +b 1 b 2 b 3 b 4C.（ 1 2 b 1 b 2 ）（ 3 4 b 3 b 4 ）D.（ 2 3 b 2 b 3 ） （ 1 4 b 1 b 4 ） 解析：解析：将此行列式按

11、第一行展开， 3.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 3 =O，则（ ）（分数：2.00）A.EA 不可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+A 可逆 D.EA 可逆，E+A 不可逆解析：解析：已知（E 一 A）（E+A+A 2 ）=EA 3 =E，（E+A）（EA+A 2 ）=E+A 3 =E。故 EA，E+A均可逆。故应选 C。4.设 （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1 D.a1 时，B 的秩必为 2解析：解析：当 a=1 时，易见 r（A）=1；当 a1 时

12、，则5.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数后 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：对于选项 A，因为齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +

13、x s s =0 只有零解，故 1 ， 2 ， s 线性无关，选项 A 正确。对于选项 B，由 1 ， 2 ， s 线性相关知，齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。选项 C 是教材中的定理。由“无关组减向量仍无关”（线性无关的向量组其任意部分组均线性无关）可知选项 D 也是正确的。综上可知，应选 B。6.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 若 1 ， 2 ， 3

14、 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 若 r（ 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 ）=r（ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ），则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 其中正确的个数是（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关。 若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 必能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，可知结论正确。 令 1 =（1，0，0） T ， 2 =（0，1，0） T ， 3 =（0，2，0）

15、 T ， 4 =（0，0，1） T ，则 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，但 1 ， 2 ， 4 线性无关，可知结论错误。 由于 （ 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 ）（ 1 ， 2 ， 2 + 3 ）（ 1 ， 2 ， 3 ）， （ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ）（ 4 ， 1 ， 2 ， 3 ）（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 所以 r（ 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 ）=r（ 1 ， 2 ， 3 ），r（ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ）=r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 则当 r（ 1 ，

16、1 + 2 ， 2 + 3 ）=r（ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ）时，可得 r（ 1 ， 2 ， 3 ）=r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），因此 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示。可知结论正确。所以选 C。7.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则（ ）（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多个解解析：解析：对于选项 A，r（A）=r=m。由于 r（A|b）m=r，

17、且 r（A|b）minm，n+1=minr，n+1=r， 因此必有 r（A|b）=r，从而 r（A）=r（A|b），此时方程组有解，所以应选 A。 由 B、C、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等。8.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r（A）=3， 1 =（1，2，3，4） T ， 2 + 3 =（0，1，2，3） T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解x=（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据线性方程组解的结构性质，易知 2 1 一（ 2 + 3 ）=（2，3，4，5） T 。是Ax=0 的一个非零解，所以应选

18、 C。9.已知 A 是三阶矩阵，R（A）=1，则 =0（ ）（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能解析：解析：A 的对应 的线性无关特征向量的个数小于等于特征值的重数。r（A）=1，即 r（0EA）=1，（0EA）x=0 必有两个线性无关的特征向量，故 =0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如10.已知矩阵 ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 A= ，那么只要和矩阵 有相同的特征值，它就

19、一定和 相似，也就一定与 A 相似。 和分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1和 3，所以它们均与 A 相似，对于和，由11.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则（ ）（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩 B.A 与 B 有相同的特征值C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式解析：解析：合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.在 xOy 平面上，平面曲线方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（2，0），（3，0）解析：解析：曲线 与 x 轴（即 y=0）的交点

20、为方程组 的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有13.与矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设矩阵 B= 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得 即 x 3 =一 2x 2 ，x 1 =4x 2 +x 4 ，所以 14.已知 1 =（1，0，0） T ， 2 =（1，2，一 1） T ， 3 =（一 1，1，0） T ，且 A 1 =（2，1） T ，A 2 =（一 1，1） T ，A 3 =（3，一 4） T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分块矩阵，得 A（ 1 ， 2 ， 3 ）=（A 1

21、 ，A 2 ，A 3 ）= 那么 15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 BA T =0 可知，r（B）+r（A T ）3，即 r（A）+r（B）3。又因为 B0，因此r（B）1，从而有 r（A）3，即|A|=0，因此 16.设 1 =（1，2，1） T ， 2 =（2，3，a） T ， 3 =（1，a+2，一 2） T ，若 1 =（1，3，4） T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =（0，1，2） T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：

22、解析：根据题意， 1 =（1，3，4） T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 有解， 2 =（0，1，2） T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即 17.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：n 元线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r（A）= ，而有无穷多解的充分必要条件是 r（A）= n，对增广矩阵作初等行变换，有18.已知齐次线性方程组 有

23、通解 k 1 （2，一 1，0，1） T +k 2 （3，2，1，0） T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k（13，一 3，1，5） T ，k 为任意常数）解析：解析：方程组（2）的通解一定会在方程组（1）的通解之中，且是方程组（1）的通解中满足（2）中第三个方程的解，将（1）的通解 19.设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得 满足20.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1

24、，7，7）解析：解析：由矩阵 A 的特征多项式 可得矩阵 A 的特征值为 7，1，1。所以|A|=711=7。 如果A=，则有 A * = 21.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax=2x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 +8x 2 x 3 4x 1 x 3 的规范形是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 +z 2 2 一 z 3 2）解析：解析：二次型的矩阵 特征多项式 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.计算 n 阶行列式 （分数：

25、2.00）_正确答案：(正确答案：令 则将该行列式按第一行展开得 再将上式中后面的 n 一 1 阶行列式按照第一列展开得 D n =（+）D n1 一 D n2 ，则 D n 一 D n1 =（D n1 D n2 ）= 2 （D n2 D n3 ）= n2 （D 2 一 D 1 ）= n2 （ 2 + 2 ）一（+） = n ， 即 D n 一 D n1 = n ， （1）类似地，有 D n 一 D n1 = n ， （2）（1） 一（2） 可得（ 一 ）D n = n+1 一 n ，所以 D n = )解析：24.已知 AB=AB，证明：A，B 满足乘法交换律。（分数：2.00）_正确答案：

26、(正确答案：由 AB=AB 可得 E+ABAB=E，即（E+A）（EB）=E，这说明 E+A 与 EB 互为逆矩阵，所以（E 一 B）（E+A）=E，将括号展开得 BA=AB，从而可得 AB=BA，即 A，B 满足乘法交换律。)解析：25.设向量组 1 =（1，0，1） T ， 2 =（0，1，1） T ， 3 =（1，3，5） T 不能由向量组 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，3） T ， 3 =（3，4，a） T 线性表示。 （）求 a 的值； （）将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由于 1 ， 2 ， 3

27、 不能由 1 ， 2 ， 3 表示，且由| 1 ， 2 ， 3 |=10，知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 所以， 1 ， 2 ， 3 线性相关，即| 1 ， 2 ， 3 |= =a 一 5=0，解得 a=5。 （）本题等价于求三阶矩阵 C，使得（ 1 ， 2 ， 3 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ）C。 所以 C=（ 1 ， 2 ， 3 ） 1 （ 1 ， 2 ， 3 ）= 因此（ 1 ， 2 ， 3 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ） )解析：26.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式|A|=D n =（n+1）

28、a n 。 （）当a0 时，D n 0，方程组有唯一解。将 A 的第一列换成 b，得行列式为 = D n1 =na n1 ， 所以由克拉默法则得 x 1 = （）当 a=0 时，方程组为 )解析：27.设四元齐次线性方程组（1）为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有 则 nr（A）=42=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取 x 3 ，x 4 为自由变量，得 1 =（5，一 3，1，0） T ， 2 =（一 3，2，0，1） T 是方程组（1）的基础解系。 （）设 是方程组（1）与（2）的非零公共解，则 =k 1 1 +k 2 2 =l

29、 1 1 +l 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 与 l 1 ，l 2 均是不全为 0 的常数。 由 k 1 1 +k 2 2 一 l 1 1 l 2 2 =0，得齐次方程组 对方程组（3）的系数矩阵作初等行变换，有 当 a一 1 时，方程组（3）的系数矩阵变为 可知方程组（3）只有零解，即 k 1 =k 2 =l 1 =l 2 =0，于是 =0，不合题意。 当 a=一 1 时，方程组（3）系数矩阵变为 )解析：28.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=。由于|A|=70，所以0。 又因 A * A=|A|E，故有 A * = 于

30、是有 B（P 1 ）=P 1 A * P（P 1 ）= （P 1 ）， （B+2E）P 1 =（ +2）P 1 。 因此， +2 为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为 P 1 。 由于 =（ 一 1） 2 （ 一 7）， 故 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =7。 当 1 = 2 =1 时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 1 = 当 3 =7 时，对应的一个特征向量可取为 3 = 因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3。 对应于特征值 9 的全部特征向量为 k 1 P 1 1 +k 2 P 1 2 =k 1 其中 k 1 ，k 2 是不全为零的任意常数； 对应于特征值

31、3 的全部特征向量为 k 3 P 1 3 =k 3 )解析：29.已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r（A）=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r（A+E）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A 的任一特征值，（0）是属于特征值 的特征向量，则A=，于是 A n = n 。用 右乘 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0，得（ 4 +2 3 + 2 +2）=0。 因为特征向量 0，故 4 +2 3 + 2 +2=（+2）（ 2 +1）=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或一 2。 由于实对

32、称矩阵必可相似对角化，且秩 r（A）=r（）=2，所以 A 的特征值是 0，一 2，一 2。 因 A，则有 A+E+E= )解析：30.设 A，B 为同阶方阵。（）若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（）举一个二阶方阵的例子说明（）的逆命题不成立；（）当 A，B 均为实对称矩阵时，证明（）的逆命题成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B，则 |E 一 B| =|EP 1 AP|=|P 1 AEPP 1 AP| =|P 1 （EA）P| =|p 1 |EA |P|=|E 一 A|。 所以A、B 的特征多项式相等

33、。 （）令 那么|E 一 A|= 2 =|EB|。但是 A，B 不相似。否则，存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B=D，从而 A：POP 1 =D 与已知矛盾。也可从 r（A）=1，r（B）=0，知 A与 B 不相似。 （）由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 所以存在可逆矩阵 P，Q，使 P 1 AP= )解析：31.已知三元二次型 f=x T Ax 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 x T Ax 的秩为 2，即 r（A）=2，所以 =0 是 A 的特征值。 所以 3是 A

34、 的特征值，（1，2，1） T 是与 3 对应的特征向量；一 1 也是 A 的特征值，（1，一 1，1） T 是与一1 对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是（x 1 ，x 2 ，x 3 ） T ，则有 （x 1 ，x 2 ，x 3 ） =0，（x 1 ，x 2 ，x 3 ） 由方程组 解出=0 的特征向量是（1，0，一 1） T 。 因此 x T = （x 1 2 +10x 2 2 +x 3 2 +16x 1 x 2 +2x 1 x 3 +16x 2 x 3 ）， 令 )解析：32.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵。 （）计算 P T DP，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： （）由（）中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B 一 C T A 1 C 是对称矩阵。 对 m 维零向量x=（0，0，0） T 和任意 n 维非零向量 y=（y 1 ，y 2 ，y n ） T ，都有 )解析：