【考研类试卷】考研数学三（线性代数）历年真题汇编1及答案解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）历年真题汇编 1 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 阶方阵 A 的秩 r(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中 【 】（分数：2.00）A.必有，一个行向量线性无关B.任意 r 个行向量都线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表出3.设 A 为 n 阶方阵且A=0，则 【 】（分数：2.00）A.A 中必有两行(列)的元素对应成比例B.A 中任意一行

2、(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C.A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D.A 中至少有一行(列)的元素全为 04.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不为零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一部分向量线性无关5.设有任意两个 n 维向量组 1 ， m 和 1 ， m ，若存在两组不全为零的数 1 ， m 和 k 1 ，k m ，使( 1 +k 1 ) 1 +( m +k

3、m ) m +( 1 一 k 1 ) 1 +( m 一 k m ) m =0，则【 】（分数：2.00）A. 1 ， m 和 1 ， m 都线性相关B. 1 ， m 和 1 ， m 都线性无关C. 1 + 1 ， m + m ， 1 一 1 ， m 一 m 线性无关D. 1 + 1 ， m + m ， 1 1 ， m 一 m 线性相关6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【 】（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1D.

4、1 + 2 + 3 ，2 1 一 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 一 5 37.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 。线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则【 】（分数：2.00）A. m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m 不能由()线性表示，但可由()线性表示C. m 可由()线性表示，也可由()线性表示D. m 可由()线性表示，但不可由()线性表示8.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 【 】（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k

5、 s ，都有 k 1 1 +k 1 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关9.设 1 ， 2 ， 3 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是【 】（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s ，线性相关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则

6、 A 1 ，A 2 ，A s ，线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s ，线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s ，线性无关10.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是【 】（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 C. 1 一 2 2 ， 2 2 3 ， 3 2 1 D. 1 +2 2 ， 2 +2 3 ， 3 +2 111.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示下列命题正确的是【

7、 】（分数：2.00）A.若向量组线性无关，则 rsB.若向量组线性无关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性无关，则 rs12.设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4C. 1 ， 3 ， 4D. 2 ， 3 ， 413.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则 【 】（分数：2.00）A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价B.矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价C.矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价D.矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价14.设 1 ， 2 ， 3 均为 3

8、维向量，则对任意常数 k，向量组 1 +k 3 ， 2 + 3 线性无关是向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关的 【 】（分数：2.00）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件二、填空题(总题数：3，分数：6.00)15.假设 D 是矩阵 A 的，r 阶子式，且 D0，但含 D 的一切 r+1 阶子式都等于 0那么矩阵 A 的一切 r+1阶子式都等于 0 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，)，(3，2，1，)，(4，3，2，1)线性相关，且 1，则= 1（分数

9、：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.已知向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关设 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 试讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_20.设 1 =(1，1，1)， 2 =(1，2，3)， 3 =(1，3，t) (1)问当 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关? (2)问当 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关? (3)当向量组 1 ，

10、2 ， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合（分数：2.00）_21.试证明 n 维列向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是行列式 （分数：2.00）_22.已知向量组()： 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；()： 1 ， 2 ， 3 ， 5 如果各向量组的秩分别为 R()=R()=3，R()=4证明：向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 5 一 4 的秩为 4（分数：2.00）_23.设向量 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 AX=0的解，即 A0试证明；向量组 ，+ 1 ，+ t 线性

11、无关（分数：2.00）_24.设 4 维向量组 1 =(1+，1，1，1) T ， 2 =(2，2+，2，2) T ， 3 =(3，3，3+，3) T ， 4 =(4，4，4，4+) T ，问 为何值时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关蛆线性：表出（分数：2.00）_25.设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，) T 线性表示 ()求 的值； (

12、)将 1 ， 2 ， 3 用 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）历年真题汇编 1 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 阶方阵 A 的秩 r(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中 【 】（分数：2.00）A.必有，一个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量都线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表出解析：解析：本题考查矩阵的秩及向量组线

13、性相关的概念注意矩阵的秩也等于矩阵的行秩，还等于矩阵的列秩因此在题设条件下知 A 的行秩为 rn，因此 A 的行向量组中存在 r 个行向量线性无关并且可作为 A 的行向量组的极大无关组3.设 A 为 n 阶方阵且A=0，则 【 】（分数：2.00）A.A 中必有两行(列)的元素对应成比例B.A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C.A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 D.A 中至少有一行(列)的元素全为 0解析：解析：因为，方阵 A 的行列式为 O 甘 A 的行(列)向量组线性相关，于是由向量组线性相关的等价定义即知(C)正确可以举例说明(B)不对注意备选项

14、(A)、(D)都是 A 的行(列)向量组线性相关的充分条件而非必要条件4.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不为零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表示 D. 1 ， 2 ， s 中有一部分向量线性无关解析：解析：因为， 1 ， 2 ， s 线性相关该向量组中至少存在一个向量，它可以由该组中其余 s 一 1 个向量线性表示而“存在一个向量”的反面是“任意一个向量都不”，故有： 1 ， 2 ， s 线性无关该组中任意一个向量都不能由

15、其余 s-1 个向量线性表示，即知(C)正确注意备选项(A)、(B)及(D)都是向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件而非充分条件例如，向量组 1 =(1，1)， 2 =(2，2)中不含零向量，但却线性相关，故(A)不对；向量组 1 (1，2，3)， 2 =(4，5，6)， 3 =(3，3，3)中任意两个向量的分量不成比例，而且有一部分向量 1 与 2 线性无关，但 1 ， 2 ， 3 线性相关，这说明(B)、(D)都不对5.设有任意两个 n 维向量组 1 ， m 和 1 ， m ，若存在两组不全为零的数 1 ， m 和 k 1 ，k m ，使( 1 +k 1 ) 1 +( m +k

16、m ) m +( 1 一 k 1 ) 1 +( m 一 k m ) m =0，则【 】（分数：2.00）A. 1 ， m 和 1 ， m 都线性相关B. 1 ， m 和 1 ， m 都线性无关C. 1 + 1 ， m + m ， 1 一 1 ， m 一 m 线性无关D. 1 + 1 ， m + m ， 1 1 ， m 一 m 线性相关 解析：解析：由题设等式，得 1 ( 1 + 1 )+ m ( m + m )+k 1 ( 1 一 1 )+k m ( m 一 m )=0 且 1 ， m ，k 1 ，k m 不全为零，故向量组 1 + 1 ， m + m ， 1 一 1 ， m 一 m 线性相关

17、。 本题主要考查向量组线性相关的定义注意，本题备选项是关于“线性相关”或“线性无关”的结论，题设条件显然不能推出某组线性无关的结论，故只需考虑是哪个向量组线性相关，而题设等式又可整理成 (D)中向量的系数不全为零的线性组合等于零，即知(D)正确当然也可举例说明(A)不对，排除(A)后就只有(D)正确了6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【 】（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 一

18、 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 一 5 3解析：解析：显然(A)组线性相关(第 3 个向量是前 2 个向量的差)；(B)组也线性相关(第 3 个向量是前 2个向量的和)；对于(C)组，设有一组数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使得 x 1 ( 1 +2 2 )+x 2 (2 2 +3 3 )+x 3 (3 3 + 1 )=0 即 (x 1 +x 3 ) 1 +(2x 1 +2x 2 ) 2 +(3x 2 +3x 3 ) 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 解得此齐次方程组只有零解 x 1 =x 2 =x 3 =0，故(C)组线性无关或直接应用本章的方法，由于矩阵 的秩

19、为 3，知(C)组线性无关，故选(C) 本题是一种常见题型首先应该运用观察法，而对于不易看出结论的情况，例如，运用这一方法，对于(D)组，由于矩阵 7.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 。线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则【 】（分数：2.00）A. m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m 不能由()线性表示，但可由()线性表示 C. m 可由()线性表示，也可由()线性表示D. m 可由()线性表示，但不可由()线性表示解析：解析：解 由题设条件，存在常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1

20、 1 +k 2 2 +k m m = (*) 且必有 k m 0(否则 k m =0，则由上式知 可由()线性表示，这与已知条件矛盾)于是得 8.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 【 】（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 1 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1

21、， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：解 1 可举如下反例，说明(B)不正确：向量组 线性相关，虽然 k 1 =1、k 2 =0 不全为零，但 k 1 1 +k 2 2 = 9.设 1 ， 2 ， 3 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是【 】（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s ，线性相关 B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s ，线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s ，线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则

22、A 1 ，A 2 ，A s ，线性无关解析：解析：解 1 若 1 ， 2 ， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数 1 ， 2 ， s ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 两端左乘矩阵 A，得 k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =0 因 k 1 ，k 2 ，k s 不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关 解 2 用排除法 若 A=0 为零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A s 均为零向量，从而 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关，于是选项(B)(D)均不对若 10.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组

23、线性相关的是【 】（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 C. 1 一 2 2 ， 2 2 3 ， 3 2 1 D. 1 +2 2 ， 2 +2 3 ， 3 +2 1解析：解析：观察易知 ( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 1 )=0 即选项(A)中 3 个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项(A)正确 本题考查向量组线性相关、线性无关的定义及其基本判别法至于选项(B)、(C)及(D)均为线性无关组的判定，可以用本书题中所给的方法例如对于选项(B)，由于矩阵 11.设向量组： 1 ， 2 ，

24、r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示下列命题正确的是【 】（分数：2.00）A.若向量组线性无关，则 rs B.若向量组线性无关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性无关，则 rs解析：解析：解 1 由于()可由()线性表示，所以有 r()r()，而 r()S，当()线性无关时，就有 r=r()r()S，所以选项(A)正确 解 2 设 V 是由向量组()生成的向量空间，则 V 的维数S，由条件知12.设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4C. 1 ， 3 ， 4 D. 2 ， 3 ， 4解析：解析：解 1 用排除法：当 c 1 0 时

25、，(A)组、(B)组都线性无关；当 c 3 +c 4 0 时，(D)组线性无关因此，只有选项(C)正确 解 2 对下列矩阵作初等行变换： 13.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则 【 】（分数：2.00）A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价B.矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C.矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价D.矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价解析：解析：解 1 因为矩阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的

26、列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选(B) 解 2 用排除法若取矩阵 则 B 可逆，C=AB=14.设 1 ， 2 ， 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，向量组 1 +k 3 ， 2 + 3 线性无关是向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关的 【 】（分数：2.00）A.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：解 1 记向量组()： 1 +k 3 ， 2 + 3 ； 向量组()： 1 ， 2 ， 3 ()是由()线性表出的，写成矩阵形式即是： 当()线性无关时，矩阵 1 ， 2 ，

27、3 为列满秩的由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)15.假设 D 是矩阵 A 的，r 阶子式，且 D0，但含 D 的一切 r+1 阶子式都等于 0那么矩阵 A 的一切 r+1阶子式都等于 0 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：“是”）解析：解析：证 在题设条件下可以证明 A 的秩为 r，故 A 中一切 r+1 阶子式都为 0 证明 A 的秩为 r 的方法不是唯一的，下面利用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明 A 的秩为 r，设 A= ( ij ) mn 满足题设条件，不失一般性，设 rmn，并设 A 的非零的 r 阶子式

28、 D 位于 A 的左上角，即 由题设，A 的左上角的 r+1 阶子式(它含 D) 故 D r+1 的行向量组线性相关，而 D r+1 的前 r 行线性无关，所以 D r+1 的第 r+1 行可由前 r 行线性表示因此，通过把 A 的前 r 行的适当倍数加到 A 的第 r+1 行，就可把 A化成 由行列式的性质知上面化成矩阵的前 r+1 行中的一切 r+1 阶子式都是 A 的相应子式因此前r+1 行中含 D 的子式都为 0，于是有 r+1，r+1 = r+1，n =0，即经上述初等变换已将 A 的第 r+1 行化成了零行，同理可通过初等行变换将 A 的第 r+2，第 m 行都化成零行，即经若干次

29、初等行变换可将A 化成 16.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由条件，存在常数 ，使得 A=，即 或 17.设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，)，(3，2，1，)，(4，3，2，1)线性相关，且 1，则= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：解 由条件知行列式 =( 一 1)(2 一 1)=0 又 1，所以， 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.已知向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关设 1 =

30、1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 试讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设有一组数 x 1 ，x 2 ，x s ，使得 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0将题设的线性表示式代人上式并整理，得 (x s +x 1 ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s-1 +x s ) s =0由于 1 ， 2 ， s 线性无关，故有 此方程组的系数行列式为 s 阶行列式： )解析：解析：本题考查向量组线性相关与线性无关的基本概念注意本题问题归结为齐次方程组(*)是存在非零解还是只有

31、零解的问题，亦即方程组(*)的系数矩阵的秩是小于 s 还是等于 s 的问题运用本题的推导方法，可证明下述的一般结论： 设向量组 1 ， 2 ， r ，线性无关，又有(其中 ij 为常数，i=1，r；j=1，s) 1 = 11 1 + 21 2 + r1 l r 2 = 12 1 + 22 2 + r2 r s = 1s 1 + 2s 2 + rs r 则向量组 1 ， 2 ， s 线性无关矩阵 A=( ij ) rs 的秩为 s20.设 1 =(1，1，1)， 2 =(1，2，3)， 3 =(1，3，t) (1)问当 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关? (2)问当 t 为何值

32、时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关? (3)当向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 1 由于行列式 所以，当 t5 时，D0，此时向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关； 当 t=5 时，D=0，此时向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关 当 t=5 时，对矩阵 T 1 ， T 2 T 3 作初等行变换： 由此即知 3 =一 1 +2 2 解 2 对矩阵 A= T 1 ， T 2 ， T 3 作初等行变换： 由此可知，当 t5 时，r(A)=3，此时向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关；当 t=5 时，r(

33、A)=2，此时向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，此时，有 )解析：解析：本题主要考查向量组的线性相关性与向量组所构成矩阵的秩的关系，以及如何求解线性表示的问题注意，向量 由向量组 1 ， n 线性表示的问题，等价于一个非齐次线性方程组的问题，这个方程组的增广矩阵为 21.试证明 n 维列向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证 记 n 阶矩阵 A 1 与 2 n ，则 1 与 2 n 线性无关的充分必要条件是A0 另一方面，由 )解析：解析：本题主要考查满秩方阵性质的应用及矩阵乘法的概念注意，矩阵乘法的本质是“在行乘右列”，由

34、此可知矩阵( i T j ) mn 的第 i 行 T i 1 T i 2 T i n 可以写成 T i 1 2 n ，因此可将矩阵 ( T i j ) mn 写成 A T A 的形式，从而建立起行列式 D 与A的关系，这是本题证明之关键22.已知向量组()： 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；()： 1 ， 2 ， 3 ， 5 如果各向量组的秩分别为 R()=R()=3，R()=4证明：向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 5 一 4 的秩为 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证 1 因 R()=R()=3，所以 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2

35、， 3 ， 4 线性相关，故存在数 1 ， 2 ， 3 ，使得 4 = 1 1 + 1 2 + 1 3 (*) 设有数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 ( 5 一 4 )=0 将(*)式代入上式并化简，得 (k 1 一 1 k 4 ) 1 +(k 2 一 2 k 4 ) 2 +(k 3 一 3 k 4 ) 3 +k 4 5 =0，由 R()=4 知 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性无关，所以 )解析：解析：本题主要考查向量组线性相关性的概念及线性相关性与向量组的秩的关系注意证 1 是利用定义证明向量组()线性无关，其中利用了“若

36、1 ， r 线性先关，而 1 ， r ， 线性相关，则 可由 1 ， r 线性表示”的结论证 2 则利用了“等价的向量组必具有相同的秩”这一结论23.设向量 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 AX=0的解，即 A0试证明；向量组 ，+ 1 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证 设有一组数 k 0 ，k 1 ，k t 使得 k 0 +k 1 (+ 1 )+k t (+ 1 )=0 即 (k 0 +k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0 (*) 用矩阵 A 左乘(*)式两端并注意 A i =0(i=1，t)，得

37、 (k 0 +k 1 +k t )A=0 因为 A0，所以有 k 0 +k 1 +k t =0 (*)代入(*)式，得 k 1 1 +k t 1 =0 由于向量组 1 ， t 是方程组 AX=0 的基础解系，所以 k 1 =k t =0 因而由(*)式得 k 0 =0因此，向量组 ，+ 1 ，+ t 线性无关)解析：解析：本题主要考查向量组线性无关的定义证明法及齐次方程组基础解系的概念利用定义证明向量组线性无关，就是从向量组的线性组合等于零出发，由已知条件来推证线性组合的系数都为零，本题的推证关键是“用 A 左乘”这一变换24.设 4 维向量组 1 =(1+，1，1，1) T ， 2 =(2，

38、2+，2，2) T ， 3 =(3，3，3+，3) T ， 4 =(4，4，4，4+) T ，问 为何值时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关蛆线性：表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解 1 记 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，则 于是当 =0 或 =一 10 时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 当 =0 时， 1 0，且 2 ， 3 ， 4 均可由 1 线性表出，故 1 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，且 2 =2 1 ， 3 =3 1 ， 4 =4 1 当 =一 10 时，对 A 施以初等行变换，有 由于 2 ， 3 ， 4 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，且 1 =一 2 一 3 一 4 ，故 2 ， 3 ， 4 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，且 1 =一 2 一 3 一 4 解 2 记A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，对 A 施以初等行变换，有 当 =0 时，A 的秩为 1，因而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，此时 1 为， 1 2 ， 3