[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷56及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)2，则导数 f(x)不存在的点的个数是( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。2 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（A）f(x)在 x=1 处不可导。（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a。（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b。（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab。3 设

2、f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（A）f(a)=0 且 f(a)=0。 （B） f(a)=0 且 f(a)0。（C） f(a)0 且 f(a)0。（D）f(a)0 且 f(a)0。4 设函数 g(x)可微，h(x)=e 1g(x) ，h (1)=1，g (1)=2，则 g(1)等于( )（A）ln31。（B）一 ln31。（C）一 ln21。（D）ln21。5 已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f2(x)，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数是( )（A）n！f(x) n1 。（B） nf(x)n1 。（

3、C） f(x)2n。（D）n！f(x) 2n。6 周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 =一 1，则y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为( )（A） 。（B） 0。（C）一 1。（D）一 2。7 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得 ( )（A）f(x)在(0，)内单调增加。（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少。（C）对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) 。（D）对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)。8 设 y=f(x)是方程 y一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f (x0)=0，则函数 f(x)在点x0 处( )（A

4、）取得极大值。（B）取得极小值。（C）某邻域内单调增加。（D）某邻域内单调减少。9 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0， =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值。（B） f(0)是 f(x)的极小值。（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。二、填空题10 设函数 f(x)= 则 f(x)=_。11 设 f(x)= ，则 f(x)=_。12 设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xey 确定，则 x=0=_。13 设 y=y(x)由方程 x=1yx sin2 dt 所确定，则 y(0

5、)=_。14 已知 f(ex)=xex ，且 f(1)=0，则 f(x)=_。15 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_。16 设曲线 y=f(x)与 y=x2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则=_。17 曲线 y=(x 一 5)x 的拐点坐标为 _。18 曲线 y= 的过原点的切线是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 y=f(t)，= 0tes2 ds，=g(x)，其中 f，g 均二阶可导且 g(x)0，求 。19 假设函数 f(x)和 g(x)在 a，b上存在二阶导数，并且 g(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试

6、证：20 在开区间(a，b)内 g(x)0；21 在开区间(a，b)内至少存在一点 ， 。22 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f()=g()。23 设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f(x)0，记 n=f(n)，n=1，2，又1 2，证明 n=+。23 设 f(x)在a，b上可导，f (x)+f(x)2 axf(t)dt=0，且 abf(t)dt=0。证明：24 axf(t)dt 在(a，b) 的极大值不能为正，极小值不能为负；25 axf(t)dt 在(

7、a，b) 内恒为零。26 设 a1， f(t)=at 一 at 在(一，+) 内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时，t(a)最小? 并求出最小值。27 设 eab，证明：a 2 b 2。考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 考查带有绝对值的函数在 x0 点处是否可导，可以借助如下结论： 设f(x)为可导函数，则 (1) 若 f(x0)0，且 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处可导； (2)若 f(x0)=0，且 f(x0)=0，则f(x) 在 x0 处可导； (3)若

8、 f(x0)=0，且 f(x0)0，则f(x)在 x0 处不可导。 设 (x)=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3，则 f(x)=(x)，f (x)不存在的点就是 f(x)不可导的点，根据上述结论可知，使 (x)=0的点 x1=1，x 2=2，x 3=3 可能为不可导点，故只需验证 (xi)，i=1，2，3 是否为零即可，而 (x)=(x 一 2)2(x 一 3)3+2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)3+3(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3，显然， (1)0， (2)=0， (3)=0，所以只有一个不可导点 x=1。故选 B。【知识模块】 一元函数微分学2 【

9、正确答案】 D【试题解析】 根据题意，令 x=0，则 f(1)=af(0)。由导数的定义可知， f(1)=，且由 f(0)=b 可知， =b，故 =f(1)=ab，应选 D。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(a)0，由复合函数求导法则有因此排除 C 和 D。当f(x)在 x=a 可导，且 f(a)0 时，f(x)在 x=a 点可导。当 f(a)=0 时，上两式分别是f(x)在 x=a 点的左、右导数，因此，当 f(a)=0 时，f(x)在 x=a 点不可导的充要条件是上两式不相等，即 f(a)0，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试

10、题解析】 函数 h(x)=e1g(x) 两边同时对 x 求导，可得 h(x)=e1g(x) g(x)。 在上面的等式中令 x=1，结合已知条件 h(1)=1，g (1)=2，可得 1=h(1)=e1g(1) g(1)=2e1g(1) ，因此得 g(1)=一 ln21，故选 C。 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)=f2(x)可得，f (x)=2f(x)f(x)=2！f(x) 3。 假设 f(k)(x)=k！f(x)k 1，则 f(k1) (x)=(k+1)k！ f(x)kf(x)=(k+1)！f(x) k2 ，由数学归纳法可知，f (n)(x)=n！ f

11、(x)n1 对一切正整数成立。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在( 一，+) 内可导，且 f(x)=f(x+4k)，其中 k 为整数，故有 f(x)=f(x+4k)。取 x=1，k=1，可得 f(1)=f(5)。又由 =一 1，可得 f(1)=一 2，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，知 f(0)= 0。根据极限的保号性，存在 0，使对任意 x 0。于是当 x(一 ，0)时，有 f(x)f(0)；当 x(0，)时，有 f(x)f(0)。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解

12、析】 由 f(x0)=0 知，x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点。将 x=x0 代入方程，得 y(x0)一 2y(x0)+4y(x0)=0。 考虑到 y(x0)=f(x0)=0，y (x0)=f(x0)，y(x 0)=f(x0)0，有f(x0)=一 4f(x0)0，由极值的第二判定定理知，f(x)在点 x0 处取得极大值，故选A。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 根据极限的保号性，由 =1 可知，存在 x=0 的某邻域，使对任意 x 0，即 f(x)0。从而函数 f(x)在该邻域内单调增加。于是当 x0 时，有 f(x)f (0)=0；当 x0 时，f (x)f

13、 (0)=0，由极值的第一判定定理可知，f(x)在 x=0 处取得极小值。故选 B。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (1+3x)e 3x【试题解析】 先求出函数的表达式，即 f(x)= =xe3x，于是有 f(x)=e3x+xe 3x3=(1+3x)e3x。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 一 e【试题解析】 当 x=0 时，y=1。在方程两端对 x 求导，得 y=一 ey 一 xeyy，整理得y(1+xey)=一 ey， =e。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 一

14、 2【试题解析】 将 x=0 代入方程 x=1yx sin2 dt 可得 y=1，即 y(0)=1。在方程两边对 x 求导，得 1=(y一 1)sin2 ，【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 (lnx)2【试题解析】 令 ex=t，则 x=lnt，于是有 f(t)= 。对上式两端同时积分得 f(x)= C。由 f(1)=0 得 C=0，故 f(x)= (lnx)2。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 由题干可知，所求切线的斜率为 1。由 y=(lnx)= =1，得 x=1，则切点为(1 ，0)，故所求的切线方程为 y0=1(x 一 1)，即

15、y=x 一 1。【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 一 2【试题解析】 本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线的几何意义。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (一 1，一 6)【试题解析】 由题设，y= ，则有 x=一 1 时，y =0；x=0 时，y 不存在。在 x=一 1 左右两侧的微小邻域内，y 异号，在x=0 左右微小邻域内 y 0，且 y(一 1)=一 6。故曲线的拐点为(一 1，一 6)。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 x+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点(0，0)不在曲线上，需首先求出切点坐标。设切点为，则 y= ，因

16、此切线方程为把(0，0)代入上式，得 x0=一 3 或 x0=一 15。则斜率分别为 所以切线方程为 x+25y=0 与x+y=0。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由积分上限函数求导法则可得 =et2 ，再由复合函数求导法则可得 =f(t)e t2g (x)， f(t)e t2g (x)= f(t)e t2g (x)+f(t) et2g (x)= g (x)+f(t)。et2g (x)=e2t2f (t)+2tf(t)g (x)2+f(t)et2g(x)。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】

17、 利用反证法。假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则根据题意，对g(x)在a，c 和c，b上分别应用罗尔定理，可知存在 1(a，c)和 2(c，b)，使得g(1)=g(2)=0 成立。 接着再对 g(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，可知存在3(1， 2)，使得 g(3)=0 成立，这与题设条件 g(x)0 矛盾，因此在开区间(a ，b)内 g(x)0。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 构造函数 F(x)=f(x)g(x)一 g(x)f(x)，由题设条件得函数 F(x)在区间a， b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F(a)=F(b)=0 根据罗尔定理可知

18、，存在点 (a，b) ，使得 F()=0。即 f()g()一 f()g()=0，因此可得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(x)，由题设有 F(a)=F(b)=0。又 f(x)，g(x)在(a，b) 内具有相等的最大值，不妨设存在 x1x2，x 1，x 2(a，b)使得 f(x1)=M=。若 x1=x2，令 c=x1，则 F(c)=0。若x1x 2，因 F(x1)=f(x1)一 g(x1)0，F(x 2)=f(x2)一 g(x2)0，由介值定理知，存在cx1，x 2 (a，b)，使 F(c)=0。在区间a，c ，c，b上分别利用罗尔定理知，存

19、在 1(a，c) ， 2(c，b) ，使得 F(1)=F(2)=0。再对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，知存在 (1， 2) (a，b)，有 F()=0，即 f()=g()。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 对函数 f(x)分别在区间k ，k+1(k=1，2，n，)上使用拉格朗日中值定理 2 一 1=f(2)一 f(1)=f(1)0，1 12， n1 一 n2 =f(n 一 1)一 f(n 一 2)=f(n2 )，n 一 2 n2 n 一 1， n 一 n1 =f(n)一 f(n 一 1)=f(n1 )，n一 1 n1 n。因 f(x) 0，故 f(x)严格单调增加，即

20、有 f(n1 )f (n2 )f (2)f (1)=2 一 1，则 n=(n 一 n1 )+(n1 n2 )+( 2 一 1)+1=f(n1 )+f(n2 )+f(1)+1f (1)+f(1)+f(1)+1=(n 一 1)(2 一 1)+1，于是有 =+。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 记 F(x)=axf(t)dt，假设 F(x)在(a， b)内能取到正的极大值，且记该极大值点为 x0，于是 F(x0)=0，F(x 0)0，即 f(x0)=0， ax0f(t)dt0。 在方程 f(x)+f(x)2 一 axf(t)dt=0 中令 x=x0，得 F(

21、x0)=ax0f(t)dt0，故 F(x0)应是极小值，这与假设矛盾。所以 axf(t)dt 在(a ，b)的极大值不能为正，极小值不能为负。【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 若 F(x)在(a，b) 内可取正值，由于 F(a)=F(b)=0，故 F(x)在(a ，b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)在(a，b) 内存在正的极大值，与(I) 中的结论矛盾，故 F(x)在(a，b)内不可能取正值。同理可证 F(x)在(a，b)内也不可能取到负值，故F(x)在(a，b)内恒为零。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 f(t)=atlnaa=0，解得 f(t)的驻点为

22、 t(a)=1 。对 t(a)关于a 求导，可得 t(a)= ，令 t(a)0，解得 a ee。则当 a ee 时，t(a) 单调递增；当 1ae e 时，t(a)单调递减。所以当 a=ee 时，t(a)最小，且最小值为 t(ee)=1 一 。【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 要证明 b 2，只需要证明 alnablnb 。设函数 f(x)=xlnx。当 x e 时，f (x)=lnx+10，故 f(x)单调递增。又因 eab，所以 f(b)f(a)，即 alnablnb。要证明 。设函数 g(x)= 。当 x e 时，g (x)= 0，故 g(x)单调递减。又因 eab，故 g(a)g(b)，即 。综上所述：当 eab 时， a2 b 2。【知识模块】 一元函数微分学