[考研类试卷]考研数学二（向量）模拟试卷8及答案与解析.doc

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1、考研数学二（向量）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（D） 4 可由 1， 2 线性表示2 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B） 1-2， 2-3， 3-4， 4-1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4-1 线性无关（D） 1+2， 2+3， 3-4， 4-1 线性

2、无关3 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11+k22+kmm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 的任意一个部分向量组线性无关4 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m-1， 1 线性相关（B） 1， 2， m-1， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1+2 线性相关（D） 1， 2， m， 1+2 线性

3、无关5 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=(1， 2， m)与矩阵 B=(1， 2， m)等价6 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k

4、 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关7 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组(I)： 1， 2， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组()线性相关，则 ( )（A）() ， ()都线性相关（B） ()线性相关（C） ()线性相关（D）() ， ()至少有一个线性相关8 设向量组() ： 1， 2， ， s 的秩为 r1，向量组()： 1， 2， s 的秩为r2，且向量组( )可由向量组( )线性表示，则( )（A） 1+1， 2+2，

5、s+s 的秩为 r1+r2（B）向量组 1-1， 2-2， s-s 的秩为 r1-r2（C）向量组 1， 2， s， a， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 1， 2， ， s， 1， 2， s 的秩为 r19 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， s 都不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一个部分向量组线性无关10 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元素对应成比例（C）必有一列是其余列向量的线性组合

6、（D）任一列都是其余列向量的线性组合11 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关12 设矩阵 A=(1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩阵 B=(1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表

7、示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定13 设 A=(1， 2， m)，其中 1， 2， m 是 n 维列向量若对于任意不全为零的常数 k1，k 2，k m，皆有 k11+k22+kmm0，则( )（A）mn（B） m=n（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=（D）若 AB=O，则 B=O14 下列命题正确的是( )（A）若向量 1， 2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可由其余向量线性表示（C）若向量 1， 2， n 线性无关，则 1+2， 2+3，

8、n+1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆15 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A=(1， 2， m)，方程组 AX=0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数16 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）A T

9、A 可逆的充分必要条件是 r(A)=n17 设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关18 设 1， 2， ， m 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)=r(1， 2， s)=r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)=r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则两向量组等

10、价（D）两向量组构成的矩阵等价二、填空题19 设 1= 线性相关，则 a=_20 设向量组 1， 2， 3 线性无关，且 1+a2+43， 21+2-3， 2+3 线性相关，则a=_21 设 = ，且 ， ， 两两正交，则a=_，b=_22 设 A=(1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 Ax=0 的通解为 X=k(1，1，2，-3) T，则2 由 1， 3， 4 表示的表达式为 _23 设 1= ，则 1=，则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明

11、： 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关25 设 1， m， 为 m+1 维向量，= 1+ m(m1)证明：若 1， m 线性无关，则 -1，- m 线性无关26 设 1， 2， ， n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1+2， 2+3， n+1 线性无关27 设 1， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1， n 线性相关28 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关29 n 维列向量组 1， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1， n-1，线性无关30 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1，

12、n 线性无关，举例说明逆命题不成立31 设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关32 设 1， 2， ， m， 1， 2， n 线性无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关证明：向量 可由向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性表示33 设向量组 1= 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t34 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量35 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其中 10，且A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3，证明： 1， 2， 3

13、 线性无关36 设向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，若向量组()与向量组 ()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1， 2， 3， 5-4 的秩为 437 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆38 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是39 设 1， 2， ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1，+ 2，+ t 线性无关40 设 1，

14、 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示41 设 A 为 n 阶矩阵，若 A-10，而 Ak=0证明：向量组 ，A ，A k-1 线性无关41 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关42 证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示；43 设 1= ，求出可由两组向量同时线性表示的向量考研数学二（向量）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 3

15、， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2， 3 线性相关，所以 1 可由 2， 3 线性表示，选(A) 【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 因为-( 1+2)+(2+3)-(3+4)+(4+1)=0， 所以1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关； 因为( 1-2)+(2-3)+(3-4)+(4-1)=0， 所以 1-2， 2-3， 3-4， 4-1 线性相关； 因为( 1+2)-(2+3)+(3-4)+(4-1)=0， 所以 1+2， 2+3， 3-4， 4-1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1+2， 2+3， 3+4， 4-1 线性

16、无关，选(C)【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1， 2， m， 线性无关可以保证1， 2， m 线性无关，但 1， 2， m 线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关； (B)不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1， k2，k m，有 k11+k22+kmm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2， km 使得 k11+k22+kmm0 不能保证 1， 2， m线性无关；(C) 不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1= 线性无关，但其维数等于其个数，选(D)【知识模块】 向量4 【正确答案

17、】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不一定能被 1， 2， m-1 线性表示，所以 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m-1， 1 线性表示，所以 1， 2， m-1， 1， 2 不一定线性相关；(C)不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由 1， 2， m 线性表示，所以 1+2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1+2 线性无关，选(D)【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2

18、， m 线性无关，所以向量组 1， 2， m 的秩为m，向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1+2 一定不可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3，k 1+2线性无关，选(A) 【知识模块】 向量7 【正确答案】 D【试题解析】 若 1， 2， n 线性无关， 1， 2， n 线性无关，则 r(A)=n， r(B)=n，于是 r(AB)=n因为 1， 2， n 线性相关，所以 r(AB)=r(1，

19、2， n)n，故 1， 2， n 与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选(D)【知识模块】 向量8 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s 与向量组 1， 2， s， 1， 2， s 等价，选(D)【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)

20、【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 因为A=0，所以 r(A)n，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 向量11 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选(B)【知识模块】 向量12 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A=(1， 2， 3， 4)经过有限次初等

21、行变换化为B=(1， 2， 3， 4)，所以方程组 x11+x22+x33=4 与 x11+x22+x33=4 是同解方程组，因为方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，所以方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选(C) 【知识模块】 向量13 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k11+k22+kmm0，所以向量组 1， 2， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O，选(D) 【知识模块】 向量14 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)

22、=A(1， 2， n)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)=r(A)，而A1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选(D)【知识模块】 向量15 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故(A)不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不对，选(C)【知识模块】 向量

23、16 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 ATA 可逆，选(D) 【知识模块】 向量17 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及咒s 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 (A)【知识模块】 向量18 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2， m 的极大线性无关组为1

24、， 2， r，向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， s，若1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r，也可由1， 2， s 线性表示，若 1， 2， s 不可由 1， 2， r，线性表示，则 1， 2， s 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)【知识模块】 向量二、填空题19 【正确答案】 【试题解析】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 3=【知识模块】 向量20 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1+a2+43，2 1+2-3， 2+3)=(1， 2， 3) 因为1， 2， 3 线性无关，而 1+

25、a2+43，2 1+2-3， 2+3 线性相关，所以=0，解得 a=5【知识模块】 向量21 【正确答案】 -4,-13【试题解析】 因为 ， 正交，所以 ，解得 a=-4，b=-13【知识模块】 向量22 【正确答案】 - 1-23+34【试题解析】 因为(1，1，2，-3) T 为 AX=0 的解，所以 1+2+23-34=0，故 2=-1-23+34【知识模块】 向量23 【正确答案】 【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)=则向量组1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 方法一

26、令 k1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93)=0，即(k1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)2+(k1+3k2+9k3)3=0，因为 1， 2， 3 线性无关，所以有而 D= (i-j)=20，由克拉默法则得k1=k2=k3=0，所以 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关方法二令A=(1， 2， 3)，B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)，则 B=A可逆，所以 r(B)=r(A)=3， 故1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关【知识模块】 向量25 【正确答案】 令 k1(-1)+km(-m)=0，即

27、k 1(2+3+ m)+km(1+2+ m-1)=0 或(k 1+k2+km)1+(k1+k2+km)2+(k1+k2+km-1)m=0，因为 1， m 线性无关，所以=(-1)m-1(m-1)0，所以k1=km=0，故 -1， ，- m 线性无关【知识模块】 向量26 【正确答案】 设有 x1，x 2，x n，使 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0，即(x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn-1+xn)n=0，因为 1， 2， n 线性无关，所以有，该方程组系数行列式 Dn=1+(-1)n+1，n 为奇数1+2， 2+3， ， n+1 线性无关【知识模块】 向量27 【正确

28、答案】 方法一 向量组 1， n 线性相关的充分必要条件是方程组x11+xnn=0 有非零解，因为方程组 x11+xnn=0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且 mn，所以方程组 x11+xnn=0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组 1， n 线性相关 方法二 令 A=(1， n)，r(A)minm，n)=mn ，因为矩阵的秩与矩阵的行向量组与列向量组的秩相等，所以向量组1， ， n 的秩不超过 m，于是向量组 1， n 线性相关【知识模块】 向量28 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k r，使得 k11+k

29、rr=0，于是k11+krr，+0 r+1+0 n=0，因为 k1，k r，0，0 不全为零，所以1， ， n 线性相关【知识模块】 向量29 【正确答案】 令 k0+k11+kn-1n-1=0，由 1， n-1 与非零向量 正交及(， k0+k11+kn-1n-1)=0 得 k0(，)=0，因为 为非零向量，所以(，)= 20，于是 k0=0，故 k11+kn-1n-1=0，由 1， n-1 线性无关得k1=kn-1=0，于是 1， n-1， 线性无关【知识模块】 向量30 【正确答案】 令 k11+knn=0，由 1， n 两两正交及( 1，k 11+knn)=0，得 k1(1， 1)=0

30、，而( 1， 1)= 1 20，于是 k1=0，同理可证 k2=kn=0，故 1， ， n 线性无关令 = ，显然 1， 2 线性无关，但1， 2 不正交【知识模块】 向量31 【正确答案】 首先 r(B)rainm，n=n ，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 向量32 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，从而 可由向量组1， 2

31、， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 向量33 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 3=0，而 1， 2， 3= =(t+1)(t+5)，所以 t=-1 或者 t=-5，因为任意两个向量线性无关，所以 t=-5【知识模块】 向量34 【正确答案】 方法一 令 A ，因为 1， 2， m 与 正交，所以 A=0，即 为方程组 Ax=0 的解，而 1， 2， n 线性无关，所以 r(A)=n，从而方程组 AX=0 只有零解，即 =0 方法二 (反证法)不妨设 0，令 k11+k22+knn+k0=0，上式两边左乘 T 得 k1T1+k2T2+knT

32、n+k0T=0 因为 1， 2， n 与 正交，所以 k0T=0，即 k0 2=，从而 k0=0，于是 k11+k22+knn=0，再由1， 2， n 线性无关，得 k1=k2=kn=0，故 1， 2， n， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以 =0【知识模块】 向量35 【正确答案】 由 A1=1 得(A-E) 1=0； 由 A2=1+2 得(A-E) 2=1；由A3=2+3 得(A-E) 3=2， 令 k 11+k22+k33=0， (1) (1)两边左乘 A-E 得 k21+k32=0， (2) (2) 两边左乘 A-E 得 k31=0，因为 10

33、，所以 k3=0，代入(2) 、(1)得 k1=0，k 2=0，故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 向量36 【正确答案】 因为向量组()的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示 因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5-4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3， 5-4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3， 5-4 的秩为 4【知识模块】 向量37 【正确答案】 令 B=(1， 2， n)，因为

34、1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以 r(B)=n (A1，A 2，A n)=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆【知识模块】 向量38 【正确答案】 令 A=(1， 2， n)，A TA= ，r(A)=r(ATA)，向量组 1， 2， ， n 线性无关的充分必要条件是，r(A)=n，即 r(ATA)=n 或 ATA0，从而 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是0【知识模块】 向量39 【正确答案】 方法一 由 1， 2， t 线性无关 1， 2， t 线性无关，令 k+k1(+1)+k2(+2)

35、+kt(+t)=0，即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0， 1， 2， t 线性无关=k1=kt=0，+ 1，+ 2，+ t 线性无关方法二 令 k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0 (k+k1+kt)=-k11-ktt (k+k1+kt)A=-k1A1-ktAt=0，A0，k+k 1+kt=0，k 11+ktt=0 k=k1=kt=0 .+1，+ t 线性无关【知识模块】 向量40 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表

36、示反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示，取 e1= ，则e1，e 2，e n 可由 1， 2， n 线性表示，故 1， 2， n 的秩不小于e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即 1， 2， n 线性无关【知识模块】 向量41 【正确答案】 令 l0+l1A+l k-1Ak-1=0 (*) (*)式两边同时左乘 Ak-1 得 l0Ak-1=0，因为 Ak-10，所以 l0=0；(*)式两边同时左乘 Ak-2 得 l1Ak-1=0，因为 Ak-10，所以 l1=0，依次类推可得 l2=lk-1=0，所以 ，A，A k-1 线性无关【知识模块】 向量【知识模块】 向量42 【正确答案】 因为 1， 1， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k11+k22+l11+l22=0，或 k11+k22=-l11-l22 令 =k11+k22=-l11-l22，因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及 l1，l 2 都不全为零，所以 0【知识模块】 向量43 【正确答案】 令 k11+k22+l11+l22=0，所以 =k1-3k2=-k1+02【知识模块】 向量