[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷69及答案与解析.doc

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1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 69 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 与 S2 分别是样本均值与样本方差，则（A） 2(1)（B） 2(n1)（C） t(n 一 1)（D） F(n 一 1，1)2 设 X1，X n，X n+1， ，X 2n，X 2n+1，X 3n 是取自正态分布总体 N(， 2)的一个简单随机样本(n2)，则一定有（A） N(0，1) （B） Si2 2(n 一 1)（C） t(n1)（D）F 1= 同分布3 设 Y1，Y 2，Y n 是取自总体 X

2、 的一个简单随机样本，DX= 2， 是样本均值，则下列估计量的期望为 2 的是4 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，记 EX=，DX= 2，DS0，则（A）ES=（B） ES2=2（C） E 2=2（D）E( X2)=EX25 设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X1，X n 的样本均值，则 是 的矩估计，如果（A）XN(， 2)（B） X 服从参数为 的指数分布（C） PX=m=(1 一 )mm1，m=1，2，（D）X 服从0，上均匀分布二、填空题6 设随机变量 X1，X 2，X n，Y 1，Y 2，Y n 相互独立，且 Xi 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从

3、参数为 的指数分布，i=1 ，2，n，则当 n 充分大时，(Xi+Yi)近似服从 _分布，其分布参数为_与_7 假设随机变量 X1，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记Sn= Xi+n，当 n 充分大时，求 Sn 的近似分布8 假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为 ，标准差为 4求 100 名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一 1，1)内的概率9 一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500 粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 2的概率10 有 100 道单项选择题，每个题中有 4 个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1 分，选择错误得

4、 0 分假设无知者对于每一个题都是从 4 个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40 分的概率11 设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100 名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?12 设总体 X 服从参数为 p 的 01 分布，则来自总体 X 的简单随机样本X1，X 2，X n 的概率分布为_13 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y1= 都服从_分布，其分布参数分别为_和_14 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，而 X1，

5、X 2，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 服从_分布，分布参数为_15 设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X m 与Y1，X n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统计量 T=_16 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， 的数学期望为 2，则 a=_，b=_17 设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布， X1，X 2， ，X n 是取自 X 的简单随机样本，则未知参数 a，b 的矩估计量为 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值和

6、方差分别为 与S2，且 XB(1，p)，0p 118 试求： 的概率分布；19 证明：B= 20 设正态总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n 为来自 X 的简单随机样本，求证：21 设 X1，X 2，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使 Q=aX 2+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+e(X7+X8+X9+X10)2 服从 2 分布，并求自由度 m22 设总体 X 和 Y 相互独立，分别服从 N(， 12)，N(， 22)X 1，X 2，X m 和Y1，Y 2，Y n 是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，其样本均值分别为

7、，样本方差分别为 SX2，S Y2令 Z= 。求 EZ22 已知 X1，X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为与 S223 如果 EX=，DX= 2，试证明：X i 一 (ij)的相关系数 p=一 ；24 如果总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，试证明：协方差 Cov(X1，S 2)=025 设 XN(， 2)，从中抽取 16 个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求P 203926 设总体 XN(， 2)， Y1，Y 2，Y n(n=16)是来自 X 的简单随机样本，求下列概率：()P (Xi 一 )222；()P 2227 设 X 和 Y 都是来自正态

8、总体 N(， 2)的容量为 n 的两个相互独立的样本均值，试确定 n，使得两个样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为 00128 设总体 X 的概率分布为 ，其中 p(0p1)是未知参数，又设x1，x 2，x n 是总体 X 的一组样本观测值试求参数 p 的矩估计量和最大似然估计量29 设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= 其中 和 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 一 05，03，一 02，一 06，一01，04，05，一 08， 求 的矩估计值和最大似然估计值30 已知总体 X 服从瑞利分布，其密度函数为X1， Xn 为取自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计量 31 接连不断

9、地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k1，k 2，k n，试求命中率 p 的最大似然估计值和矩估计值32 设 X 服从a，b上的均匀分布， X1，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量33 已知总体 X 的密度函数为 其中， 为未知参数，X 1，X n 为简单随机样本，求 和 的矩估计量34 设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数为 其中 0 为已知，0 是未知参数，试根据来自 X 的简单随机样本X1，X 2，X n，求 的最大似然估计量35 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)=，其中

10、0 未知现从这批器件中任取 n 只在时刻t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预定时 T0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效，试求 的最大似然估计36 设有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n 件产品，检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2 ()若已知 p=25，求 n 的矩估计值 ； () 若已知 n=100，求 p 的极大似然估计值 ； ()在情况( )下，检验员从该批产品中再随机检测 100 个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于 3的概率(注：( )=076)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 69 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选

11、项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 与 Si2 分别是取自正态总体 N(， 2)的一个容量为 n 的简单随机样本，根据正态总体的抽样分布知，对 i=1，2，3，有因此选项A、(B) 、(C)均不成立，应选 D 进一步分析，因X1，X n，X n+1，X 2n，X 2n+1，X 3n 相互独立，因此 S12，S 22，S 32 也相互独立又因(n 一 1)Si2 2 2(n 一 1)，所以根据 F 分布的典型模式可得 =F1F(n 一 1，n 一 1)同理 F2=

12、S22S 32F(n 一 1，n一 1)，即 F1 与 F2 同分布【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 因 EX2=DX+(EX)2=2+2， +2，所以有应选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 从上题知 ES2=2，应选 B进一步分析 DS=ES 2 一(ES) 20(ES)2ES2=2 ES，【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 若 XN(， 2)，则 EX=， 的矩估计为 ，应选 A若 X 服从参数为 的指数分布，则 EX= ；对于选项 C，X服从参数为 的几何分布， EX=，=2EX，于是 的矩估计【

13、知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 正态，=E (Xi+Yi)=2n，D (Xi+Yi)=n(+2)【试题解析】 X 1+Y1，X 2+Y2，X n+Yn 相互独立同分布因EXi=DXi=， EYi=，DY i=2，故 E(Xi+Yi)=2，D(X i+Yi)=+2，当 n 充分大时，(Xi+Yi)近似服从正态分布，其分布参数 =E (Xi+Yi)=2n，D (Xi+Yi)=n(+2)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 由于 Xi 服从泊松分布，故 EXi=DXi=，又因 X1，X n 相互独立，所以 根据独立同分布的列维林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，

14、S n 一 n 近似服从正态分布 N(n，n)，因此 Sn 近似服从正态分布 N(n+n，n)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 设 100 名中第 i 名运动员身高为 Xi，i=1 ，100，可以认为X1，X 2，X 100 相互独立同分布，且 EXi=，DX i=16，=016，应用独立同分布中心极限定理， 近似服从正态分布 N(，042)，于是 2(25)一1=09876 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 设 500 粒麦种中发芽粒数为 X，则 X 近似服从二项分布8(500， 08)由于 n=500 相当大，根据拉普拉斯中心极限定理 X 近似服从正态分布 N(

15、400，80)，于是有【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 设 X 表示 100 个题中他能选对的题数，则 X 服从二项分布B(100，025)，从而 EX=25，DX=18 75应用拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(25，1875)，于是 PX 40=1PX40=1 1 一 (346)=00003【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 设至少购买 n 件，n 件中合格品数为 X，易见 X 服从二项分布B(n，09) ，且 n100，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从二项分布N(09n ，009n) 依题意 PX100=0975，即 0975=PX100

16、=解方程 =一 196 n119【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率分布为 ，此概率分布也可以表示为于是样本 X1，X 2，X n 的概率分布为 p(x1，x 2，x n)=如果记xi，则样本 X1，X 2，X n 的概率分布为 p(x1，x 2，x n)=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 t 分布，2 和 n 一 1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 相互独立同服从分布N(0，1)，所以 X1X2 与 X32+X42 相互独立，X 1 与 Xi2 也相互独立，且有 X1 一X1N(0 ，2)， N(0 ，1

17、)，X 32+X42 2(2)， Xi2 2(n 一 1)，即 Y1 与 Y2 都服从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n 一 1【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 N(0， 2)，f(10，5)【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X 15 相互独立且都服从分布N(0， 2)，所以 X12+X12 与 X112+X152 相互独立，由于 N(0 ，1)，因此 (X12+X102) 2(10)， (X112+X152) 2(5)，【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 依题意 XiN(0 ，) ，Y iN(0，)且相互独立，所以U 与 V

18、 相互独立，由 t 分布典型模式知【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 样本方差 S2=由 ES2=2 可得a= 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 EX= 2，解方程组【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由于 XB(1，p)，故 X 的概率分布为B(n，p)于是 Pn =k=Cnkpk(1 一 p)nk，k=0 ，1， 2，n，即 P =Cikpk(1p)nk，k=0，1，2，n【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 其中，因为 Xi

19、取值 0 或 1，故 Xi2=Xi【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X n 相互独立与 X 同分布且 与 S2 相互独立，于是又因 2(n1)，且 W 与 S2 相互独立，所以【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由于 Xi 独立同分布，则有 X 1N(0 ，4)，X 2+X3N(0 ，8)， X4+X5+X6N(0，12)，X 7+X8+X9+X10N(0，16) 于是 (X7+X8+X9+X10)相互独立都服从标准正态分布 N(0，1) 由 分布的典型模式可知 (X4+X5+X6)2+ (X7+X8+X9+X10)2 2(

20、4)所以，当 a= 时，Q 服从自由度为 4 的 2 分布【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由于与 也相互独立因此 于是 EZ=(E+E)=E(+)=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明因为X1，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故 EXi=，DX i=2， ，【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由于总体 XN(0， 2)，故 EXi=0，DX i=2故 Cov(X 1，S 2)=0【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 查 2 分布的上分位数表，得知 P2(15

21、)3058=o 01，因此 P 30585=o 99，即P 2039=099【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () P82(16)32=P2(16)8一 P2(16)32=0 95 001=O94()P82(15)32=P2(15)8一 P2(15)320900005=0895【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由于 相互独立，则查标准正态分布表，得=258， n=133因此 n 至少应为 14【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 矩估计 =p，故 p 的矩估计量 最大似然估计：似然函数 ，【试题解析】 由题设知，E(X)=p， xi，不难求出矩估计对

22、最大似然估计，关键是写出似然函数由于 xi 取自总体 xi 故 xi 不是取 0 就是取 1因此，X i的分布可表示成 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 由 f(x；，)0 和 -+f(x；，)dx=1，得到 0，0 且+=1于是 ()求矩估计值 由于 E(x)= -10xdx+01(1)xdx= ，()求最大似然估计值 由于在给定的 8 个样本值中，属(一 1，0)的有 5 个，属0， 1)的有 3 个，故似然函数为 L()= (xi； 5(1 一 )3，lnL()=5ln+3ln(1 一)， 令 =0，解得 的最大似然估计值 (显然这时 L()最大)【知识模块】 概率论与数

23、理统计30 【正确答案】 记 EX=，DX= 2，则由等式 =，因此参数 的矩估计量为 Xi 由于样本均值 与总体 X 的期望相等，因此2，【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 依题意，总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=k=p(1 一 p)k1，k=1 ，2 ，由于 EX= 样本(k1，k 2，k n)的似然函数 L 为 L(k 1，k 2，k n；p)=PX1=k1，X 2=k2，X n=kn【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 设 X 的样本观测值为 x1，x n，则似然函数显然( )n0，且 b 一 a 越小L 值越大，但是bx i，i=1，n=bm

24、ax(x i，x n)，同理axi，i=1，n=a (xi，x n)，所以只有当 b=maxxi，a= xi时，L 才达到最大值，故 a，b 的最大似然估计值分别为 xi，从而可知其最大似然估计量分别是 Xi【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 于是有 =，盯由于 ， 2 的矩估计分别为因此 与 的矩估计量分别为【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 是样本 X1， ，X n 的观测值，当x10(i=1，2，n)时其似然函数为因此 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 考虑事件 A：“试验直至时间 T0 为止，有 k

25、 只器件失效，而有 n一 k 只未失效” 的概率记 T 的分布函数为 F(t)，即有一只器件在 t=0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0=F(T0)=1 一 ；而在时间 T0 未失效的概率为 PTT 0=1 一F(T0)= 由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件 A 的概率为 L(A)=Cnk(1 一 )nk，这就是所求的似然函数取对数得 lnL()=lnC nk+kln(1一 )+(n 一 k)(一 T0)，令于是 A 的最大似然估计为 【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 记 X 为 n 件产品中的次品数，则 XB(n，p)()由=80()L= =C1001(C1002)3C100310(1 一 p)490，lnL=lnC 1001(C1002)C1003+10lnp+490ln(1 一 p)，令 ()在情况()下，X B(100， )，由中心极限定理知 X 近似服从 N(2， )，于是 PX3=1076=024【知识模块】 概率论与数理统计