[考研类试卷]考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷11及答案与解析.doc

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1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)可导且 f(x)0(x (0，1)，则( )（A）当 0x1 时 0xf(t)dt 0xxf(t)dt（B）当 0x时 0xf(t)dt=0xxf(t)dt（C）当 0x1 时 0xf(t)dt 0xxf(t)dt（D）以上结论均不正确2 设 y=f(x)在(a ，b) 可微，则下列结论中正确的个数是( )x 0(a，b)，若 f(x0)0，则x0 时， 与x 是同阶无穷小df(x)只与 x(a，b)有关y=f(x+x)一 f(x)，

2、则 dyy x0 时，dy 一y 是x 的高阶无穷小（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设 f(x)为可导函数，且满足条件 =一 1，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 ( )（A）2（B）一 1（C） （D）一 24 设 =a，则( )（A）f(x)在 x=x0 处必可导且 f(x0)=a（B） f(x)在 x=x0 处连续，但未必可导（C） f(x)在 x=x0 处有极限但未必连续（D）以上结论都不对5 设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数 f(x)在点x0 处( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）

3、某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少6 f(x)= 为大于零的常数，又 g(x0)，h +(x0)均存在，则g(x0)=h(x0)，g (x0)=h+(x0)是 f(x)在 x0 可导的( )（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件7 设 f(x)可导，且 f(x0)= ，则当 x0，f(x)在 x0 点处的微分 dy 是( )（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小（C）比 x 低阶的无穷小（D）比x 高阶的无穷小8 设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（A）f(a)=0，且 f(a)

4、=0（B） f(a)=0，且 f(a)0（C） f(a)0，且 f(a)0（D）f(a)0 ，且 f(a)09 设函数 f(x)与 g(x)在区间 (一，+)上均可导，且 f(x)g(x)，则必有( )（A）f(一 x)g(一 x)（B） f(x)g(x)（C） （D） 0xf(t)dt 0xg(t)dt10 设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（A）当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0（B）对任何 (a，b)，有 f(x)一 f()=0（C）当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b) ，使 f()=0（D）存在 (a，b) ，使 f(

5、b)一 f(a)=f()(b 一 a)11 设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3，则导数 f(x)不存在的点的个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）312 已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 ex，若 f(x0)=0(x00)，则( )（A）f(x)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点二、填空题13 =_。14 =_。15 =_。16 设函数 y=f(x

6、)由方程 y 一 x=ex(1y)确定，则 =_17 已知 f(x)= 则 f(x)=_18 设函数 f(x)= 则 f(x)=_。19 已知 f(ex)=xex，且 f(1)=0，则 f(x)=_20 设函数 f(x)在 x=0 可导，且 f(0)=1，f(0)=3，则数列极限=_。21 若函数 f(x)= 在 x=1 处连续且可导，那么a=_，b=_。22 设 (x)= =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 假设函数 f(x)和 g(x)在 a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内 g(

7、x)0； (2) 在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使24 设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x)a，f“(x)b苴中 a，b 都是非负常数，c 是(0，1)内任意一点证明f(c)2a+ 25 设函数 f(x)在 x=0 处二阶可导，且满足 =3求 f(0)，f(0)与 f“(0)26 证明当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1)227 设 f(x)在( 一 1，1)内具有二阶连续导数，且 f“(x)0证明： (1)对于任意的x(一 1，0) (0，1)，存在唯一的 (x)(0，1) ，使 f(x)=f(0)+xf(x)x)成立 (2)28 设函数 f(x)在 x

8、=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)f(0)0，当 h0 时，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)=o(h)，试求 a，b 的值29 设 eabe 2，证明 ln2bln2a (b 一 a)考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 记 F(x)=0xf(t)dt 一 01xf(t)dt，F(x) 在0 ，1连续，则 F(x)=f(x)一 01f()dt，且 F“(x)=f(x)0(x (0，1)，因此 F(x)在0 ， 1上单调下降 又 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，

9、则存在 (0，1)，故 F(x)0(x(0，1)，故选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 逐一分析 正确因为 所以x0 时， 与 x 是同阶无穷小 错误df(x)=f(x)x，df(x)与 x(a，b) 及 x 有关 错误当y=f(x)为一次函数： f(x)=ax+b，则 dy=ax=y 正确由可微概念，f(x+x)一 f(x)=f(x)x+o(x)，(x0)，即 ydy=o(x)，(x0) 故选 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 将题中极限条件两端同乘 2，得由导数定义可知，f(1)=一 2，故选 D【知识模块】 一元函数微分学4

10、【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f(x)在 x=x0 处的左右导 f(x0)，f +(x0)与在 x=x0 处的左右极限 区分开=a，但不能保证 f(x)在 x0 处可导，以及在 x=x0 处连续和极限存在所以 f(x)在 x=0处不连续，不可导故 选 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x0)=0，知 x=x0 是函数 y=f(x)的驻点将 x=x0 代入方程，得y“(x0)一 2y(x0)+4y(x0)=0考虑到 y(x0)=f(x0)=0，y“(x 0)=f“(x0)，y(x 0)=f(x0)0，因此有 f“(x0)=一 4f(x0)0，由极值

11、的第二判定理知，f(x) 在点 x0 处取得极大值，故选 A【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 充分性：设 g(x0)=h(x0)，g (x0)=h+(x0)，则 f(x)可改写为所以 f(x0)=g(x0)，f +(x0)=h+(x0)，即 f(x0)=f+(x0) 必要性：由可导的充要条件得 f(x)在 x0 处可导设 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处连续，所以 =f(x0)又 g(x0)与 h+(x0)存在，则 g(x)，h(x)在 x0 分别左右连续，所以由此有 f +(x0)=h+(x0)，f (x0)=g(x0)， 所以 h+(x0)=g(

12、x0)，故选 C【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x0 点处可导及微分的定义可知 即当x0 时，dy 与x 是同阶的无穷小，故选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(a)0，由复合函数求导法则有因此排除 C 和 D(当f(x)在 x=a 可导，且 f(a)0时，f(x)在 x=a 点可导) 当 f(a)=0 时，上两式分别是f(x)在 x=a 点的左右导数，因此，当 f(a)=0 时，f(x)在 a=a 点不可导的充要条件是上两式不相等，即 f(a)0时，故选 B 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【

13、试题解析】 取 f(x)=1， g(x)=2，显然满足题设条件，而由此例可立即排除选项A、B，且对于选项 D，因 0xf(t)dt=0x1).dt=x， 0xg(t)dt=0x2.dt=2x， 当 x0 时，选项 D 显然不正确，故选 C【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 因只知 f(x)在闭区间a ，b 上有定义，而 A、C 、D 三项均要求 f(x)在a， b上连续故选项 A、C、D 均不一定正确，故选 B【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 设 (x)=(x一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3，则 f(x)=(x)使 (x)=0的

14、点x=1，x=2，x=3 可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 (x)在这些点的值 (x)=(x 2)2(x3)3+2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)3+3(x1)(x 一 2)2(x 一 3)3，显然，(1)0，(2)=0， (3)=0，所以只有一个不可导点 x=1故选 B【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=0 知，x=x 0 是 y=f(x)的驻点将 x=x0 代入方程，得 x0f“(x0)+3x0f(x0)2= 0(分 x00 与 x00 讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在 x0 处取得极小值，故选 B 【知识模块】 一元函数

15、微分学二、填空题13 【正确答案】 0【试题解析】 运用洛必达法则，分子、分母同除以(e x)3 得，【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1对方程两边求导得 y一 1=ex(1y)(1 一 yxy)，将x=0，y=1 代入上式，可得 y(0)=1， 所以【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，f(x)=cosx，当 x0 时，f(x)=1；【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【

16、试题解析】 当 x0时，【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 (lnx)2【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 e 6【试题解析】 故原式=e6【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 a=2，b=一 1【试题解析】 因 f(x)在 x=1 处连续，则 =f(1)，即 1=a+b 要使函数 f(x)在 x=1 处可导，必须有 f(1)=f+(1) 由已知可得因此可得 a=2，b= 一 1【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 先考查 (x)的可导性并求导 (x) 在 x=0 处的左导数为【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写

17、出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 (1)利用反证法假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则对 g(x)在a， c和 c，b上分别应用罗尔中值定理，可知存在 1(a，c) 和 2(c，b)，使得g(1)=g(2)=0 成立 接着再对 g(x)在区间， 上应用罗尔中值定理，可知存在(，)，使得 g“()=0 成立，这与题设条件 g“(x)0 矛盾，因此在开区间(a，b)内，g(x)0 (2)构造函数 F(x)=f(x)g(x)一 g(x)f(x)，由题设条件得函数 F(x)在区间a， b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F(a)=F(b)=0根据罗尔中值定理可

18、知，存在点 (a，b)，使得 F()=0 即 f()g“()f“()g()=0， 因此可得 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 对 f(x)在 x=c 处应用泰勒公式展开，可得 f(x)=f(c)+f(c)(xc)+(xc)2 (*)其中 =c+(x 一 c)，01 在 (*)式中令 x=0，则有【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由题设可知【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 f(x)=(x2 一 1)lnx 一(x 一 1)2，易知 f(1)=0 又 可见，当 0x1 时，f“(x)0；当 1x+时，f“(x)0 因此，当 1x+ 时，f“(x)f“(

19、1)=2 0，又由 f(1)=0，且 f(x)是单调增函数，因此，当 0x1 时，f(x) 2 一 1)lnx(x 一 1)2【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 (1)由拉格朗日中值定理，对任意的 x(1，一 1)，x0，存在(0，1) 使 f(x)=f(0)+xf(x)( 与 x 有关) 又由 f“(x)连续且 f“(x)0 知，f“(x) 在(1 ，一 1)不变号，则 f(x)在(1，一 1)严格单调， 唯一 (2)对 f(x)使用 f“(0)的定义由(1)中的式子，则有【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由题设条件知 af(h)+bf(2h)f(0)=(a+b 一 1)f(0) 由于 f(0)0，故必有 a+b 一 1=0又由洛必达法则 因 f(0)0，则有 a+2b=0 综上，得 a=2，b=一 1【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 对函数 y=ln2x 在a ，b上应用拉格朗日中值定理，得当 te 时，(t)0，所以 (t)单调减少，从而有 ()(e 2)，即所以当 xe 时，“(x)0，因此 (x)单调减少，从而当 exe 2 时，即当 exe 2 时， (x)单调增加 因此当exe 2 时，(b)9(0)(eabe 2)，即【知识模块】 一元函数微分学