[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷38及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续2 设 为 f(x)=arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为( )3 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 等于( )（A）-f(a) （B） f(a)（C） 2f(a)（D）4 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，

2、f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 f(x)连续可导，g(x) 连续，且则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点6 设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续7 曲线 y= 的渐近线的条数为( ) （A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）3 条8 设函数 f

3、(x)在(-，+) 内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( )（A）两个极大点，两个极小点，一个拐点（B）两个极大点，两个极小点，两个拐点（C）三个极大点，两个极小点，两个拐点（D）两个极大点，三个极小点，两个拐点二、填空题9 设 f(x)= ，则 f(x)=_10 设两曲线 y=x2+ax+b 与-2y=-1+xy 3 在点(-1 ，1)处相切，则a=_，b=_11 设函数 y= =_12 设 f(x)二阶连续可导，且 =_13 设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=-2，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 x=x(t)由 sint-15

4、 设 x3-3xy+y3=3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点16 x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x) 可导，且 f(x)= ，f(0)=3，求 (3)17 设 f(x)连续，(x)= 求 (x)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性18 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足 f(x)-2ex(x-1) 2，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性19 设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， ，求曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率20 设 y= ，求 y21 设 f(x)= 且 f(0)存在，求 a，b，c21 设 f(x)在0

5、，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0， =1，f(1)=0证明：22 存在 ，使得 f()=；23 对任意的 k(-，+) ，存在 (0，) ，使得 f()-kf()-=124 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)=，证明：存在 (0，2)，使得 f()+f()=025 设 f(x)在0，1上可导， f(0)=0，f(x) f(x)证明：f(x)0，x0 ，126 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ， (a，b)，使得 2e2-=(ea+eb)f()+f()27 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1

6、)=0 且 证明：存在 (0，1)，使得f()828 一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当x-a 时，有 f(x)0，于是f(a)，即 f(x)在 x=a 处可导，同理当 f(a)0 时，f(x)在 x=a 处也可导，选(A)【知识模块】

7、 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(a)-f(0)=f()a，即 arctana=，选(C)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 ，得 f(0)+f(0)=0，于是 f(0)=0再由=f(0)+f(0)=2，得 f(0)=2 0，故 f(0)为 f(x)的极小值，选(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由所以存在 0，当 0x 时， 即当 x(-，0)时，f(x)0；当x(0，) 时，f(x)0，故(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，应选(C)【知识模

8、块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以=(a)，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f(x)在 x=a 处左可导，得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，由于左右导数不一定相等，选(D) 【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 无水平渐近线；由有两条铅直渐近线；由有一条斜渐近线 y=x，选(D)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1，0)，(x 2，0)，其中x1x 2；当 x0 时，f(x)与 x 轴

9、的两个交点为(x 3，0)，( 4，0)，其中 x3x 4 当xx 1 时，f(x)0，当 x(x1，x 2)时，f(x)0，则 x=x1 为 f(x)的极大点；当x(x2，0)时，f(x)0，则 x=x2 为 f(x)的极小点；当 x(0，x 3)时，f(x)0，则 x=0为 f(x)的极大点；当 x(x3，x 4)时，f(x)0，则 x=x3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f(x)0，则 x=x4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)【知识模块】 一元函数微分学

10、二、填空题9 【正确答案】 2x(1+4x)e 8x【试题解析】 由 f(x) 得 f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 3,3【试题解析】 因为两曲线过点(-1，1)，所以 b-a=0，又由 y=x2+ax+b 得，且两曲线在点(-1，1)处相切，则 a-2=1，解得 a-b=3【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 e 2【试题解析】 由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0，则【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 1【试题解析】 由【知识模

11、块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 将 t=0 代入【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 x 3-3xy+y3=3 两边对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 当 x0 时，(x)=，所以 (x)在x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e当 x1 时，不等式两边同除以x-1 ，得【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由 则y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率为【知识模块】 一元函数

12、微分学20 【正确答案】 当x1 时， 当 x1 时，y=1；当 x-11 时，y=-1；由 得 y 在 x=-1 处不连续，故 y(-1)不存在；因为 y-(1)y+(1)，所以 y 在 x=1 处不可导，故 y=【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即 f(x)=由 f(x)在 x=0 处可导，得b=1，即 f(x)= 于是【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 (x)=f(x)-x，(x)在0，1上连续， ，(1)=-10，由零点定理，存在 ，使得 ()=0，即 f()=.【知识模块】 一元

13、函数微分学23 【正确答案】 设 F(x)=e-kx(x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()=0，整理得 f()=kf()-=1【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 由 =0，得 f(1)=-1，由积分中值定理得 f(2)= 由罗尔定理，存在x0(c，2) (1，2)，使得 f(x0)=0令 (x)=exf(x)，则 (1)=(x0)=0，由罗尔定理，存在 (1，x 0) (0，2) ，使得 ()=0，而 (x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学25 【

14、正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0， 1上连续，故 f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x00，1，使得f(x 0)=M 当 x0=0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1；当 x00 时，M=f(x 0)=f(x 0)-f(0)=f()x 0f()【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得=ef()+f()，再由 f(a)=f(b)=1，得 =ef()+f()，从而=(ea+eb)ef()+f()，令 (x)=e2x，由微分中值定理，存在 (a，b) ，使

15、得即 2e2=(ea+eb)ef()+f()，或 2e2-=(ea+eb)f()+f()【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， =-1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1) 内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=-1，再由费马定理知 f(c)=0，根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f(c)(0-c)+ (0-c)2， 1(0，c)f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+(1-c)2， 2(c，1)整理得 当 c8，取 =1；当 c 8，取=2所以存在 (0，1)，使得 f()8【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S(0)=0，S(1)=1，S(1)=0由泰勒公式两式相减，得 S(2)-S(1)=-8 S( 1)+S( 2)8 当S( 1)S( 2)时，S( 1)4；当S( 1)S( 2)时，S( 2)4【知识模块】 一元函数微分学