宁夏石嘴山市第三中学2017_2018学年高二数学上学期第二次（12月）月考试题文（含解析）.doc

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1、1宁夏石嘴山市第三中学 2017-2018 学年高二上学期第二次（12 月）月考数学（文）试题考试范围：圆锥曲线与方程、导数及其应用、统计案例；考试时间：120 分钟第 1 卷一选择题1.已知存在性命题 ，则命题 的否定是（ ）A. B. 对C. D. 对【答案】B【解析】存在性命题 ，则命题 的否定是故选：B2.下列命题中：线性回归方程 至少经过点(x 1,y1)，(x 2,y2)，(x n ,yn)中的一个点；若变量 和 之间的相关系数为 ，则变量 和 之间的负相关很强；在回归分析中，相关指数 为 0.80 的模型比相关指数 为 0.98 的模型拟合的效果要好；在回归直线 中，变量 时，变

2、量 的值一定是-7。其中假命题的个数是 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】利用回归直线方程的有关知识逐一判断即可.【详解】对于，回归直线直线 y= x+是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过（ ） ，所以不正确；对于，由相关系数的作用，当|r|越接近 1，表示变量 y 与 x 之间的线性相关关系越强；变量 y 和 x 之间的相关系数为 r=0.9362，则变量 y 和 x 之间具有线性相关关系，所以2正确；对于，用相关指数 R2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好，所以不正确；对于，在回归直线 中，变量 x=2 时，变

3、量 y 的预报值是-7，但实际观测值可能不是-7，所以不正确； 故选：C【点睛】本题考查变量间的相关关系，本题解题的关键是正确理解相关变量的意义，考查命题的真假性，要求对各个章节的知识点有比较扎实，比较全面的掌握3.双曲线 的渐近线方程是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】已知双曲线 ，根据双曲线的渐近线的方程的特点得到：令即得到渐近线方程为：y= x故选：B4.已知函数 y=f（x） ，其导函数 y=f（x）的图象如图所示，则 y=f（x） （ ）A. 在（，0）上为减函数 B. 在 x=0 处取极小值C. 在（4，+）上为减函数 D. 在 x=2 处取极大值【答案】C【解析】

4、【分析】根据函数 f（x）的导函数 f（x）的图象可知 f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可3【详解】根据函数 f（x）的导函数 f（x）的图象可知 f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0当 x0 时，f（x）0，f（x）递增；当 0x2 时，f（x）0，f（x）递减；当 2x4 时，f（x）0，f（x）递增；当 x4 时，f（x）0，f（x）递减可知 C 正确，A 错误由极值的定义可知，f（x）在 x=0 处函数 f（x）取到极大值，x=2 处函数 f（x）的极小值点，可知 B、D 错误故选：C【点睛】本题主要考查了函数在某点取得

5、极值的条件，以及导函数图象与原函数的性质的关系，属于中档题5.若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为( ）A. 2 B. 2 C. 4 D. 4【答案】D【解析】因为椭圆 的右焦点坐标为 ，又 的焦点为所以 ，即6.已知椭圆 的两个焦点为 ,且 ,弦 过点 ,则 的周长为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得椭圆的 a，b，c，由椭圆的定义可得ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值4【详解】由题意可得椭圆 + =1 的 b=5，c=4，a= = ，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有

6、ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 故选：D【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题7.若抛物线 上有一条过焦点且长为 6 的动弦 ，则 的中点到 轴的距离为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】由抛物线的焦点弦公式可得： ，则 的中点到 轴的距离为.本题选择 A 选项.点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式8.已知函数 f(x)x 33ax 2bxa 2

7、在 x1 处有极值 0，则 a 的值为 （ ）A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】求导函数，利用函数 f（x）=x 3+3ax2+bx+a2在 x=1 处有极值 0，建立方程组，求得 a，b的值，再验证，即可得到结论【详解】函数 f（x）=x 3+3ax2+bx+a2，f（x）=3x 2+6ax+b，又函数 f（x）=x 3+3ax2+bx+a2在 x=1 处有极值 0，5 ， 或 ，当 时，f（x）=3x 2+6ax+b=3（x+1） 2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；当 时，f（x）=3x 2+6ax+b=3（x+1） （x+3）=0，方程有两

8、个不等的实数根，满足题意；a=2故选：B【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题9.若函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)x 22f(2)xm，则( )A. f(0)f(5) D. f(0)f(5)【答案】C【解析】【分析】由于 f（x）=x 2+2f（2）x+m， （mR） ，只要求出 2f（2）的值，可先求 f（x） ，再令 x=2 即可利用二次函数的单调性即可解决问题【详解】f（x）=x 2+2f（2）x+m，f（x）=2x+2f（2） ，f（2）=22+2f（2） ，f（2）=4f（x）=x 28x+m，其对称轴方程为：x=4，f（0）=m，

9、f（5）=2540+m=15+m，f（0）f（5） 故选：C【点睛】本题考查二次函数的单调性，求出 2f（2）的值是关键，属于中档题10.已知 是 R 上的单调增函数，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6【答案】D【解析】函数 在 上单增，只需 恒成立， ，则 ，则 ,选 D.11.已知 f（x）为 f（x）的导函数，若 f（x）=ln ，且 b dx=2f（a）+ 1，则 a+b的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先由已知的等式得到 a，b 的关系式，将所求转化为利用基本不等式求最小值【详解】由 b dx=2f（a）+ 1，得到 b（ x2 ）|=

10、 + 1，即 =1，且a，b0，所以 a+b=（a+b） （ ）= ；当且仅当 时等号成立；故选：C【点睛】本题考查了定积分、导数的计算及利用基本不等式求代数式的最小值，属于中档题12.设函数 是奇函数 的导函数, ,当 时, ,则使得成立的 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数 g（x）= ，利用 g（x）的导数判断函数 g（x）的单调性与奇偶性，再画出函数 g（x）的大致图象，结合图形求出不等式 f（x）0 的解集7【详解】设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x）= ，当 x0 时总有 xf（x）f（x）成立，即当 x0 时，g（x）恒小于

11、0，当 x0 时，函数 g（x）= 为减函数，又g（x）= = = =g（x） ，函数 g（x）为定义域上的偶函数，又g（1）= =0，函数 g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式 f（x）0 等价于 xg（x）0，即 或 ，解得 0x1 或 x1f（x）0 成立的 x 的取值范围是（，1）（0，1） 故选：A【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题二填空题13.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单元:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回

12、归直线方程: 8=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每年增加 1 万元,年饮食支出平均增加_万元.【答案】 【解析】当 变为 时， =0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而 0.245x+0.321+0.245-（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 0.245 万元，本题填写 0.245.视频14.曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .【答案】【解析】解析：依题意得 y=e x，因此曲线 y=ex在点 A（2，e 2）处的切线的斜率等于 e2，相应的切线方程是 y-e2

13、=e2（x-2） ，当 x=0 时，y=-e 2即 y=0 时，x=1，切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：15.设抛物线 y2=16x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12，则点 P 与焦点 F 的距离|PF|= .【答案】16【解析】试题分析：由抛物线方程可知 ，所以 P 到准线的距离为 16，由定义可知点 P与焦点 F 的距离|PF|=16考点：抛物线方程及性质16.设双曲线 的半焦距为,直线经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线的距离为 ,双曲线的离心率为_.【答案】【解析】9【分析】先求出直线 l 的方程，利用原点到直线 l 的距离为 ，及又 c2=a2+b2，求出离心率【

14、详解】直线 l 过（a，0） ， （0，b）两点，直线 l 的方程为： + =1，即 bx+ayab=0，原点到直线 l 的距离为 ， = 又 c2=a2+b2，a 2+b2 ab=0，即（a b） （a b）=0；a= b 或 a= b；又因为 ba0，a= b，c=2a；故离心率为 e=2；故答案为 2【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到 a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a,c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为 a,c 的齐次式，然后转化

15、为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 e (e 的取值范围)三解答题17.某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中优秀的人数是 30 人.（1）请完成上面的列联表;优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 110 10（2）根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;参考公式与临界值表 .0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.

16、635 10.828【答案】 （1）见解析； （2）不能认为“成绩与班级有关系”.【解析】【分析】（1）由于从甲、乙两个理科班全部 110 人中随机抽取人为优秀的概率为 ，可得两个班优秀的人数，乙班优秀的人数=3010=20，甲班非优秀的人数=110（10+20+30）=50即可完成表格（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得：K 2，和临界值表比对后即可得到答案【详解】 （1）优秀 非优秀 合计甲班 10 50 60乙班 20 30 50合计 30 80 110（2）根据列联表中的数据，计算得到 .因此按 99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.【点睛】本题考查了列联表

17、、独立性检验，独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式 K2，计算出k 值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案1118.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x 吨）与相应的生产能耗 y（吨）标准煤的几组对照数据：（1）请画出上表数据的散点图； 1 2 3 4 52 3 6 9 10（2）请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ，并在坐标系中画出回归直线； （3）已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 220 吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能

18、耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ 注： 【答案】 （1）详见解析；（2） ；（3）0.6 吨.【解析】【分析】（1）描点作图即可；（2）由题意求出 ， ， ， ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）代入 x=100求解改造后消耗，即可知道比技术改造前降低多少吨标准煤12【详解】 （1）散点图如图： （2） ， ， ， ， ； ，所求的回归方程为 ；（9 分）注意：回归直线方程必过（3，6）点且纵截距为负；（3） ， ，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了 （吨）.【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成 列联表；（II）根据公式计算 的值；（III） 查表比较

19、与临界值的大小关系，作统计判断 （注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误 ）19.已知函数 在 与 时都取得极值.求 的值与函数 的单调区间;若 ,求 的最大值.【答案】 （1） 的递增区间是 与 ，递减区间是 ；（2） .【解析】【分析】（1）求出 f（x） ，因为函数在 x= 与 x=1 时都取得极值，所以得到 f（ ）=0 且f（1）=0 联立解得 a 与 b 的值，然后把 a、b 的值代入求得 f（x）及 f（x） ，然后讨13论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由求出函数的最大值为 f（2）.【详解】 （1） ，

20、，由 ， 得 ， ，所以函数 的递增区间是 与 递减区间是 。（2） ， ，当 时， 为极大值，而 ，则 原来最大值。【点睛】函数的最值(1)在闭区间 上连续的函数 f(x)在 上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在 上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在 上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值20.设 、 为曲线 ： 上两点， 与 的横坐标之和为 （1）求直线 的斜率；（2） 为曲线 上一点， 在 处的切线与直线 平行，且 ，求直线 的方程【答案】 （1）1；（2）【解析】试题分析：（1）由直线斜率公式可得 AB

21、的斜率 ，再根据 A 与 B 的横坐标之和为 4，得 AB 的斜率 .（2）先根据导数几何意义得 M 点坐标，再根据直角三角形性质得 ， （ AB 的中点为 N） ，设直线 AB 的方程为 ，与抛物线方程联立，利用两点间距离公式以及弦长公式可得关系式 ，解得 .即得直线AB 的方程为 .试题解析：解：（1）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，则 ， ， ， x1+x2=4，14于是直线 AB 的斜率 . （2）由 ，得 .设 M（ x3， y3） ，由题设知 ，解得 ，于是 M（2，1）.设直线 AB 的方程为 ，故线段 AB 的中点为 N（2 ,2+m） ，| MN|=|m

22、+1|.将 代入 得 . 当 ，即 时， .从而 . 由题设知 ，即 ，解得 .所以直线 AB 的方程为 .21.已知函数 .（1）证明：函数 在区间 上是减函数；（2）当 时，证明：函数 只有一个零点.【答案】 （1）证明见解析：（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合 a，x 的范围得到函数的单调性，从而证明结论；（2）代入 a 的值，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证明结论即可【详解】分析：（1）只需证明 的导函数 恒成立，且不恒等于 0.注意定义域和参数 a 的范围。 （2）当 时， ，其定义域是 ，通过求导分析函数的单调性及极值可知函数

23、的图像与 x 轴相切于（1，0）点，其余点均在 x 轴下方，所以只有一个零点。解：（1）显然函数 的定义域为 .15.所以函数 在 上是减函数.（2）当 时， ，其定义域是 ，.令 ，即 ，解得 或 .舍去. 当 时， ；当 时， .函数 在 上单调递增，在区间 上单调递减.当 ，函数 取得最大值，其值为 ， 当 时， ，即 ，函数 只有一个零点.【点睛】当 在某个区间 D 上恒成立时， 在区间 D 上单调递增，当 在某个区间 D 上恒成立时， 在区间 D 上单调递减。求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数。22.已知椭圆 的离心率为

24、，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线 相切（为常数）.（1）求椭圆 的标准方程；（2）如图，若椭圆的 左、右焦点分别为 ，过 作直线与椭圆分别交于两点 ，16求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由椭圆离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的焦距为直径与直线相切，列出方程组求出 的值，由此能求出椭圆 的方程；（2）当直线的斜率不存在时，推导出 ，当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，联立方程组，利用韦达定理、向量的知识，结合题意，即可求解 的取值范围.试题解析：（1）由题意故椭圆 .（2）若直线斜率不存在，则可得 轴，方程为 ，故 .若直线斜率存在，设直线的方程为 ，由 消去 得 ，设 ，则 .，则17代入韦达定理可得由 可得 ，结合当 不存在时的情况，得 .点睛：本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及椭圆的标准方程、椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系的应用，同时考查了向量的数量积的运算，解答时要认真审题，注意韦达定理、向量知识和椭圆性质的合理应用，审题有一定的难度，属于中档试题.