[考研类试卷]考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷1及答案与解析.doc

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1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示2 向量组 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是（A） 1， 2， s 均不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s， s+1 线性无关（D） 1， 2， s 中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表出3 设 1， 2， 3， 4 是 3 维非零向

2、量，则下列说法正确的是（A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1 3， 2 4 也线性相关（B）若 1， 2， 3 线性无关，则 1 4， 2 4， 3 4 线性无关（C）若 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关（D）若 1， 2， 3， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关4 若 1， 2， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（A） 1， 1 2， 1 2 3（B） 1 2， 1 2， 3（C） 1 2， 2 3， 3 1（D） 1 2， 2 3， 3 15 设向量组： 1， 2， r，可由向量组： 1， 2，

3、s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关6 若 r(1， 2， s)r，则（A）向量组中任意 r1 个向量均线性无关（B）向量组中任意 r 个向量均线性无关（C）向量组中任意 r1 个向量均线性相关（D）向量组中向量个数必大于 r7 设 n 维向量 1， 2， s，下列命题中正确的是（A）如果 1， 2， s 线性无关，那么 1 2， 2 3， s-1 s， s 1也线性无关（B）如果 1， 2， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关（C）如果 1，

4、2， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么A1，A 2，A s 也线性相关（D）如果 1， 2， s 线性相关，那么 s 可由 1， 2， s-1 线性表出8 已知 A r(A*)1，则（A）ab0（B） ab 且 a2b0（C） a2b0（D）ab 且 a2b0二、填空题9 向量组 1(1 ，0，1， 2)T， 2(1，1，3，1) T， 3(2，1a 1，5) T 线性相关，则 a_ 10 已知 1(a，a，a) T， 2(a，a ，b) T， 3(a ，a，b) T 线性相关，则a，b 满足关系式 _11 已知 1， 2， 3 线性无关， 1 2，a 2 3， 1 2 3 线性相关

5、，则a_ 12 若 (1 ，3，0) T 不能由 1(1，2，1) T， 2(2 ，3，a) T， 3(1，a 2，2) T线性表出，则 a_ 13 任意 3 维向量都可用 1(1，0，1) T， 2(1，2，3) T， 3(a ，1，2) T 线性表出，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 已知 1(1 ，1，0，2) T， 2(1，1，2，4) T， 3(2，3，a ，7)T， 4(1，5，3，ab) T，(1，0，2，b) T，问 a，b 取何值时，()B 不能由 1， 2， 3， 4 线性表示 ?()B 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一；()

6、 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式15 已知向量组有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表出，求 a，b 的值16 已知 1， 2， s 是互不相同的数，n 维向量 i(1， i， i2， in-1)T(i1，2， ，s)，求向量组 1， 2， s 的秩17 如果秩 r(1， 2， s)r( 1， 2， s， s+1)，证明 s+1 可由1， 2， s 线性表出18 设 A 是 n 阶非零实矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果AT A*，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出19 证明 1， 2， s(其

7、中 10)线性相关的充分必要条件是存在一个 i(1is)能由它前面的那些向量 1， 2， i-1 线性表出20 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 AB C，且 r(C)m ，证明 A 的行向量线性无关21 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 ABC，如果秩 r(A)n，证明秩 r(B)r(C) 22 用 Schmidt 正交化方法将下列向量组规范正交化： 1(1，1，1) T， 2 (1，0， 1)T， 3(1，2，3) T23 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，y 是实 n 维列向量，满足 Ay，证明 与 y 正交24 设 ABC ，证明：(1

8、)如果 B 是可逆矩阵，则 A 的列向量和 C 的列向量组等价(2)如果 A 是可逆矩阵，则 B 行向量组和 C 的行向量组等价25 (1)如果矩阵 A 用初等列变换化为 B，则 A 的列向量组和 B 的列向量组等价(2)如果矩阵 A 用初等行变换化为 B，则 A 的行向量组和 B 的行向量组等价26 设 1(2，1 ，2，3) T， 2(1，1，5，3) T， 3 (0，1，4，3)T， 4(1，0，2，1) T， 5(1，2，9，8) T求 r(1， 2， 3， 4， 5)，找出一个最大无关组27 设 1(1 ， 1，2，4) ， 2(0，3，1，2)， 3(3，0，7，14)，4 (1，

9、2， 2，0)， 5 (2，1，5，10) 对己 r(1， 2， 3， 4， 5) 求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示28 A ，已知 r(A*)r(A)3，求 a，b 应该满足的关系考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 故应选 C【知识模块】 向量组的线性关系与秩2 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A、B 均是线性无关的必要条件例如， 1(1，1，1)T， 2(1，2，3) T， 3(2，3，4) T，虽 1， 2， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比

10、例，但 1 2 30， 1， 2， 3 线性相关 选项 C 是线性无关的充分条件由 1， 2， s， s+1 线性无关，得 1， 2， s 线性无关，但由1， 2， s 线性无关 1， 2， s+1 线性无关 选项 D 是线性相关的意义故应选 D【知识模块】 向量组的线性关系与秩3 【正确答案】 C【试题解析】 若 1(1，0)， 2(2，0)， 3(0 ，2) ， 4(0，3)，则 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，但 1 3(1，2)， 2 4(2，3) 线性无关故选项 A不正确 对于选项 B，取 4 1，即知选项 B 不对 对于选项 D，可考察向量组(1， 0，0) ， (0，1

11、，0)， (0，0，1)，(1，1，1)，可知选项 D 不对 至于选项 C，因为 4 个 3 维向量必线性相关，如若 1， 2， 3 线性无关，则 4 必可由1， 2， 3 线性表出现在 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，故 1， 2， 3 必线性相关故应选 C【知识模块】 向量组的线性关系与秩4 【正确答案】 D【试题解析】 由( 1 2)( 2 3)( 3 1)0， 可知 1 2， 2 3， 3 1线性相关故应选选项 D 至于选项 A、B、C 线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断 例如，选项 A 中 r(1， 1 2， 1 2 3)r( 1， 1 2， 3)r( 1，

12、2， 3)3 或( 1， 1 2， 1 2 3)( 1， 2， 3) 由行列式 0 而知 1， 1 2， 1 2 3 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩5 【正确答案】 D【知识模块】 向量组的线性关系与秩6 【正确答案】 C【试题解析】 秩 r(1， 2， s)r 向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 r 个向量 向量组 1， 2， 3 中有 r 个向量线性无关，而任 r1 个向量必线性相关 所以应选 C【知识模块】 向量组的线性关系与秩7 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A：当 s 为偶数时，命题不正确例如，1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关 选项 B：两个向

13、量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系 例如，1， 2， s 与 1， 2， s，0 等价，但后者必线性相关 选项 C：因为(A1，A 2，A s)A( 1， 2， s)，于是 r(A 1，A 2，A s)rA( 1， 2， s)r(1， 2， s)s ， 所以， A1，A 2，A s 必线性相关故应选 C【知识模块】 向量组的线性关系与秩8 【正确答案】 B【知识模块】 向量组的线性关系与秩二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 1， 2， 3 线性相关 (1， 2， 3)3故 a1【知识模块】 向量组的线性关系与秩10 【正确答案】 a 0 或 ab

14、【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 1， 2， n0而 1， 2， 3 2a 2(ab) ， 故 a0 或ab【知识模块】 向量组的线性关系与秩11 【正确答案】 2【试题解析】 记 1 1 2， 2a 2 3， 3 1 2 3，则 1， 2， 3，线性相关 a20 得 a2【知识模块】 向量组的线性关系与秩12 【正确答案】 1【试题解析】 不能由 1， 2， 3 线性表出 方程组 11 22 33 无解又因为 a1 时方程组无解，所以 a1 时 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 向量组的线性关系与秩13 【正确答案】 3【试题解析】 任何 3 维向量 可由 1， 2， 3

15、 线性表出 r(1， 2， 3)3 因而 2(a3)0， 所以 a3 时，任何 3 维向量均可由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 向量组的线性关系与秩三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 设 11 22 33 34 对增广矩阵( 1， 2， 3， 4 )作初等行变换，有()当 a1，b2 或 a10 ，b1 时，方程组均无解所以 不能由1， 2， 3， 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时， b 方程组均有唯一解所以 能用 1， 2， 3， 4 线性表示且表示法唯一 ( )方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a10，b1 时，方程组有无穷多解：

16、 4t ，即 (2)当 a1，b2 时，方程组有无穷多解： 4 ， 2t， 312t， 15t ， 即 (5t )1 t2(12t) 3 4【知识模块】 向量组的线性关系与秩15 【正确答案】 因为 3 可由 ， 线性表示，故方程组 12 22 33 3有解由并且秩 r(1， 2， 3)2 于是 r(1， 2， 3)2 从而 1， 2， 3(a15)0，得 a15【知识模块】 向量组的线性关系与秩16 【正确答案】 当 sn 时， 1， 2， s 必线性相关，但 1， 2， n是范德蒙行列式，故 1， 2， n 线性无关因而 r(1， 2， s)n 当sn 时， 1， 2， n 线性无关，秩

17、r(1， 2， n)n 当 sn 时，记1(1，a 1，a 12，a 1s-1)T， 2(1，a 2，a， 22， a2s-1)T， ， s(1 ，a s，a s2， ，a ss-1)T，则 1， 2， ， s 线性无关那么1， 2， s 必线性无关故 r(1， 2， s)s 【知识模块】 向量组的线性关系与秩17 【正确答案】 设 r(1， 2， s)r( 1， 2， s， s+1)r，且i1， i2， ir 是向量组 1， 2， s 的极大线性无关组，那么i1， i2， ir 也是 1， 2， s， s+1 的极大线性无关组从而 s+1 可由i1， i2， ir 线性表出那么 s+1 可由

18、 1， 2， s 线性表出 或者考察方程组 11 22 ss s+1因为 r(1， 2， s)r( 1， 2， s， s+1)，所以方程组 11 22 ss s+1 有解因此 s+1 可由 1， 2， s 线性表出【知识模块】 向量组的线性关系与秩18 【正确答案】 因为 A*A T，按定义有 Aija ij( i，j1，2，n) ，其中 Aij是行列式A中 aij 的代数余子式 由于 A0，不妨设 a110，那么 Aa 11A11a 12A12a 1nA1na 112a 122a 1n20 于是A( 1， 2， n)的 n 个列向量线性无关那么对任一 n 维列向量 ，恒有1， 2， n， 线

19、性相关因此 必可由 1， 2， n 线性表出【知识模块】 向量组的线性关系与秩19 【正确答案】 必要性因为 1， 2， s 线性相关，故有：不全为 0 的k1，k 2，k s，使 k 1a2k 2a2k sas0 设 ks，k s-1，k 2，k 1 中第一个不为 0 的是 ki(即 ki0，而 ki+1k s-1k s0)，且必有 i1(若 i1 即k10，k 2k s0，那么 k110于是 10 与 10 矛盾)，从而k11 k22 k iai0， ki0那么 i (k11k 22k i-1i-) 充分性设有 i 可用 1， 2， i-1 线性表示，则 1， 2， i-1， i 线性相关

20、，从而 1， 2， ， s 线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩20 【正确答案】 对矩阵 A 按行分块，记 A ，那么AT (1T， 2T， mT) 若 k11Tk 22Tk mmT0，即(1T， 2T， mT) 0，即 AT 0，那么 BTAT 0 于是 CT0 因为 C 是 mP 矩阵，那么 CT 是 pm 矩阵由于 r(CT)r(C)m，所以齐次方程组 CT0 只有零解因此 k10，k 2 0，k m0 故1， 2， m 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩21 【正确答案】 对齐次方程组()AB0，( )B0，如 是( )的解，有 B0，那么 AB0，于是 是()的解如

21、是( )的解，有 AB0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)n，所以 A0 只有零解，从而 B0于是 是()的解因此方程组() 与()同解那么 sr(AB) sr(B)，即 r(AB)r(B)所以 r(B) r(C)【知识模块】 向量组的线性关系与秩22 【正确答案】 先正交化：再单位化：【知识模块】 向量组的线性关系与秩23 【正确答案】 因为 ATA，Ay，所以 (， y) TA(A T)T(A)T (y，)， 得(，y)0【知识模块】 向量组的线性关系与秩24 【正确答案】 (1)由上面的说明，C 的列向量组可以用 A 的列向量组线性表示当 B 是可逆矩阵时，有 CB-1A，于是 A

22、 的列向量组又可以用的 C 列向量组线性表示 (2)C 的行向量组可以用 B 的行向量组线性表示当 A 是可逆矩阵时，A-1B，于是 B 的行向量组又可以用的 C 行向量组线性表示【知识模块】 向量组的线性关系与秩25 【正确答案】 (1)利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵 A 用初等列变换化为B 时，存在一系列初等矩阵 P1，P 2，P s，使得 AP 1P2PsB 由于P1P2Ps，是可逆矩阵， A 的列向量组和 B 的列向量组等价 (2)当矩阵 A 用初等行变换化为 B 时，存在一系列初等矩阵 P1，P 2，P s，使得 P sP2P1AB 由于 PsP2P1 是可逆矩阵，A 的行向量

23、组和 B 的行向量组等价【知识模块】 向量组的线性关系与秩26 【正确答案】 以 1， 2， 3， 4， 5 为列向量作矩阵 A，用初等行变换把 A 化为阶梯形矩阵：于是r(1， 2， 3， 4， 5)3 1， 2， 4 是 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组【知识模块】 向量组的线性关系与秩27 【正确答案】 构造矩阵 A( 1T， 2T， 3T， 4T， 5T)，并对它作初等行变换：记 B 和 C 分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵B 有 3 个非零行，则 r( 1， 2， 3， 4， 5)3 B 的台角在 1，2 ，4 列，则 1， 2， 4 是1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组设 C 的列向量组为 1， 2， 3， 4， 5，则1， 2， 3， 4， 5 和 1， 2， 3， 4， 5 有相同线性关系 显然3 31 2， 52 1 2，于是 33 1 2， 52 1 2【知识模块】 向量组的线性关系与秩28 【正确答案】 根据伴随矩阵的秩的性质(见矩阵的秩的性质)，r(A *)r(A) 3这个条件说明了 r(A)2 则 a2b 和 ab 必须有一个为 0(否则 r(A)3)，但是 ab 为 0 则 r(A)2于是得 r(A)2 的条件是 a2b 0 且 ab0，即 a 2b 并且 ab或者表示为：a2b0 【知识模块】 向量组的线性关系与秩