2019年天津市高考数学试卷（理科）及答案解析.docx

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1、试 卷 第 1页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2019年天津市高考数学试卷（理科)试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I 卷 （ 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1 设 集 合 1,1,2,3,5A ， 2,3

2、,4B ， |1 3C x R x ， 则 ( )A C B A 2 B 2， 3 C -1， 2， 3 D 1， 2， 3， 4【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】先 求 A C ， 再 求 ( )A C B 。 【 详 解 】因 为 1,2A C ，所 以 ( ) 1,2,3,4A C B .故 选 D。【 点 睛 】集 合 的 运 算 问 题 ， 一 般 要 先 研 究 集 合 中 元 素 的 构 成 ， 能 化 简 的 要 先 化 简 ， 同 时 注 意 数 形结 合 ， 即 借 助 数 轴 、 坐 标 系 、 韦 恩 图 等 进 行 运 算 2 设 变 量 ,x y满 足

3、约 束 条 件 2 0,2 0,1,1,x yx yxy ， 则 目 标 函 数 4z x y 的 最 大 值 为A 2 B 3 C 5 D 6【 答 案 】 C 试 卷 第 2页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 解 析 】【 分 析 】画 出 可 行 域 ， 用 截 距 模 型 求 最 值 。【 详 解 】已 知 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 的 阴 影 部 分 。目 标 函 数 的 几 何 意 义 是 直 线 4y x z 在 y轴 上 的 截 距 ，故 目 标 函 数 在 点 A处 取 得 最 大 值 。由 2 0,1

4、x yx ， 得 ( 1,1)A ， 所 以 max 4 ( 1) 1 5z 。故 选 C。 【 点 睛 】线 性 规 划 问 题 ， 首 先 明 确 可 行 域 对 应 的 是 封 闭 区 域 还 是 开 放 区 域 ， 分 界 线 是 实 线 还 是 虚线 ， 其 次 确 定 目 标 函 数 的 几 何 意 义 ， 是 求 直 线 的 截 距 、 两 点 间 距 离 的 平 方 、 直 线 的 斜 率 、还 是 点 到 直 线 的 距 离 等 等 ， 最 后 结 合 图 形 确 定 目 标 函 数 最 值 或 范 围 即 ： 一 画 ， 二 移 ，三 求 3 设 x R ， 则 “ 2 5

5、 0 x x ” 是 “ | 1| 1x ” 的 ( )A 充 分 而 不 必 要 条 件B 必 要 而 不 充 分 条 件 C 充 要 条 件D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 3页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 分 别 求 出 两 不 等 式 的 解 集 ， 根 据 两 解 集 的 包 含 关 系 确 定 .【 详 解 】化 简 不 等 式 ， 可 知 0 5x 推 不 出 1 1x ；由 1 1x 能 推 出 0 5x ，故 “ 2 5 0 x x ” 是 “ | 1|

6、1x ” 的 必 要 不 充 分 条 件 ，故 选 B。【 点 睛 】本 题 考 查 充 分 必 要 条 件 ， 解 题 关 键 是 化 简 不 等 式 ， 由 集 合 的 关 系 来 判 断 条 件 。4 阅 读 下 边 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 输 出 S 的 值 为 A 5 B 8 C 24 D 29【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】根 据 程 序 框 图 ， 逐 步 写 出 运 算 结 果 。【 详 解 】1, 2S i 11, 1 2 2 5, 3j S i ， 8, 4S i ，结 束 循 环 ， 故 输 出 8。 故 选 B。【 点 睛

7、】 试 卷 第 4页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 解 答 本 题 要 注 意 要 明 确 循 环 体 终 止 的 条 件 是 什 么 ， 会 判 断 什 么 时 候 终 止 循 环 体 5 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 准 线 为 .若 与 双 曲 线 的两 条 渐 近 线 分 别 交 于 点 A 和 点 B， 且 （ 为 原 点 ） ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为A. B. C.2 D. 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】只 需 把 用 表 示 出 来 ， 即 可 根 据 双 曲 线 离 心 率 的 定 义 求 得 离

8、 心 率 。【 详 解 】 抛 物 线 的 准 线 的 方 程 为 ，双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ，则 有 ， ， ， 。故 选 D。【 点 睛 】本 题 考 查 抛 物 线 和 双 曲 线 的 性 质 以 及 离 心 率 的 求 解 ， 解 题 关 键 是 求 出 AB 的 长 度 。6 已 知 5log 2a ， 0.5log 0.2b ， 0.20.5c ， 则 , ,a b c的 大 小 关 系 为 （ ）A a c b B a b c C b c a D c a b 【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】利 用 10, ,12 等 中 间 值 区 分 各 个 数

9、值 的 大 小 。【 详 解 】 5 5 1log 2 log 5 2a ，0.5 0.5log 0.2 log 0.25 2b ，1 0.2 00.5 0.5 0.5 ， 故 1 12 c ， 试 卷 第 5页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 所 以 a c b 。故 选 A。【 点 睛 】本 题 考 查 大 小 比 较 问 题 ， 关 键 选 择 中 间 量 和 函 数 的 单 调 性 进 行 比 较 。7 已 知 函 数 ( ) sin( )( 0, 0,| | )f x A x A 是 奇 函 数 ， 将 y f x 的 图 像上 所

10、有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ） ， 所 得 图 像 对 应 的 函 数 为 g x .若 g x 的 最 小 正 周 期 为 2， 且 24g ， 则 38f （ ）A 2 B 2 C 2 D 2 【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】只 需 根 据 函 数 性 质 逐 步 得 出 , ,A 值 即 可 。【 详 解 】因 为 ( )f x 为 奇 函 数 ， (0) sin 0 = , 0,f A k k ， 0 ；又 1 2( ) sin , 2 ,12 2g x A x T 2 ， 2A ， 又 ( ) 24g ( ) 2sin

11、2f x x ， 3( ) 2.8f 故 选 C。【 点 睛 】本 题 考 查 函 数 的 性 质 和 函 数 的 求 值 问 题 ， 解 题 关 键 是 求 出 函 数 g x 。8 已 知 a R ， 设 函 数 2 2 2 , 1,( ) ln , 1,x ax a xf x x a x x 若 关 于 x的 不 等 式 ( ) 0f x 在 R上 恒 成 立 ， 则 a的 取 值 范 围 为 （ ） A 0,1 B 0,2 C 0,e D 1,e【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 6页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 先

12、判 断 0a 时 ， 2 2 2 0 x ax a 在 ( ,1 上 恒 成 立 ； 若 ln 0 x a x 在 (1, ) 上 恒成 立 ， 转 化 为 lnxa x 在 (1, ) 上 恒 成 立 。【 详 解 】 (0) 0f ， 即 0a ，（ 1） 当 0 1a 时 ，2 2 2 2( ) 2 2 ( ) 2 2 (2 ) 0f x x ax a x a a a a a a a ，当 1a 时 ， (1) 1 0f ，故 当 0a 时 ， 2 2 2 0 x ax a 在 ( ,1 上 恒 成 立 ； 若 ln 0 x a x 在 (1, ) 上 恒 成 立 ， 即 lnxa x

13、在 (1, ) 上 恒 成 立 ，令 ( ) lnxg x x ， 则 2ln 1( ) (ln )xg x x ，当 ,x e 函 数 单 增 ， 当 0 ,x e 函 数 单 减 ，故 max( ) ( )g x g e e ， 所 以 a e 。 当 0a 时 ， 2 2 2 0 x ax a 在 ( ,1 上 恒 成 立 ；综 上 可 知 ， a的 取 值 范 围 是 0, e ，故 选 C。【 点 睛 】 本 题 考 查 分 段 函 数 的 最 值 问 题 ， 关 键 利 用 求 导 的 方 法 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 进 行 综 合 分 析 。 试 卷 第 7页 ， 总

14、 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 第 II 卷 （ 非 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题9 i是 虚 数 单 位 ， 则 51 ii 的 值 为 _.【 答 案 】 13【 解 析 】【 分 析 】 先 化 简 复 数 ， 再 利 用 复 数 模 的 定 义 求 所 给 复 数 的 模 。【 详 解 】5 (5 )(1 ) 2 3 131 (1 )(1 )i i i ii i i 。【 点 睛 】本 题 考 查 了 复 数 模 的 运 算 ， 是 基 础 题 .10 8312 8x

15、x 是 展 开 式 中 的 常 数 项 为 _.【 答 案 】 28 【 解 析 】【 分 析 】根 据 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 得 出 通 项 ， 根 据 方 程 思 想 得 出 r 的 值 ， 再 求 出 其 常 数 项 。【 详 解 】 8 8 4 8 41 8 831(2 ) ( ) ( 1) 28r r r r r r rrT C x C xx ，由 8 4 0r ， 得 2r = ，所 以 的 常 数 项 为 2 28( 1) 28C .【 点 睛 】 本 题 考 查 二 项 式 定 理 的 应 用 ， 牢 记 常 数 项 是 由 指 数 幂 为 0 求 得 的 。

16、11 已 知 四 棱 锥 的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 侧 棱 长 均 为 5.若 圆 柱 的 一 个 底 面 的 圆周 经 过 四 棱 锥 四 条 侧 棱 的 中 点 ， 另 一 个 底 面 的 圆 心 为 四 棱 锥 底 面 的 中 心 ， 则 该 圆 柱 的 体积 为 _. 试 卷 第 8页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 4.【 解 析 】【 分 析 】根 据 棱 锥 的 结 构 特 点 ， 确 定 所 求 的 圆 柱 的 高 和 底 面 半 径 。【 详 解 】由 题 意 四 棱 锥 的 底 面 是 边 长

17、 为 2 的 正 方 形 ， 侧 棱 长 均 为 5， 借 助 勾 股 定 理 ， 可 知 四棱 锥 的 高 为 5 1 2 ， .若 圆 柱 的 一 个 底 面 的 圆 周 经 过 四 棱 锥 四 条 侧 棱 的 中 点 ， 圆 柱 的底 面 半 径 为 12 ， 一 个 底 面 的 圆 心 为 四 棱 锥 底 面 的 中 心 ， 故 圆 柱 的 高 为 1， 故 圆 柱 的 体 积 为 21 12 4 。【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 了 圆 柱 与 四 棱 锥 的 组 合 ， 考 查 了 空 间 想 象 力 ， 属 于 基 础 题 .12 设 a R ， 直 线 2 0ax y 和

18、 圆 2 2cos ,1 2sinxy （ 为 参 数 ） 相 切 ， 则 a的 值 为_.【 答 案 】 34 【 解 析 】【 分 析 】根 据 圆 的 参 数 方 程 确 定 圆 的 半 径 和 圆 心 坐 标 ， 再 根 据 直 线 与 圆 相 切 的 条 件 得 出 a满 足 的方 程 ， 解 之 解 得 。【 详 解 】圆 2 2cos ,1 2sinxy 化 为 普 通 方 程 为 2 2( 2) ( 1) 2x y ，圆 心 坐 标 为 (2,1)， 圆 的 半 径 为 2， 由 直 线 与 圆 相 切 ， 则 有 22 1 21aa ， 解 得 34a 。【 点 睛 】直 线

19、 与 圆 的 位 置 关 系 可 以 使 用 判 别 式 法 ， 但 一 般 是 根 据 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 圆 的 半 径 的大 小 作 出 判 断 。 试 卷 第 9页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 13 设 0, 0, 2 5x y x y ， 则 ( 1)(2 1)x yxy 的 最 小 值 为 _.【 答 案 】 4 3【 解 析 】【 分 析 】把 分 子 展 开 化 为 2 6xy ， 再 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 。【 详 解 】( 1)(2 1) 2 2 1,x y xy x yxy xy 0,

20、 0, 2 5, 0,x y x y xy 2 2 32 6 4 3xyxyxy xy ，当 且 仅 当 3xy ， 即 3, 1x y 时 成 立 ，故 所 求 的 最 小 值 为 4 3。【 点 睛 】使 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 一 定 要 验 证 等 号 是 否 能 够 成 立 。14 在 四 边 形 ABCD中 ， AD BC ， 2 3AB ， 5AD ， 30A ， 点 E在线 段 CB的 延 长 线 上 ， 且 AE BE ， 则 BD AE _. 【 答 案 】 1 .【 解 析 】【 分 析 】建 立 坐 标 系 利 用 向 量 的 坐 标 运 算 分 别 写

21、 出 向 量 而 求 解 。【 详 解 】建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ， 则 (2 3,0)B ， 5 3 5( , )2 2D 。因 为 AD BC ， 30BAD ， 所 以 150CBA ，因 为 AE BE ， 所 以 30BAE ABE ， 所 以 直 线 BE 的 斜 率 为 33 ， 其 方 程 为 3( 2 3)3y x ， 试 卷 第 10页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 直 线 AE 的 斜 率 为 33 ， 其 方 程 为 33y x 。由 3( 2 3),3 33y xy x 得 3x ， 1y ，所 以 (

22、 3, 1)E 。所 以 3 5( , ) ( 3, 1) 12 2BD AE 。 【 点 睛 】平 面 向 量 问 题 有 两 大 类 解 法 ： 基 向 量 法 和 坐 标 法 ， 在 便 于 建 立 坐 标 系 的 问 题 中 使 用 坐 标方 法 更 为 方 便 。评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题15 在 ABC 中 ， 内 角 A B C， ， 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c.已 知 2b c a ，3 sin 4 sinc B a C .（ ） 求 cosB的 值 ； （ ） 求 sin 2 6B 的 值 .【 答 案 】 ( ) 14 ；( ) 3 5 716

23、 .【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 结 合 正 弦 定 理 得 到 , ,a b c的 比 例 关 系 ， 然 后 利 用 余 弦 定 理 可 得 cosB的 值 试 卷 第 11页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 ( )利 用 二 倍 角 公 式 首 先 求 得 sin2 ,cos2B B 的 值 ， 然 后 利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 可 得sin 2 6B 的 值 .【 详 解 】( )在 ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 sin sinb cB C 得 sin sinb C c B ，又 由 3 sin 4

24、sinc B a C ， 得 3 sin 4 sinb C a C ， 即 3 4b a .又 因 为 2b c a ， 得 到 43b a ， 23c a .由 余 弦 定 理 可 得 2 2 2cos 2a c bB ac 2 2 24 16 19 92 42 3a a aa a . ( )由 ( )可 得 2 15sin 1 cos 4B B ，从 而 15sin2 2sin cos 8B B B ， 2 2 7cos2 cos sin 8B B B .故 15 3 7 1 3 5 7sin 2 sin2 cos cos2 sin6 6 6 8 2 8 2 16B B B .【 点 睛

25、】本 题 主 要 考 查 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ， 两 角 和 的 正 弦 公 式 ， 二 倍 角 的 正 弦 与 余 弦 公 式 ，以 及 正 弦 定 理 余 弦 定 理 等 基 础 知 识 .考 查 计 算 求 解 能 力 . 16 设 甲 、 乙 两 位 同 学 上 学 期 间 ， 每 天 7： 30 之 前 到 校 的 概 率 均 为 23 .假 定 甲 、 乙 两 位同 学 到 校 情 况 互 不 影 响 ， 且 任 一 同 学 每 天 到 校 情 况 相 互 独 立 .（ ） 用 X 表 示 甲 同 学 上 学 期 间 的 三 天 中 7： 30 之 前 到

26、校 的 天 数 ， 求 随 机 变 量 X 的 分布 列 和 数 学 期 望 ；（ ） 设 M 为 事 件 “ 上 学 期 间 的 三 天 中 ， 甲 同 学 在 7： 30之 前 到 校 的 天 数 比 乙 同 学 在7： 30 之 前 到 校 的 天 数 恰 好 多 2” ， 求 事 件 M 发 生 的 概 率 .【 答 案 】 （ ） 见 解 析 ； （ ） 20243【 解 析 】 【 分 析 】( )由 题 意 可 知 分 布 列 为 二 项 分 布 ， 结 合 二 项 分 布 的 公 式 求 得 概 率 可 得 分 布 列 ， 然 后 利用 二 项 分 布 的 期 望 公 式 求

27、解 数 学 期 望 即 可 ；( )由 题 意 结 合 独 立 事 件 概 率 公 式 计 算 可 得 满 足 题 意 的 概 率 值 . 试 卷 第 12页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 详 解 】( )因 为 甲 同 学 上 学 期 间 的 三 天 中 到 校 情 况 相 互 独 立 ， 且 每 天 7:30之 前 到 校 的 概 率 均为 23 ，故 2 3,3X B ， 从 面 33 2 1 0,1,2,33 3k kkP X k C k .所 以 ， 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 ：X 0 1 2 3P 127 29 49 82

28、7 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 2( ) 3 23E X .( )设 乙 同 学 上 学 期 间 的 三 天 中 7:30 之 前 到 校 的 天 数 为 Y ， 则 2 3,3Y B .且 3, 1 2, 0M X Y X Y .由 题 意 知 事 件 3, 1X Y 与 2, 0X Y 互 斥 ，且 事 件 3X 与 1Y ， 事 件 2X 与 0Y 均 相 互 独 立 ，从 而 由 ( )知 ： ( ) 3, 1 2, 0P M P X Y X Y 3, 1 2, 0P X Y P X Y ( 3) ( 1) ( 2) ( 0)P X P Y P X P Y 8 2 4 1

29、2027 9 9 27 243 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 与 数 学 期 望 ， 互 斥 事 件 和 相 互 独 立 事 件 的 概 率 计算 公 式 等 基 础 知 识 .考 查 运 用 概 率 知 识 解 决 简 单 实 际 问 题 的 能 力 .17 如 图 ， AE 平 面 ABCD， ,CF AE AD BC ，, 1, 2AD AB AB AD AE BC . 试 卷 第 13页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ ） 求 证 ： BF 平 面 ADE ；（ ） 求 直 线

30、CE与 平 面 BDE所 成 角 的 正 弦 值 ；（ ） 若 二 面 角 E BD F 的 余 弦 值 为 13， 求 线 段 CF 的 长 . 【 答 案 】 （ ） 见 证 明 ； （ ） 49 （ ） 87【 解 析 】【 分 析 】首 先 利 用 几 何 体 的 特 征 建 立 空 间 直 角 坐 标 系( )利 用 直 线 BF的 方 向 向 量 和 平 面 ADE的 法 向 量 的 关 系 即 可 证 明 线 面 平 行 ；( )分 别 求 得 直 线 CE的 方 向 向 量 和 平 面 BDE的 法 向 量 ， 然 后 求 解 线 面 角 的 正 弦 值 即 可 ；( )首 先

31、 确 定 两 个 半 平 面 的 法 向 量 ， 然 后 利 用 二 面 角 的 余 弦 值 计 算 公 式 得 到 关 于 CF 长度 的 方 程 ， 解 方 程 可 得 CF的 长 度 . 【 详 解 】依 题 意 ， 可 以 建 立 以 A 为 原 点 ， 分 别 以 , ,AB AD AE 的 方 向 为 x 轴 ， y轴 ， z 轴 正 方 向的 空 间 直 角 坐 标 系 (如 图 )， 可 得 0,0,0 , 1,0,0 , 1,2,0 , 0,1,0 , 0,0,2A B C D E .设 0CF h h ， 则 1,2,F h . 试 卷 第 14页 ， 总 19页 外 装

32、订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 ( )依 题 意 ， 1,0,0AB 是 平 面 ADE的 法 向 量 ，又 0,2,BF h ， 可 得 0BF AB ，又 因 为 直 线 BF 平 面 ADE ， 所 以 BF 平 面 ADE .( )依 题 意 ， ( 1,1,0), ( 1,0,2), ( 1, 2,2)BD BE CE ，设 , ,n x y z 为 平 面 BDE 的 法 向 量 ，则 00n BDn BE ， 即 02 0 x yx z ，不 妨 令 z=1， 可 得 2,2,1n ， 因 此 有 4cos , 9| | |CE nCE n CE n .所 以 ，

33、 直 线 CE与 平 面 BDE所 成 角 的 正 弦 值 为 49 .( )设 , ,m x y z 为 平 面 BDF的 法 向 量 ， 则 00m BDm BF ， 即 02 0 x yy hz .不 妨 令 y=1， 可 得 21,1,m h .由 题 意 ， 有 224 1cos , 343 2m n hm n m n h ， 解 得 87h .经 检 验 ， 符 合 题 意 所 以 ， 线 段 CF 的 长 为 87 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 直 线 与 平 面 平 行 、 二 面 角 、 直 线 与 平 面 所 成 的 角 等 基 础 知 识 .考 查 用 空 间向

34、 量 解 决 立 体 几 何 问 题 的 方 法 .考 查 空 间 想 象 能 力 、 运 算 求 解 能 力 和 推 理 论 证 能 力 .18 设 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b 的 左 焦 点 为 F ， 上 顶 点 为 B .已 知 椭 圆 的 短 轴 长 为 4， 离 心 率 为 55 .（ ） 求 椭 圆 的 方 程 ；（ ） 设 点 P 在 椭 圆 上 ， 且 异 于 椭 圆 的 上 、 下 顶 点 ， 点 M 为 直 线 PB与 x轴 的 交 点 ， 试 卷 第 15页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 点

35、N 在 y轴 的 负 半 轴 上 .若 | | | |ON OF （ O为 原 点 ） ， 且 OP MN ， 求 直 线 PB的 斜率 .【 答 案 】 （ ） 2 2 15 4x y （ ） 2 305 或 2 305 .【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 得 到 关 于 a,b,c 的 方 程 ， 解 方 程 可 得 椭 圆 方 程 ；( )联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 确 定 点 P 的 坐 标 ， 从 而 可 得 OP 的 斜 率 ， 然 后 利 用 斜 率 公式 可 得 MN 的 斜 率 表 达 式 ， 最 后 利 用 直 线 垂 直 的 充 分 必 要 条

36、 件 得 到 关 于 斜 率 的 方 程 ， 解 方 程 可 得 直 线 的 斜 率 .【 详 解 】( ) 设 椭 圆 的 半 焦 距 为 c， 依 题 意 ， 52 4, 5cb a ， 又 2 2 2a b c ， 可 得 5a ，b=2， c=1.所 以 ， 椭 圆 方 程 为 2 2 15 4x y .( )由 题 意 ， 设 , 0 , ,0PP P MP x y x M x .设 直 线 PB的 斜 率 为 0k k ， 又 0 2,B ， 则 直 线 PB的 方 程 为 2y kx ， 与 椭 圆 方 程 联 立 2 2 215 4y kxx y ，整 理 得 2 24 5 2

37、0 0k x kx ， 可 得 2204 5P kx k ，代 入 2y kx 得 228 104 5P ky k ，进 而 直 线 OP的 斜 率 24 510PPy kx k ，在 2y kx 中 ， 令 0y ， 得 2Mx k . 由 题 意 得 0, 1N ， 所 以 直 线 MN 的 斜 率 为 2k .由 OP MN ， 得 24 5 110 2k kk ，化 简 得 2 245k ， 从 而 2 305k . 试 卷 第 16页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 所 以 ， 直 线 PB的 斜 率 为 2 305 或 2 305 .【 点

38、睛 】本 题 主 要 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质 直 线 方 程 等 基 础 知 识 .考 查 用 代 数 方 法 研 究圆 锥 曲 线 的 性 质 .考 查 运 算 求 解 能 力 ， 以 及 用 方 程 思 想 解 决 问 题 的 能 力 .19 设 na 是 等 差 数 列 ， nb 是 等 比 数 列 .已 知1 1 2 2 3 34, 6 2 2, 2 4a b b a b a ， .（ ） 求 na 和 nb 的 通 项 公 式 ； （ ） 设 数 列 nc 满 足 11 1, 2 2 ,1, , 2 ,k kn kk nc c b n 其 中 *kN

39、.（ i） 求 数 列 2 2 1n na c 的 通 项 公 式 ；（ ii） 求 2 *1n i ii ac n N .【 答 案 】 （ ） 3 1na n ； 3 2nnb （ ） （ i） 2 2 1 9 4 1n n na c （ ii） 2 * 2 1 1 *1 27 2 5 2 12n n ni ii ac n n n N N 【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 首 先 求 得 公 比 和 公 差 ， 然 后 确 定 数 列 的 通 项 公 式 即 可 ；( )结 合 ( )中 的 结 论 可 得 数 列 2 2 1n na c 的 通 项 公 式 ， 结 合 所 得

40、 的 通 项 公 式 对 所求 的 数 列 通 项 公 式 进 行 等 价 变 形 ， 结 合 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 可 得 21n i ii ac 的 值 .【 详 解 】( )设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d ， 等 比 数 列 nb 的 公 比 为 q. 依 题 意 得 26 2 4 2 6 26 2 4 2 4 12 4q d dq d d ， 解 得 32dq ，故 4 ( 1) 3 3 1na n n ， 16 2 3 2n nnb .所 以 ， na 的 通 项 公 式 为 3 1na n ， nb 的 通 项 公 式 为 3 2nnb .( )(i

41、) 2 2 21 1 3 2 1 3 2 1 9 4 1n n n n n nna c a b . 试 卷 第 17页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 所 以 ， 数 列 2 2 1n na c 的 通 项 公 式 为 2 2 1 9 4 1n n na c .(ii) 2 21 1 1n ni i i i ii iac a a c 2 2 2 21 1 1n n i iii ia a c 2 2 12 4 32n nn 1 9 4 1n ii 2 1 1 4 1 43 2 5 2 9 1 4nn n n 2 1 1 *27 2 5 2 12n

42、 n n n N .【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 其 前 n 项 和 公 式 等 基 础 知 识 .考 查 化 归与 转 化 思 想 和 数 列 求 和 的 基 本 方 法 以 及 运 算 求 解 能 力 .20 设 函 数 ( ) e cos , ( )xf x x g x 为 f x 的 导 函 数 .（ ） 求 f x 的 单 调 区 间 ；（ ） 当 ,4 2x 时 ， 证 明 ( ) ( ) 02f x g x x ；（ ） 设 nx 为 函 数 ( ) ( ) 1u x f x 在 区 间 2 ,24 2m m 内

43、的 零 点 ， 其 中 n N ， 证 明 20 02 2 sin cosnnn x xe x .【 答 案 】 （ ） 单 调 递 增 区 间 为 32 ,2 ( ), ( )4 4k k k f x Z 的 单 调 递 减 区 间 为52 ,2 ( )4 4k k k Z .（ ） 见 证 明 ； （ ） 见 证 明【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 求 得 导 函 数 的 解 析 式 ， 然 后 由 导 函 数 的 符 号 即 可 确 定 函 数 f x 的 单 调 区 间 ； ( )构 造 函 数 2h x f x g xx ， 结 合 ( )的 结 果 和 导 函 数 的

44、符 号 求 解 函数 h x 的 最 小 值 即 可 证 得 题 中 的 结 论 ；( )令 2n ny x n ， 结 合 ( )， ( )的 结 论 、 函 数 的 单 调 性 和 零 点 的 性 质 放 缩 不 等 试 卷 第 18页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 式 即 可 证 得 题 中 的 结 果 .【 详 解 】( )由 已 知 ， 有 e cos sinxf x x x .当 52 ,24 4x k k k Z 时 ， 有 sin cosx x ， 得 0f x ， 则 f x 单调 递 减 ;当 32 ,24 4x k k k Z 时

45、 ， 有 sin cosx x ， 得 0f x ， 则 f x 单调 递 增 . 所 以 ， f x 的 单 调 递 增 区 间 为 32 ,24 4k k k Z ， f x 的 单 调 递 减 区 间 为 52 ,24 4k k k Z .( )记 2h x f x g xx .依 题 意 及 ( )有 ： cos sinxg x e x x ，从 而 ( ) 2 sinxg x e x .当 ,4 2x 时 ， 0g x ， 故( ) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) 02 2h x f x g x x g x g x x . 因 此 ， h x 在 区 间 ,4 2 上 单 调 递 减 ， 进 而 ( ) 02 2h x h f .所 以 ， 当 ,4 2x 时 ， ( ) ( ) 02f x g x x .( )依 题 意 ， 1 0n nu x f x ， 即 e cos 1nx nx .记 2n ny x n ， 则 ,4 2ny .且 e cos nyn nf y y 2 2e cos 2 enx n nnx n n N .由 2 0e 1nnf y f y 及 ( )得 0ny y .由 ( )知 ， 当 ,4 2x 时 ， 0g x ， 所 以 g x 在 ,4 2 上 为