【考研类试卷】考研数学一（线性代数）-试卷27及答案解析.doc

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1、考研数学一（线性代数）-试卷 27 及答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：38，分数：84.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_2.设 A 是三阶实矩阵 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_3.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量证明：，正交（分数：2.00）_4.设矩阵 （分数：2.00）_5.已知 （分数

2、：2.00）_6.已知 =1，k，1 T 是 A -1 的特征向量，其中 （分数：2.00）_7.设矩阵 （分数：2.00）_8.已知考 =1，1，一 1 T 是矩阵 （分数：2.00）_9.设矩阵 （分数：2.00）_10.设 A 是三阶实对称阵， 1 =一 1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为考=0，1，1 T ，求 A（分数：2.00）_11.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A 一 3E的值（分数：2.00）_12.设矩阵 （分数：2.00）_设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A

3、的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 , 2 , 3 ，令 = 1 + 2 + 3 （分数：4.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；（分数：2.00）_(2).若 A 3 =A，求秩 r(AE)及行列式A+2E（分数：2.00）_13.设 （分数：2.00）_14.证明：AB，其中 （分数：2.00）_15.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)证明： （分数：2.00）_16.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_17.设 =a 1 ,a 2 a n T 0，A= T ，

4、求可逆阵 P，使 P -1 AP=A（分数：2.00）_设 A=E+ T ，其中 =a 1 ,a 2 a n T 0，=b 1 ,b 2 b n T =0，且 T =2（分数：4.00）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=A（分数：2.00）_设向量 =a 1 ,a 2 a n T ，=b 1 ,b 2 b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求：（分数：6.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_(2).A 的特征值和特征向量；（分数：2.00）_(3).A 能否相似于对角阵，说明理由（

5、分数：2.00）_设 a 0 ,a 1 a n-1 是 n 个实数，方阵 （分数：4.00）(1).若 是 A 的特征值，证明：=1， 2 ， n-1 T 是 A 的对应于特征值 的特征向量；（分数：2.00）_(2).若 A 有 n 个互异的特征值 1 ， 2 ， n ，求可逆阵 P，使 P -1 AP=A（分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，一 1 T ， 2 =一 1，2，2 T ， 3 =2，一 1，2 T 又 =1，2，3 T ，计算：(1)A n ；(2)

6、A n （分数：2.00）_20.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_21.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_22.已知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2试确定参数 c 及二

7、次型对应矩阵的特征值，并问 f(x 1 ，x（分数：2.00）_23.已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_24.设矩阵 （分数：2.00）_25.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n.（分数：2.00）_26.设 A 为 mN 实矩阵，e 为 N 阶单位矩阵已知矩阵 b=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_27.证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存

8、在实矩阵 B，使得 AB+B T A 正定（分数：2.00）_28.设 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0证明：A+B 不可逆（分数：2.00）_29.已知 f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 ，求正交变换 P, ，使得 （分数：2.00）_30.已知三元二次型 X T AX 经正交变换化为 2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 ，又知矩阵 B 满足矩阵方程 （分数：2.00）_31.设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：2.00）_32.设方阵 A 2 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_33.

9、已知 R 3 的两个基分别为 （分数：2.00）_34.设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1 =1，1，2，3 T ， 2 =一 1，1，4，一 1 T ， 3 =5，一1，一 8，9 T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 27 答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：38，分数：84.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：2.设 A 是三阶实矩阵 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量证明：

10、当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 )解析：3.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量证明：，正交（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=，两边转置得 T A T = T ，两边右乘 ，得 T A T = T ， T = T ，() T =0，故 T =0， 相互正交)解析：4.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =一 1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求 )解析：5.已知 （分数：2.00）_正确答案

11、：(正确答案： )解析：6.已知 =1，k，1 T 是 A -1 的特征向量，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 A 一 1 =， 是 A 一 1 的对应于 的特征值，两边左乘 A，得=A，A 一 1 可逆， )解析：7.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 有三个线性无关的特征向量，=2 是二重特征值，故特征矩阵 2E 一 A 的秩应为1 )解析：8.已知考 =1，1，一 1 T 是矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即 解得 =一 1，a=一 3，b=0(2)当 a=一 3，b=0 时

12、，由 知 =一 1 是 A 的三重特征值，但 )解析：9.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A * = 0 ，左乘 A，得 AA * =A=一 a= 0 A即 )解析：10.设 A 是三阶实对称阵， 1 =一 1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为考=0，1，1 T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 = 3 =1 有两个线性无关特征向量 2 ， 3 ，它们都与 正交，故可取 2 =1，0，0 T ， 1 =0，1，-1T，且取正交矩阵 )解析：11.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单

13、位阵计算行列式A 一 3E的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 为 A 的特征值，则 3 为 A 一 3E 的特征值所以 A 一 3E 的特征值为一1，1，3，2n 一 3，故A 一 3E=(一 1)13(2n 一 3)=一(2n 一 3)!)解析：12.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 一 E=(A1)( 2 +1) 一(2+y)+(2y 一 1)一 0y=2i2)A 为对称矩阵，要使(AP) T (AP)=P T A 2 P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A 2 对角化由(1)得 A 的特征值 1 =一 1， 2,3 =1， 4 =3，故 A 2 的特征

14、值 1,2,3 =1， 4 =9且 A 2 的属于特征值 1,2.3 =1 的正交单位化的特征向量为 A 2 的属于特征值 4 =9 的正交单位化的特征向量为 )解析：设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 , 2 , 3 ，令 = 1 + 2 + 3 （分数：4.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 k 1 +k 2 A+K 3 A 2 =0， 由题设 A i = i i (i=1，2，3)，于是 A=A 1 1 +A 2 2 +A 3 3 = 1 1 + 2 )解析：(2).若 A 3

15、 =A，求秩 r(AE)及行列式A+2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 3 =A 有 A，A，A 2 =A，A 2 ,A 3 =A，A 2 ，A=，A，A 2 令 P=，A，A 2 ，则 P 可逆，且 )解析：13.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.证明：AB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B由于 1 =1 时，( 1 EA)X=0，有特征向量 1 =1，0，0 T ； 2 =2 时，( 2 E-A)X=0，有特征向量 2 =0，1，O T

16、 ； n =n 时，( n E-A)X=0，有特征向量 n =0，0，1 T 故有 A n =n n ，A n-1 =(n 一 1) n-1 ，A 1 = 1 ， 故得可逆阵 )解析：15.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =A，A 的特征值的取值为 1，0，由 AA 2 =A(E 一 A)=0 知 r(A)+r(E 一 A)n， r(A)+r(EA)r(A+EA)=r(E)=n， 故 r(A)+r(E 一 A)=n，r(A)=r，从而 r(EA)=nr 对=1，(E-A)X=0，因 r(E-A)=n

17、 一 r，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1 ， 2 ， r ；对=0，(OE-A)X=0，即 AX=0，因 r(A)=r，有 n 一 r 个线性无关特征向量，设为 r+1 ， r+2 ， n 故存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ，使得 )解析：16.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P 一 1 AP=diag( 1 ， 2 ， n )=A 1 ，其中 i ，i=1，2，n 是 A 的特征值，且 i j (ij)又 AB=BA

18、，故 P 一 1 APP 一 1 BP=P 一 1 BPP 一 1 AP，即 A 1 P 一 1 BP=P 一 1 BPA 1 设 P 一 1 BP=( ij ) nn ，则 )解析：17.设 =a 1 ,a 2 a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P -1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求 A 的特征值直接用 A 的特征方程 得 A 的特征值为 (2)再求A 的对应于 的特征向量因为 A= T ，=0 时，(EA)X=一 T X=0，因为满足 T X=0 的X 必满足 T X=0，故 =0 时，对应的特征方程是 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n

19、 x n =0对应 =0 的 n一 1 个特征向量为 ，对特征矩阵 EA= T E 一 T 右乘 ，得(EA)=( T E 一 T )=( T )( T )=0，故知 = 1 , 2 n T 即是所求 (3)由 1 ， 2 ， n ，得可逆阵 P. )解析：设 A=E+ T ，其中 =a 1 ,a 2 a n T 0，=b 1 ,b 2 b n T =0，且 T =2（分数：4.00）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设(E T )= 左乘 T ， T (E+ T ) 一(E+ T )=(1+ T ) T = T ，若 T 0，则 =1+ T =3；

20、若 T =0，则由式，=1=1 时， )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 )解析：设向量 =a 1 ,a 2 a n T ，=b 1 ,b 2 b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求：（分数：6.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A= T 和 T =0，有 A 2 =AA=( T )( T )=( T ) T =( T ) T =( T ) T =O，即 A 是 n 阶幂零阵(A 2 =O)解析：(2).A 的特征值和特征向量；（分数：2.00）_正确答

21、案：(正确答案：利用(1)A 2 =O 的结果设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则=两边左乘 A，得 A 2 =A= 2 因 A 2 =O，所以 2 =0，0，故 =0，即矩阵 A 的全部特征值为 0)解析：(3).A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 不能相似于对角阵，因 0，0，故 A= T 0，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?)从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n 一 rn 个，故 A 不能对角化)解析：设 a 0 ,a 1 a n-1 是 n 个实数，方阵 （分数：4.00）(1).若 是 A

22、 的特征值，证明：=1， 2 ， n-1 T 是 A 的对应于特征值 的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是 A 的特征值，则 应满足E 一 A=0，即 将第 2 列乘 ，第 3列乘 2 ，第 n 列乘 n-1 加到第 1 列，再按第 1 列展开，得 )解析：(2).若 A 有 n 个互异的特征值 1 ， 2 ， n ，求可逆阵 P，使 P -1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ， 2 ， n 异，故特征向量考 1 ， 2 ， n 线性无关，取可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ，得 )解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A，B

23、 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于 对换E 一 A的 1，2 列和 1，2 行，得 )解析：19.设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，一 1 T ， 2 =一 1，2，2 T ， 3 =2，一 1，2 T 又 =1，2，3 T ，计算：(1)A n ；(2)A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因 A 1 = 1 1 ，故 A N 1 = 1 N 1 ，故 (2)利用 A i = i i 有 A n i = i i ，将 表成 1 ， 2 ， 3 的线性组合设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3

24、3 ，即 )解析：20.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.已知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的秩为 2试确定参数 c 及二次型对应矩阵的特征值，并问 f(x 1 ，x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(AA T ) T =(A T ) T A T =AA T ，所以 AA T 是对称阵 必要性 若 AA T 正定，r(AA T )=mr(A)，又 r(A mn )