江苏省苏州市常熟中学2017届高三数学二模试题（含解析）.doc

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1、- 1 -2017 年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1已知全集 U=Z，集合 A=x|0x5，xU，B=x|x1，XU，则 A（ UB）= 2若复数 z 的共轭复数 满足 ，则复数 z 的虚部是 3双曲线 的准线方程是 4某校共有学生 1800 人，现从中随机抽取一个 50 人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于 195cm 的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于 175 的人数是 5命题“x2，都有 x2 2”的否定是 6如图中流程图的运行结果是 7口袋中有大小相同的 5 个小球，小球上分别标有数字

2、1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为 4 的概率是 - 2 -8已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 4=10，S 4=28，数列 的前 n 项和为 Tn，则T2017= 9将函数 y=sinxcosx 的图象向右平移 m（m0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数 m 的最小值为 10如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，直线 BE 与边 AC 交于点 F，若AD=BC=6，则 = 11已知直线 l1：x2y=0 的倾斜角为 ，倾斜角为 2 的直线 l2 与圆M：x 2+y2+2x2y+F=0 交于

3、A、C 两点，其中 A（1，0） 、B、D 在圆 M 上，且位于直线 l2的两侧，则四边形 ABCD 的面积的最大值是 12已知四面体 ABCD 的底面 BCD 是边长为 2 的等边三角形，AB=AC=3，则当棱 AD 长为 时，四面体 ABCD 的体积最大13已知函数 f（x） ，g（x）是定义在 R 上的一个奇函数和偶函数，且 f（x1）+g（x1）=2 x，则函数 f（x）= 14已知 ba0，若存在实数 x，y 满足 0xa，0yb， （xa） 2+（yb）2=x2+b2=a2+y2，则 的最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程

4、.15已知ABC 的外接圆半径为 1，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，若 sinB=acosC ，（1）求 的值；（2）若 M 为边 BC 的中点， ，求角 B 的大小16如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1中，侧面 A1ABB1是菱形，侧面 C1CBB1是矩形（1）D 是棱 B1C1上一点，AC 1平面 A1BD，求证：D 为 B1C1的中点；（2）若 A1BAC 1，求证：平面 A1ABB1平面 C1CBB1- 3 -17已知椭圆 C： 的离心率为 ，焦距为2，直线 y=kx（x0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，M 为其右准线与 x 轴的交点，直线 AM，BM分别与椭圆 C

5、交于 A1，B 1两点，记直线 A1B1的斜率为 k1（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在常数 ，使得 k1=k 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由18数列a n满足，n=1，2，3，（1）求 a3，a 4，并求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，记 F（m，n）=，求证：mn，F（m，n）4 对任意的；（3）设 Sk=a1+a3+a5+a2k1 ，T k=a2+a4+a6+a2k，W k= ，求使 Wk1 的所有 k 的值，并说明理由19某冰淇淋店要派车到 100 千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车- 4 -每小时的运行成本 F（单位：元）与其自重

6、 m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速 v（单位：千米/小时）之间满足关系式： 在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为 10 元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利 100 元若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为 1.3 吨，最大载重为 1 吨汽车来回的速度为 v（单位：千米/小时） ，且最大车速为 80 千米，一次进货 x 千克，而且冰淇淋供不应求（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润 w 与车速 v 和进货量 x 之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润 w0）？（3）当一次进货量 x 与车速 v 分别为多少时，能使得冰

7、淇淋店有最大净利润？并求出最大值 （提示： ）20已知函数 （e 为自然对数的底数，mR） （1）求函数 f（x）的单调区间和极值；（2）当 时，求证：x0，f（x）x 2lnx 恒成立；（3）讨论关于 x 的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论2017 年高考熟中模拟卷 B.选修 4-2：矩阵与变换21已知矩阵 M 对应的变换将点（5，7）变换为（2，1） ，其逆矩阵 M1 有特征值1，对应的一个特征向量为 ，求矩阵 MC.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线 C1的参数方

8、程为 ， （， 为参数） ，曲线 C2的极坐标方程为 ，求曲线 C1与曲线C2的交点的直角坐标【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分共计 20 分.请答题卡的指定区域内作答解答应写- 5 -出文字说明、证明过程或演算步骤.23在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字 1，2，3，4） ，由转盘停止时指针所指数字决定是否过关在闯 n 关时，转 n 次，当次转得数字之和大于 n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得 10 欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转

9、盘每次转出结果相互独立（1）求某人参加一次游戏，恰好获得 10 欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金 X 欧元，求 X 的概率分布和数学期望24 （1）证明： ；（2）证明：；（3）证明：- 6 -2017 年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1已知全集 U=Z，集合 A=x|0x5，xU，B=x|x1，XU，则 A（ UB）= 2，3，4 【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|0x5，xU=1，2，3，4，B=x|x1，XU，则 UB=x|x1

10、，XU=2，3，4，5 ，则 A（ UB）=2，3，4，故答案为：2，3，42若复数 z 的共轭复数 满足 ，则复数 z 的虚部是 3 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出【解答】解： ，i i=i（3+4i） ， =43iz=4+3i复数 z 的虚部是 3故答案为：33双曲线 的准线方程是 y= 【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的准线方程即可【解答】解：双曲线 ，可得 a=1，b= ，c=2，双曲线的准线方程- 7 -为：y= 故答案为：y= 4某校共有学生 1800 人，现从中随机抽取一个 50 人的

11、样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于 195cm 的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于 175 的人数是 288 【考点】B8：频率分布直方图【分析】由频率分布直方图得样本身高不小于 175cm 的频率，由此能估计该校身高不小于175cm 的人数【解答】解：由频率分布直方图得样本身高不小于 175cm 的频率为：（0.012+0.004）10=0.16，估计该校身高不小于 175cm 的人数是：18000.16=288故答案为：2885命题“x2，都有 x2 2”的否定是 x 02，x 022 【考点】2J：命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解

12、答】解：命题“x2， x22”是全称命题，其否定是： x02，x 022故答案为： x02，x 0226如图中流程图的运行结果是 6 - 8 -【考点】EF：程序框图【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：第一次，S=1，i=2，S10 不成立，第二次，S=1+2=3，i=3，S10 不成立，第三次，S=3+3=6，i=4，S10 不成立第四次，S=6+4=10，i=5，S10 不成立第五次，S=10+5=15，i=6，S10 成立，输出 i=6，故答案为：67口袋中有大小相同的 5 个小球，小球上分别标有数字 1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为

13、 4 的概率是 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数 n= ，再由列举法求出取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件个数，由此能求出取出的两个小球上所标数字之积为 4 的概率【解答】解：口袋中有大小相同的 5 个小球，小球上分别标有数字 1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，基本事件总数 n= ，取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件有：（1，4） ， （1，4） ， （2，2） ，共 3 个，取出的两个小球上所标数字之积为 4 的概率 p= - 9 -故答案为： 8已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 4=10，S 4=28，数列 的前 n 项和

14、为 Tn，则 T2017= 【考点】8E：数列的求和【分析】利用已知条件求出等差数列的前 n 项和，化简所求的通项公式，然后求和即可【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 4=10，S 4=28，可得 a1+a4=14，解得a1=4，10=4+3d，解得 d=2，Sn=4n+ =n2+3n，= = ，Tn= + = ，则 T2017= = 故答案为： 9将函数 y=sinxcosx 的图象向右平移 m（m0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数 m 的最小值为 【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】首先化简被平移函数的解析式，得到对称轴的表

15、达式以及函数的图象的对称轴，利用对称轴重合得到 m 的值【解答】解：将函数 y=sinxcosx= sin2x 的图象向右平移 m（m0）个单位，所得曲线的对称轴与函数 的图象的对称轴重合，- 10 -即 2（xm）=k ，得到 x= ，kZ；，得到 x= ，k 1Z；由题意 x= = ，k，k 1Z所以实数 m 的最小值为 ；故答案为： 10如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，直线 BE 与边 AC 交于点 F，若AD=BC=6，则 = 18 【考点】9V：向量在几何中的应用【分析】建立坐标系，设ADC=，求出各点坐标，代入向量的数量积运算公式计算即可【解答】解：

16、以 BC 为 x 轴，以 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，设ADC=，则 A（6cos，6sin） ，E（3cos，3sin） ，C（3，0） ，B（3，0） ，设 F（a，b） ，则 ，解得 a=4cos+1，b=4sin， =（36cos，6sin） ， =（4cos2，4sin） ， =（36cos） （4cos2）24sin 2=24cos 2+624sin 2=624=18故答案为：18- 11 -11已知直线 l1：x2y=0 的倾斜角为 ，倾斜角为 2 的直线 l2 与圆M：x 2+y2+2x2y+F=0 交于 A、C 两点，其中 A（1，0） 、B、D 在圆 M 上

17、，且位于直线 l2的两侧，则四边形 ABCD 的面积的最大值是 【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】由已知求出 tan，得到直线 l2的斜率，进一步求得方程，由 A 在圆上求得 F，得到圆的方程，求出圆心坐标和半径，利用垂径定理求得|AC|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，将 ABCD 的面积看成两个三角形ABC 和ACD 的面积之和，分析可得当 BD 为AC 的垂直平分线时，四边形 ABCD 的面积最大【解答】解：直线 l1：x2y=0 的倾斜角为 ，则 tan= ，直线 l2的斜率 k=tan2= 则直线 l2的方程为 y0= （x+1） ，即 4x3y+4=0又 A（1，0）在

18、圆上，（1） 22+F=0，得 F=1，圆的方程为 x2+y2+2x2y+1=0，化为标准方程：（x+1） 2+（y1） 2=1，圆心（1，1） ，半径 r=1直线 l2与圆 M 相交于 A，C 两点，由点到直线的距离公式得弦心距 d=，由勾股定理得半弦长= ，弦长|AC|=2 = 又 B，D 两点在圆上，并且位于直线 l2的两侧，四边形 ABCD 的面积可以看成是两个三角形ABC 和ACD 的面积之和，- 12 -如图所示，当 BD 为弦 AC 的垂直平分线时（即为直径时） ，两三角形的面积之和最大，即四边形 ABCD 的面积最大，最大面积为：S= |AC|BE|+ |AC|DE|= |AC

19、|BD|= 2= ，故答案为： 12已知四面体 ABCD 的底面 BCD 是边长为 2 的等边三角形，AB=AC=3，则当棱 AD 长为 时，四面体 ABCD 的体积最大【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】当体积最大时，平面 ABC 与底面 BCD 垂足，利用勾股定理计算 AD【解答】解：取 BC 的中点 E，连结 AE，DE，AB=AC，BD=CD，BCAE，BCDE，AED 为二面角 ABCD 的平面角，A 到平面 BCD 的距离 d=AEsinAED，显然当AED=90时，四面体体积最大此时，AE= =2 ，DE= = ，AD= = 故答案为： - 13 -13已知函数 f（x）

20、 ，g（x）是定义在 R 上的一个奇函数和偶函数，且 f（x1）+g（x1）=2 x，则函数 f（x）= 2 x2 x 【考点】3L：函数奇偶性的性质【分析】根据题意，由于 f（x1）+g（x1）=2 x，则 f（x）+g（x）=2 x+1，同理可得f（x）+g（x）=2 x+1 ，利用函数的奇偶性可得f（x）+g（x）=2 x+1 ，联立可得 f（x）= （2 x+12 x+1 ） ，对其变形可得答案【解答】解：根据题意，f（x1）+g（x1）=2 x，则 f（x）+g（x）=2 x+1，进而有 f（x）+g（x）=2 x+1 ，又由函数 f（x） ，g（x）是定义在 R 上的一个奇函数和偶

21、函数，则有 f（x）+g（x）=f（x）+g（x） ，即有f（x）+g（x）=2 x+1 ，联立可得：f（x）= （2 x+12 x+1 ）=2 x2 x ，即 f（x）=2 x2 x ，故答案为：2 x2 x14已知 ba0，若存在实数 x，y 满足 0xa，0yb， （xa） 2+（yb）2=x2+b2=a2+y2，则 的最大值为 【考点】R3：不等式的基本性质【分析】设 A（0，b） ，B（x，0） ，C（a，by） ，由 xa） 2+（yb） 2=x2+b2=a2+y2得ABC 为等边，设ABC 边长为 m，OAB=， （0 ）过 C 作 CHx 轴与 H，则ACH= ，a=mcos（

22、 ） ，b=mcos 即可求解【解答】解：如图设 A（0，b） ，B（x，0） ，C（a，by）- 14 -（xa） 2+（yb） 2=x2+b2=a2+y2ABC 为等边，设ABC 边长为 m，OAB=， （0 ）过 C 作 CHx 轴与 H，则ACH= ，b=mcos当 =0 时，故答案为：二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15已知ABC 的外接圆半径为 1，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，若 sinB=acosC ，（1）求 的值；（2）若 M 为边 BC 的中点， ，求角 B 的大小【考点】HT：三角形中的几何计算【分析

23、】 （1）由ABC 的外接圆半径为 1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，sinAcosCcosAsinCsin（AC）=0，即可得 a=c，即可（2）由 得 b= ，即可得 cosB=- 15 -【解答】解：（1）由ABC 的外接圆半径为 1，及正弦定理得 a=2RsinA=2sinA，sinB=acosC 变形为：sin（A+C）=2sinAcosCsinAcosCcosAsinC=0sin（AC）=0，AC（，） ，AC=0，a=c， 的值为 1（2）M 为边 BC 的中点， 又 ，a=c b=cosB= ，B（0，） ，角 B 的大小为 16如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1

24、中，侧面 A1ABB1是菱形，侧面 C1CBB1是矩形（1）D 是棱 B1C1上一点，AC 1平面 A1BD，求证：D 为 B1C1的中点；（2）若 A1BAC 1，求证：平面 A1ABB1平面 C1CBB1- 16 -【考点】LY：平面与平面垂直的判定【分析】 （1）连结 AB1交 A1B 于 E，连结 DE，由 AC1平面 A1BD 可得 AC1DE，由 E 为 AB1的中点即可得出 D 是 B1C1的中点；（2）证明 A1B平面 AB1C1，得出 A1BB 1C1，再结合 B1C1BB 1得出 B1C1平面 A1ABB1，于是平面 A1ABB1平面 C1CBB1【解答】证明：（1）连结

25、AB1交 A1B 于 E，连结 DEAC 1平面 A1BD，AC 1平面 AB1C1，平面 AB1C1平面 A1BD=DE，AC 1DE，侧面 A1ABB1是菱形，E 是 AB1的中点，D 是 B1C1的中点（2）侧面 A1ABB1是菱形，AB 1A 1B，又 A1BAC 1，AB 1AC 1=A，AB 1平面 AB1C1，AC 1平面 AB1C1，A 1B平面 AB1C1，又 B1C1平面 AB1C1，A 1BB 1C1，侧面 C1CBB1是矩形，B 1C1BB 1，又 BB1A 1B=B，BB 1平面 A1ABB1，A 1B平面 A1ABB1，B 1C1平面 A1ABB1B 1C1平面 C

26、1CBB1，平面 A1ABB1平面 C1CBB117已知椭圆 C： 的离心率为 ，焦距为2，直线 y=kx（x0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，M 为其右准线与 x 轴的交点，直线 AM，BM分别与椭圆 C 交于 A1，B 1两点，记直线 A1B1的斜率为 k1（1）求椭圆 C 的方程；- 17 -（2）是否存在常数 ，使得 k1=k 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】 （1）由题意 c=1，根据椭圆的离心率，即可求得 a 的值，b 2=a2c 2=1，即可求得椭圆方程；（2）根据椭圆的准线方程，即可求得 AM 的方程，代入椭圆方程，利

27、用韦达定理即可求得 A1及 B1，k 1= =3k，存在 =3，使得 k1=k 恒成立【解答】解：（1）由椭圆的焦距 2c=2，则 c=1，双曲线的离心率 e= = ，则 a=，则 b2=a2c 2=1，椭圆的标准方程： ；（2）设 A（x 0，y 0） ，则 2y02=2y 02，则 B（x 0，y 0） ，k= ，右准线方程 x=2，则 M（2，0） ，直线 AM 的方程为 y= （x2） ，整理得：（x 02） 2x2+2y02（x2） 22（x 02）2=0，该方程两个根为 x0， ，- 18 -x 0 = = x0，则 = ， = （ 2）= ，则 A1（ ， ） ，同理可得 B1（

28、 ，） ，则 k1= =3k，即存在 =3，使得 k1=k 恒成立18数列a n满足，n=1，2，3，（1）求 a3，a 4，并求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，记 F（m，n）=，求证：mn，F（m，n）4 对任意的；（3）设 Sk=a1+a3+a5+a2k1 ，T k=a2+a4+a6+a2k，W k= ，求使 Wk1 的所有 k 的值，并说明理由【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】 （1）a 3=a1+4=4，a 4=2a2=4当 n=2k，kN *时，a 2k+2=2a2k，可得数列a 2k是首项与公比都为 2 的等比数列当 n=2k1，kN *时，a 2k+1

29、=a2k1 +4，数列a 2k1 是首项为 0，公差为 4 的等差数列利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出- 19 -（2）b n= = ，设数列b n的前 n 项和为 An，利用错位相减法可得An=4 4根据 bn0，可得 F（m，n）A n，F（m，n）4（3）S k=a1+a3+a5+a2k1 =2k（k1） ，T k=a2+a4+a6+a2k=2k+12W k= =，对 k 分类讨论即可得出【解答】 （1）解：a 3=a1+4=4，a 4=2a2=4当 n=2k，kN *时，a 2k+2=2a2k，数列a 2k是首项与公比都为 2 的等比数列 即 n=2k，kN *时，a n= 当

30、 n=2k1，kN *时，a 2k+1=a2k1 +4，数列a 2k1 是首项为 0，公差为 4 的等差数列a 2k1 =4（k1） 即 n=2k1，kN *时，a n=2n2综上可得：a 3=4，a 4=4a n= ，kN *（2）证明：b n= = ，设数列b n的前 n 项和为 An，则 An=0+1+ + ，An= + + + ， =1+ + = ，A n=4 4b n0，F（m，n）A n，故对任意的 mn，F（m，n）4- 20 -（3）解：S k=a1+a3+a5+a2k1 = =2k（k1） ，Tk=a2+a4+a6+a2k= =2k+12Wk= = ，W 1=0，W 2=1，

31、W 3= 1，W 4= 1，W 5= 1，W 6= 1k6 时，W k+1W k= = 0，当 k6 时，W k+1W k当 k6 时，W k+1W 61综上可得：使 Wk1 的所有 k 的值为 3，4，519某冰淇淋店要派车到 100 千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本 F（单位：元）与其自重 m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速 v（单位：千米/小时）之间满足关系式： 在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为 10 元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利 100 元若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为 1.3 吨，最大载重为 1

32、 吨汽车来回的速度为 v（单位：千米/小时） ，且最大车速为 80 千米，一次进货 x 千克，而且冰淇淋供不应求（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润 w 与车速 v 和进货量 x 之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润 w0）？（3）当一次进货量 x 与车速 v 分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值 （提示： ）【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用【分析】 （1）用总收入减去来回两次的运行成本和冷藏成本即可；（2）利用基本不等式得出 W 的最大值，令其最大值大于或等于零解出 x，再验证车速是否符合条件即可；（3）利用导数判断

33、 W 的最大值函数的单调性，即可得出 W 的最大值，再验证车速即可- 21 -【解答】解：（1）汽车来回一次的运行成本为1300v2 + v2 = v，冷藏成本为 10x= ，W=100x v （2） v+ 2 =5 ，W100x5 ，当且仅当 v= 即v=40 时取等号令 100x5 0，得2 ，解得 x ，当 x= 时，v=40 =20（0，80，每次至少进货 千克，才可能使销售后不会亏本（3）由（2）可知W100x5 =5 （2 x ） ，x ，1000，设 f（x）=2 x ，则 f（x）=2 （ + ）=2 （ + ） ，x ，1000， = ，2，函数 y=x+ 在 ，2 上单调递

34、增，当 =2 时， + 取得最大值 ，- 22 -f（x）2 0，f（x）在 ，1000上单调递增，当 x=1000 时，f（x）取得最大值 f 已知函数 （e 为自然对数的底数，mR） （1）求函数 f（x）的单调区间和极值；（2）当 时，求证：x0，f（x）x 2lnx 恒成立；（3）讨论关于 x 的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论【考点】6D：利用导数研究函数的极值；52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）设 g（x）=x 2lnx，求出函数的导数，根据函

35、数的单调性证明即可；（3）设 F（x）=f（x）|lnx|，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间，根据单调性判断函数的零点即方程根的个数【解答】解：（1）f（x）= ，由 f（x）=0 得 x=1，x1 时，f（x）0，x1 时，f（x）0，f（x）在（，1递增，在递减，在 ，+）递增，当且仅当 x= 时，g（x） min= ；f（x） g（x） ，两等号不同时取，故x0，f（x）x 2lnx 恒成立；（3）设 F（x）=f（x）|lnx|，F（x）=f（x）lnx，x1，f（x） ，lnx 都在递增，F（x）在（0，1递增，F（1）= +m，m 时，0x1 ，F（x）F（1）0，- 23

36、 -F（x）在（0，1）无零点，当 m 时，F（1）0，0x1，F（x） +m+lnx，显然 （0，1） ，F（ ） +m+ln =0，F（x）的图象不间断，F（x）在（0，1）恰有 1 个零点，综上，m= 时，方程|lnx|=f（x）恰有 1 个实根，m 时，方程|lnx|=f（x）无实根，m 时，方程|lnx|=f（x）有 2 个不同的实根2017 年高考熟中模拟卷 B.选修 4-2：矩阵与变换21已知矩阵 M 对应的变换将点（5，7）变换为（2，1） ，其逆矩阵 M1 有特征值1，对应的一个特征向量为 ，求矩阵 M【考点】OU：特征向量的意义【分析】根据矩阵的变换求得 M = ，利用矩阵

37、的特征向量及特征值的关系，利用矩阵的乘法，即可求得 M 的逆矩阵，即可求得矩阵 M【解答】解：由题意可知：M = ，M1 = ，M 1 = ，设 M1 = ，则 = ， =，则 ，解得： ，则 M1 = ，det（M 1 ）=20+18=2，- 24 -则 M= 矩阵 M= C.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线 C1的参数方程为 ， （， 为参数） ，曲线 C2的极坐标方程为 ，求曲线 C1与曲线C2的交点的直角坐标【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】求出曲线 C1的普通方程和曲

38、线 C2的直角坐标方程，两方程联立，能求出曲线 C1与曲线 C2的交点的直角坐标【解答】解：曲线 C1的参数方程为 ， （， 为参数） ，曲线 C1的普通方程为 y=12x 2，x，曲线 C2的极坐标方程为 ，曲线 C2的直角坐标方程为 y= ，两方程联立： ，得 2 x =0，解得 ， ，x， ，y= ，曲线 C1与曲线 C2的交点的直角坐标为（ ） 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分共计 20 分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等- 25 -分，在每块区域内分别

39、标有数字 1，2，3，4） ，由转盘停止时指针所指数字决定是否过关在闯 n 关时，转 n 次，当次转得数字之和大于 n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得 10 欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立（1）求某人参加一次游戏，恰好获得 10 欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金 X 欧元，求 X 的概率分布和数学期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】 （1）记“某人参加一次游戏，恰好获得 10 欧元”为事件 A，由题意他只闯过了第一关，没有过第二关，由此求

40、出所求的概率；（2）根据题意知 X 的所有可能取值，计算对应的概率，写出随机变量 X 的概率分布，计算数学期望值【解答】解：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得 10 欧元”为事件 A，由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，因此，他第一关转得了 2、3、4 中的一个，第二关转得了（1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ， （2，2）中的一个，所求的概率为 P（A）= （5 ）= ；（2）根据题意，X 的所有可能取值为 0，10，20，40；计算 P（X=0）= ，P（X=10）= ，P（X=20）= = ，P（X=40）= = ，X 的概率分布为：X 0 10 20 4

41、0P数学期望为：- 26 -E（X）=0 +10 +20 +40 = 24 （1）证明： ；（2）证明：；（3）证明：【考点】D5：组合及组合数公式【分析】 （1）利用组合数的计算公式可得：（k+1） =（k+1）= （2）由（1）可得： = ，左边= =（1） k+1= ，即可证明（3） = +由（2）可知： = 设 f（n）= ，则 f（1）=1，=f（n1） 可得 f（n）f（n1）= 利用累加求和方法即可得出- 27 -【解答】证明：（1） （k+1） =（k+1） =（n+1） （2）由（1）可得： = ，左边= = （1） k+1= =右边（3） = +由（2）可知： = = 设 f（n）= ，则 f（1）=1，=f（n1） f（n）f（n1）= n2 时，f（n）=f（1）+f（2）f（1）+f（n）f（n1）=1+ + n=1 时也成立- 28 -f（n）=1+ + nN *即：