2020版高考数学一轮复习第4章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示讲义理（含解析）.doc

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1、1第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示考纲解读 1.熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点预测 2020 年会从以下几点进行命题：向量的坐标运算及线性表示；根据向量共线求参数值；共线向量与其他知识综合题型以客观题为主，有时也会与三角函数、解析几何综合命题，试题难度以中档题型为主.1平面向量基本定理如果 e1， e2是同一平面内的两个 不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，01 有且只有一对实数 1，

2、2，使 a 1e1 2e2.其中，不共线的向量 e1， e2叫做表02 03 示这一平面内所有向量的一组 基底把一个向量分解为两个 互相垂直的向量，叫做把04 05 向量正交分解2平面向量的坐标运算设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b (x1 x2， y1 y2)，01 a b (x1 x2， y1 y2)， a (x 1， y 1)，| a| ，| a b|02 03 x21 y21. x2 x1 2 y2 y1 23平面向量共线的坐标表示设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b x1y2 x2y10 .01 1概念辨析(1)平面内的任何两个向量都

3、可以作为一组基底( )(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示( )(3)设 a， b 是平面内的一组基底，若实数 1， 1， 2， 2满足 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2.( )(4)若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b 的充要条件可表示成 .( )x1x2 y1y2答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身2(1)设平面向量 a(1,0)， b(0,2)，则 2a3 b 等于( )A(6,3) B(2，6)C(2,1) D(7,2)答案 B解析 2 a3 b2(1,0)3(0,2)(2,0)(0,6)(

4、2，6)(2)如图，正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 ，则 的值为( )AE AB AC A. B12 12C1 D1答案 A解析 由题意得 ，又 ，由平面AE AC CE AC ( 12AB ) 12AB AC AE AB AC 向量基本定理得 ， 1，所以 .12 12(3)设向量 a( x，4)， b(1， x)，若向量 a 与 b 同向，则 x( )A2 B2 C2 D0答案 A解析 因为 a 与 b 同向，所以 a b，所以 x( x)(4)10，解得 x2.当x2 时， a2 b， a 与 b 同向当 x2 时， a2 b， a 与 b 反向，所以 x2.(4)若

5、a 与 b 不共线，已知下列各向量： a 与2 b； a b 与 a b； a b 与 a2 b； a b 与 a b.12 12 14其中可以作为基底的是_(填序号)答案 解析 中两个向量不共线，可以作为基底；中， a b2 ，所以两12 (12a 14b)个向量共线，不可以作为基底题型 平面向量基本定理及其应用一31向量 e1， e2， a， b 在正方形网格中的位置如图所示，则 a b( )A4 e12 e2B2 e14 e2C e13 e2D3 e1 e2答案 C解析 设向量 a， b 的终点分别为 A， B，因为向量 a， b 共起点，所以 a b ，根据BA 图形可知 e13 e2

6、.BA 2(2018资阳模拟)在平行四边形 ABCD 中， M 是 BC 的中点，若 ，则AC AM BD ( )A. B2 C. D.94 158 53答案 D解析 ， ， .AC AB AD AM AB BM AB 12AD BD AD AB ( )，AC AM BD (AB 12AD ) AD AB Error! Error!则 .533已知向量 e1， e2不共线，实数 x， y 满足(3 x4 y)e1(2 x3 y)e26 e13 e2，则2x y_.答案 9解析 由平面向量基本定理可知Error!解得Error! 故 2x y9.条件探究 1 若把举例说明 2 的条件改为“在平行

7、四边形 ABCD 中， e1， e2，AB AC ， ”，试用 e1， e2表示 .NC 14AC BM 12MC MN 解 由 得 ( ) (e2 e1)，BM 12MC MC 23BC 23AC AB 234又因为 e2，NC 14AC 14所以 (e2 e1) e2MN MC NC 23 14 e1 e2.23 512条件探究 2 若把举例说明 2 的条件改为“在平行四边形 ABCD 中，边 BC， CD 的中点分别是 K， L，且 e1， e2”，试用 e1， e2表示 ， .AK AL BC CD 解 设 x， y，则 x， y.BC CD BK 12 DL 12由 ， ，AB BK

8、 AK AD DL AL 得Error!(2)，得 x2 x e12 e2，12即 x (e12 e2) e1 e2，23 23 43所以 e1 e2.BC 23 43同理可得 y e1 e2，即 e1 e2.43 23 CD 43 231用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要注意运用平面几何的一些性质定理2运用平面向量基本定理时应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组(2)利用已知向量表示未知向量，

9、实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算(3)利用“唯一性”建立方程组如举例说明 2,3. 51如图，在 ABC 中， ， P 是 BN 上的一点，若 m ，则实数 m 的值AN 13NC AP AB 211AC 为_答案 311解析 P 是 BN 上的一点，设 ，由 ，BP BN AN 13NC 则 AP AB BP AB BN ( )(1 ) AB AN AB AB AN (1 ) m .AB 4AC AB 211AC m1 ， ，解得 ， m . 4 211 811 3112(2018衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量 a， b， c 的起点和终点均在格点(小

10、正方形顶点)上，若 c 与 xa yb(x， y 为非零实数)共线，则 的值为_xy答案 65解析 设 e1， e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c e12 e2， a2 e1 e2， b2 e12 e2，由 c 与 xa yb 共线，得 c (xa yb)，所以e12 e22 (x y)e1 (x2 y)e2，所以Error!所以Error!则 的值为 .xy 65题型 平面向量的坐标运算二6已知 A(2,4)， B(3，1)， C(3，4)设 a， b， c，且AB BC CA 3 c， 2 b.CM CN (1)求 3a b3 c；(2)求满足 a mb nc

11、 的实数 m， n；(3)求 M， N 的坐标及向量 的坐标MN 解 由已知得 a(5，5)， b(6，3)， c(1,8)(1)3a b3 c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)因为 mb nc(6 m n，3 m8 n)，所以Error! 解得Error!(3)设 O 为坐标原点，因为 3 c，CM OM OC 所以 3 c (3,24)(3，4)(0,20)，OM OC 所以 M(0,20)，又因为 2 b，CN ON OC 所以 2 b (12,6)(3，4)(9,2)，ON OC 所以 N(9,2)所以 (9，18)MN 结论探究 举例说明中条

12、件不变，求三角形 ABC 的重心 G 的坐标解 设 AB 的中点为 P， O 为坐标原点，因为 ，CG 23CP 所以 ( )，OG 13OC 23OP 13OC 13OA OB 所以 ( )OG 13OA OB OC (2,4)(3，1)(3，4)13 ，所以重心 G 的坐标为 .(23， 13) ( 23， 13)平面向量坐标运算的技巧7(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1已知点 A(0,1)， B(3,2)，向量 (4，3)，则向量 ( )AC BC A(7，4)

13、B(7,4)C(1,4) D(1,4)答案 A解析 根据题意得 (3,1)， (4，3)(3,1)(7，4)故AB BC AC AB 选 A.2已知 a(1,1)， b(1，1)， c(1,2)，则 c 等于( )A a b B. a b12 32 12 32C a b D a b32 12 32 12答案 B解析 设 c a b.则(1,2) (1,1) (1，1)，所以Error! 解得Error! 所以 c a b.12 32题型 平面向量共线的坐标表示三角度 1 利用向量共线求参数的值1(1)(2018全国卷)已知向量 a(1,2)， b(2，2)， c(1， )若c(2 a b)，则

14、 _；(2)平面内有三点 A(0，3)， B(3,3)， C(x，1)，且 A， B， C 三点共线，则x_.答案 (1) (2)112解析 (1)由题意可得 2a b(4,2)， c(2 a b)， c(1， )，4 20，即 .12(2)由题意知 (3,6)， ( x3，4)因为 A， B， C 三点共线，所以 与 共线，AB BC AB BC 所以 3(4)6( x3)0，解得 x1.角度 2 利用向量坐标运算求解综合问题82(2018山东德州一模)已知 ABC 的三边分别是 a， b， c，设向量m(sin Bsin A， a c)， n(sin C， a b)，且 m n，则 B 的

15、大小是( )3A. B. C. D. 6 56 3 23答案 B解析 因为 m n，所以( a b)(sinBsin A)sin C( a c)3由正弦定理得，( a b)(b a) c( a c)，3整理得 a2 c2 b2 ac，3由余弦定理得 cosB .a2 c2 b22ac 3ac2ac 32又 00， n0)，则 m2 n 的最小值为_AM AB AN AC 答案 39解析 因为 2 ，所以 .BP PC BP 23BC 连接 AP，则 ( )AP AB BP AB 23AC AB .13AB 23AC 13mAM 23nAN 因为 M， P， N 三点共线，所以 1，13m 23n因为 m0， n0，所以 m2 n( m2 n)(13m 23n) ，13 43 2n3m 2m3n 53 23(nm mn) 2 3，53 23 nmmn 53 43当且仅当 ，即 m n 时等号成立nm mn所以 m2 n 的最小值为 3.