[考研类试卷]考研数学二(线性代数)模拟试卷38及答案与解析.doc
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1、考研数学二(线性代数)模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 =( ,0,0, ),矩阵 A=I 一 T,B=I+2 T,其中 I 为 n阶单位矩阵,则 AB=(A)0(B)一 I(C) I(D)I+ T2 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT,若 a11,a 12,a 13 为三个相等的正数,则 a11 等于3 设有向量组 1=(1,一 1,2,4), 2=(0,3,1, 2), 3=(3,0,7,14), 4=(1,一 2,2,0) , 5=(2,1,5,10),则该向量组的极大线性无关组是(A) 1, 2,
2、3(B) 1, 2, 4(C) 2, 2, 5(D) 1, 2, 4, 54 设向量组 1, 2, 3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是(A) 1+2, 2+3, 3 一 1(B) 1+2, 2+3, 1+22+3(C) 1+22,2 2+33,3 3+1(D) 1+2+3,2 1 一 3 2+23,3 1+52 一 5 35 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn,b 为任一 m 维列向量,则(A)线性方程组 Ax=b 必无解(B)线性方程组 Ax=b 必有唯一解(C)线性方程组 Ax=b 必有无穷多解(D)A 的任意 m 个列向量都线性无关6 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0,若
3、 1, 2, 3, 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系(A)不存在(B)仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量(D)含有三个线性无关的解向量7 设 A、B 都是 n 阶矩阵,则 A 与 B 相似的一个充分条件是(A)r(A)=r(B)(B) |A|=|B|(C) A 与 B 有相同的特征多项式 (D)A、B 有相同的特征值 1, n,且 1, , n 互不相同二、填空题8 9 设 n(n3)阶方阵 A= 的秩为 n 一 1,则 a=_10 =_11 设 3 阶方阵 A 按列分块为 A=1 2 3,已知秩(A)=3,则 3 阶
4、方阵B=1+22+321+(2 一 a)2+33 31+32的秩=_12 若齐次线性方程组 存在非零解,则a=_13 已知线性方程组 无解,则 a=_14 设 1=(1, 0,一 2)T 和 2 一(2,3,8) T 都是 A 的属于特征值 2 的特征向量,又向量 =(0,一 3,一 10)T,则 A=_15 若二次型 f(x1,x 2,x 3)=x12+4x22+4x32+2x1x2 一 2x 1x3+4x2x3 为正定二次型,则 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设有行列式 已知 1703,3159,975,10959 都能被 13 整除,不计算行列式
5、D,证明 D 能被 13 整除17 设 4 阶方阵 A 满足 A(EC 一 1B)TCT=E,化简上述关系式并求 A18 设 A*为 3 阶方阵 A 的伴随矩阵,|A|= ,求|(3A) 一 1 一 2A *|的值19 已知三阶方阵 A 的行列式|A|=2,矩阵 B= ,其中 Aij 为 A 的(i,j)元素的代数余子式(i、j=1 ,2,3),求 AB20 设 A 是 nm 矩阵,B 是 mn 矩阵(nm),且 AB =En证明:B 的列向量组线性无关21 设有向量组() : 1=(1,0,2) T, 2=(1,1,3) T, 3=(1,一 1,a+2) T 和向量组(): 1=(1,2,
6、a+3) T, 2=(2,1,a+6) T, 3=(2, 1,a+4) T试问:当 a 为何值时,向量组() 与向量组 ()等价?当 a 为何值时,向量组()与()不等价?22 设 1, 2, , s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,1=t11+t22, 2=t12+t23, s=t1s+t21,其中 t1,t 2 为实常数试问 t1,t 2 满足什么关系时, 1, 2, , s 也为 AX =0 的一个基础解系23 设矩阵 X=(xij)33 为未知矩阵,问a、b、c 各取何值时,矩阵方程 AX=B 有解?并在有解时,求出其全部解24 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1, 2=2
7、, 3=3,对应的特征向量依次为(1)将 用 1, 2, 3 线性表出;(2)求 An(n 为正整数 )25 设 3 阶矩阵 A 与对角阵 D= 相似,证明:矩阵 C=(A 一 1E)(A 一2E)(A 一 3E)=026 设 A 为 3 阶矩阵,3 维列向量 ,A,A 2 线性无关,且满足 3A 一 2A 2 一 A3=0,令矩阵 P= A A2 (1) 求矩阵 B,使 AP=PB; (2)证明 A 相似于对角矩阵27 设矩阵 是矩阵 A*的一个特征向量, 是 对应的特征值,其中 A*是 A 的伴随矩阵试求 a、b 和 的值28 已知二次型 f(x1,x 2,x 3)=x12 一 2x 22
8、+bx32 一 4x1x2+4x1x3+2ax2x3(a0)经正交变换 化成了标准形 f=2y12+2y22 一 7y 32,求 a、b 的值和正交矩阵 P29 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值,X 1、X n 分别为对应于1 和 n 的特征向量,记 求二元函数 f(x,y)=(x2+ y20)的最大值,并求最大值点30 设 A 为 n 阶实对称矩阵,秩(A)=n,A ij 是 A=(aij)nn 中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,n)二次型 f(x1,x 2,x n)= (1)记X=(x1,x 2,x n)T,把 f(x1,x 2,x n)写成矩阵形
9、式,并证明二次型 f(X)的矩阵为 A 一 1;(2)二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同?说明理由31 已知二次型 f(x1,x 2,x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22,且 Q的第 3 列为 ()求矩阵 A;() 证明 A+E 为正定矩阵,其中 E 为 3阶单位矩阵考研数学二(线性代数)模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 T= AB=(I 一 T)(I+2T)=I+2T 一 T一 2T(T)=I+T 一 T=I,故(C)正确【知识模块】 线性代数2 【
10、正确答案】 A【试题解析】 由已知的 A*=AT,即 得aij=Aij(i,j=1,2,3),其中 Aij 为|A|中元素 aij 的代数余子式于是由行列式按行展开法则得|A|= =3a1120,再由 A*= AT 两端取行列式,得|A|=|A|2, |A|=1,故得 3112=l,【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 可以通过矩阵 A=1T 2T 3T 4T 5T的初等行变换得(B)正确,或用排除法:因 3=31+2, 5=21+2,故(A)、(C)、(D)都是线性相关组,故只有(B)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (C) 组中 3 个向量用线性
11、无关向量组 1, 2, 3 线性表示的系数矩阵A= 的秩为 3,故(C)组线性无关【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 注意增广矩阵只有 m 行,其秩不会大于 m,故由 m=r(A)rA|bm, r(A)=r(A|b)=mn,所以,Ax=b 有无穷多解【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*D 知 A*至少有一个元素 Aij=(一 1)i+jMij0,故 A 的余子式Mij0,而 Mij 为 A 的 n 一 1 阶子式,故 r(A)n 一 1,又由 Ax=b 有解且不唯一知r(A)n,故 r(A)=n 一 1因此, Ax=0 的基础解系所含向量个数为
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