2010-2011江苏省溱潼中学第二学期高二期中数学（理科）试题.doc

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1、2010-2011江苏省溱潼中学第二学期高二期中数学（理科）试题 填空题 设 ， ， n N， 则 . 答案： 若 ,则 答案： 用数学归纳法证明 “ 能被 3整除 ” 的第二步中 ,当 时 ,为了使用归纳假设 ,应将 变形为 答案： 考点：数学归纳法 分析：本题考查的数学归纳法的步骤，在使用数学归纳法证明 “5n-2n能被 3 整除 ”的过程中，由 n=k时成立，即 “5k-2k能被 3整除 ”时，为了使用已知结论对 5k+1-2k+1进行论证，在分解的过程中一定要分析出含 5k-2k的情况 解：假设 n=k时命题成立 即： 5k-2k被 3整除 当 n=k+1时， 5k+1-2k+1=55

2、k-22k =5（ 5k-2k） +52k-22k =5（ 5k-2k） +32k 故答案：为： 5（ 5k-2k） +32k 在 10个球中有 6个红球和 4个白球 (各不相同 ),依次不放回地摸出 2个球 ,在第一次摸出红球的条件下 ,第二次也摸到红球的概率是 答案： 考点：条件概率与独立事件 分析：事件 “第一次摸到红球且第二次也摸到红球 ”的概率等于事件 “第一次摸到红球 ”的概率乘以事件 “在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球 ”的概率根据这个原理，可以分别求出 “第一次摸到红球 ”的概率和 “第一次摸到红球且第二次也摸到红球 ”的概率，再用公式可以求出要求的概率 解：先求出

3、“第一次摸到红球 ”的概率为： P 1= = 设 “在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球 ”的概率是 P2 再求 “第一次摸到红球且第二次也摸到红球 ”的概率为 P= = 根据条件概率公式，得： P2= = 故答案：为： 甲 ,乙两名篮 球运动员分别进行一次投篮 ,如果两人投中的概率都是 0.6,则投球命中的概率是 答案： 不同的五种商品在货架上排成一排，其中 ， 两种必须排一起，而 ，两种不能排在一起，则不同的排法共有 答案： 若 , , , 则 答案： 试题分析：由二项分布的计算公式及其性质得，考点 :二项分布及其性质。 点评 :简单题，利用二项分布的计算公式及其性质。 C +C +

4、C +C 除以 9的余数是 答案： 设离散型随机变量 X的概率分布如下： X 0 1 2 3 p 答案： 考点：离散型随机变量的期望与方差 分析：根据所给的分布列和分布列的性质，写出关于 p的等式，解出 p的值，算出 X的期望值，从而得到结论 解：由已知得 + + +p=1 解得： p= E（ X） =0 +1 +2 +3 = 展开式中含 项的系数为 答案： -960 计算： + 答案： 给出下列命题： 若复平面内复数 所对应的点都在单位圆内，则实 数 的取值范围是 ； 在复平面内 , 若复数 z满足， 则 z在复平面内对应的点 Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆； 若 =1，则复数 z 一定等于

5、1; 若 是纯虚数，则实数 =1.其中，正确命 题的序号是 . 答案： 考点：复数的基本概念 分析： 根据若复平面内复数 z=x- i 所对应的点都在单位圆 x2+y2=1内，得到 x2+ 1，解不等式得到实数 x的取值范围是 - x 知本题正确； 在复平面内， z到两个定点的距离之和是一个定值，根据椭圆的定义知 z轨迹是焦点在虚轴上的椭圆； 若 z3=1，则复数 z一定等于 1，得到 z=1，或 z=- i 要满足 x2-1=0， x2+3x+20，而当 x=-1时， x2+3x+2=0 解： 若复平面内复数 z=x- i 所对应的点都在单位圆 x2+y2=1内， x2+ 1， x2 实数

6、x的取值范围是 - x 正确； 在复平面内，若复数 z满足 |z-i|+|z+i|=4， 由复数的几何意义知， z到两个定点的距离之和是一个定值 4 且 4 2 z在复平面内对应的点 Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆； 正确； 若 z3=1，则复数 z一定等于 1 当复数 z是一个实数时， z=1， 当复数 z是一个虚数时， z=- i 不正确； 若（ x2-1） +（ x2+3x+2） i是纯虚数， 要满 足 x2-1=0， x2+3x+20 而当 x=-1时， x2+3x+2=0 不正确 故答案：为： 有一段演绎推理是这样的： “直线平行于平面 ,则平行于平面内所有直线；已知直线 平面 ，直线

7、 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线 ”的结论显然是错误的，这是因为 答案：大前提错误导致结论错误 从 1=1， 1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4), 推广到第 个等式为 _ 答案： 考点：归纳推理 分析：本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由 1=1， 1-4=-（ 1+2）， 1-4+9=1+2+3， 1-4+9-16=-（ 1+2+3+4）， ，中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案： 解： 1=1=（ -1） 1+1 1 1-4=-（ 1+2） =（ -1） 2+1 （ 1+2） 1-4+9=1+2+3=

8、（ -1） 3+1 （ 1+2+3） 1-4+9-16=-（ 1+2+3+4） =（ -1） 4+1 （ 1+2+3+4） 所以猜想： 1-4+9-16+ （ -1） n+1 n2=（ -1） n+1 （ 1+2+3+n ） 故答案：为： 1-4+9-16+ （ -1） n+1 n2=（ -1） n+1 （ 1+2+3+n ） 解答题 设 ，是否存在整式 ，使得 对 n2的一切自然数都成立 并试用数学 归纳法证明你的结论 . 答案：解：假设存在整式 ，使得对 n2的一切自然数都成立 ,则 当 n=2时有 ,又 , ; 当 n=3时有 ,又 , ;, 猜想： g(n)=n(n2), 下面用数学归

9、纳法加以证明： (1)当 n=2时，已经得到证明 . (2)假设当 n=k(k2， k N)时，结论成立 ,即 存在 g(k)=k，使得 对 k2的一切自然数都成立成立 .则当 n=k+1时， , 又 , , 当 n=k+1时，命题成立 . 由 (1)(2)知 ,对一切 n(n2,n N*)有 =n，使得 都成立 . 求证： 答案：证明 : 展开式至少有 4项 , . 也可用数学归纳法证明 在二项式 的展开式中，第 6项与第 7的系数相等 ,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 答案：解：二项式 的展开式的通项 , , , n=8, 当 时 , 二项式系数 最大 , ; 设第 项系数最大

10、，则有 , , , , . 系数最大的项为 . 设 求证 : 答案： 1,3,5 证明 :要证明 ,只要证明 ,即证明 , 即证明 ,只要证明 , , 是成立的 ,由于上述步步可逆 , 成立 . 某人有 5把钥匙 ,其中只有 1把能打开某一扇门 ,今任取一把试开 ,不能打开的除去 ,求打开此门所需试开次数的数学期望和方差 . 答案：解 :设 为打开此门所需试开次数 ,则 的可能取值为 1,2,3,4,5. , , , , . 故随机变量的概率分布列为 X 1 2 3 4 5 , （ ）（ 20分）在复数范围内解方程 (i为虚数单位 ) （ ）设 z是虚数， =z+ 是实数，且 -1 2 （ 1

11、）求 |z|的值及 z的实部的取值范围；（ 10分） （ 2）设 u= ，求证： u为纯虚数；（ 5分） （ 3）求 -u2的最小值 ,（ 5分） 答案：（ ）原方程化简为 , 设 z=x+yi(x、 y R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1且 2x=-1,解得 x=- 且 y= , 原方程的解是 z=- i. （ ）（ 1）设 z=a+bi(a、 b R， b0)， 则 =a+bi+ =(a+ )+(b- )i 是实数， ,又 b0， a2+b2=1，即 |z|=1 =2a， -1 2， z的实部的取值范围是 (- ， 1) （ 2）证明： u= = = = 由（ 1）知 a2+b2=1, u=- I,又 a (- ， 1)， b0， u为纯虚数 （ 3）解： -u2=2a+ =2a+ =2a- =2a-1+ =2 (a+1)+ -3 a (- ， 1)， a+1 0, (a+1)+ 2(当 a+1= ，即 a=0时，上式取等号 .) -u222-3=1, -u2的最小值为 1.