2010年全国竞赛数学.doc.doc

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1、2010年全国竞赛数学 .doc 选择题 若 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： 如图， ABC为等腰三角形， AP是底边 BC上的高，点 D是线段 PC上的一点， BE和 CF分别是 ABD和 ACD的外接圆直径，连接 EF. 求证： （第 12A题） （第 12B题） （第 11题） 答案： 从 1， 2， ， 2010这 2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被 33整除？ 答案：首先，如下 61个数： 11， ， ， ， （即 1991）满足题设条件 . （ 5分） 另一方面，设 是从 1， 2， ， 2010中取出的满足题设条件的数，对于

2、这 n个数中的任意 4个数 ，因为 ， ， 所以 . 因此，所取的数中任意两数之差都是 33的倍数 . （ 10分） 设 ， i=1， 2， 3， ， n. 由 ，得 ， 所以 ， ，即 11. （ 15分） ， 故 60. 所以， n61. 综上所述， n的最大值为 61. （ 20分） 如图，在平面直角坐标系 xOy中，等腰梯形 ABCD的顶点坐标分别为 A（ 1， 1）， B（ 2， -1）， C（ -2， -1）， D（ -1， 1） y轴上一点 P（ 0， 2）绕点 A旋转 180得点 P1，点 P1绕点 B旋转 180得点 P2，点 P2绕点 C旋转 180得点 P3，点 P3绕点

3、 D旋转 180得点P4， ，重复操作依次得到点 P1， P2， ， 则点 P2010的坐标是（ ） （第 5题） A（ 2010， 2） B（ 2010， ） C（ 2012， ） D（ 0， 2） 答案： B 在一列数 中，已知 ，且当 k2时， （取整符号 表示不超过实数 的最大整数，例如 ， ），则 等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 若实数 a， b满足 ，则 a的取值范围是 （ ） A a B a4 C a 或 a4 D a4 答案： C 如图，在四边形 ABCD中， B 135， C 120， AB= ， BC= ， CD，则 AD边的长为（ ） A B （第

4、 3题） C D 答案： D 填空题 对于 i=2， 3， ， k，正整数 n除以 i所得的余数为 i-1若 的最小值 满足，则正整数 的最小值为 答案： 如图，射线 AM， BN都垂直于线段 AB，点 E为 AM上一点，过点 A作 BE的垂线AC分别交 BE， BN于点 F， C，过点 C作 AM的垂线 CD，垂足为 D若 CD CF，则 答案： 一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了 10分钟，小轿车追上了货车；又过了 5分钟，小轿车追上了客车；再过 t分钟，货车追上了客车，则 t 答案： 15 已

5、知 a -1，则 2a3 7a2-2a-12 的值等于 答案： 计算题 求满足 的所有素数 p和正整数 m. 答案： 如图，在平面直角坐标系 xOy中，多边形 OABCDE的顶点坐标分别是 O（ 0， 0），A（ 0， 6）， B（ 4， 6）， C（ 4， 4）， D（ 6， 4）， E（ 6， 0）若直线 l经过点 M（ 2，3），且将多边形 OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线 l的函数表达式是 （第 8题） 答案： 解答题 如图，抛物线（ a 0）与双曲线 相交于点 A， B. 已知点 A的坐标为（ 1， 4），点 B在第三象限内，且 AOB的面积为 3（ O为坐标原点） . （ 1）求实数 a， b， k的值； （ 2）过抛物线上点 A作直线 AC x轴，交抛物线于另一点 C，求所有满足 EOC AOB的点 E的坐标 . 答案：