福建省晋江市季延中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理.doc

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1、1季延中学 2019 年春高二年期中考试理科数学试卷考试时间：120 分钟 满分 150 分一、单选题(每题 5 分)1已知随机变量 X 的分布列为 ，则 为（ ）1()2kPXn，(24)PXA B C D634161652 等于（ ）223410CCA990 B165 C120 D553下列说法错误的是（ ）A在回归模型中，预报变量 的值不能由解释变量 唯一确定B若变量 ， 满足关系 ，且变量 与 正相关，则 与 也正相关C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 ，4一袋中有 5 个

2、白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X12)等于( )A B C D5设 ，则29 2101 1(1)()()(2)xaxaax的值为（ ）021aA B C1 D26将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 袋或 袋中，已知小球每次遇到黑色AB障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为 ，则小球落入 袋中的概率为 213、（ ）A B C D3414237甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为 ， ，两人考试时相互独立互不影响

3、，记 x 表示两人中通过雅思考试的人数，则 x 的方差为（ ）2A0.41 B0.42 C0.45 D0.468随机变量 x 服从正态分布 ， ， ，则),10(2NXmxP)1( nxP)108(的最小值为（ ）nm12A B C D432622469一场 5 局 3 胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜 2 局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲、乙胜的概率都为 ,则这场比赛的奖金分配(甲乙)应为( )1A61 B71 C31 D4110已知 是 上的两个随机数，则满足 的概率为（ ）,01sinA B C D2242411黄冈市有很多处风景名胜，仅 4A 级景区就有 10 处，某单

4、位为了鼓励职工好好工作，准备组织 5 名优秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且这三个风景区中每个风景区至少安排 1 人，则这 5 名职工共有（ ）种安排方法A90 B60 C210 D15012某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10销量件 100 94 93 90 85 78预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是 5 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（ ）（附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率的

5、最小),(),(,n21yxyx axby二乘估计值为 .参考数值： ， ）niiixb12 51661ii 7.012iA9.4 元 B9.5 元 C9.6 元 D9.7 元3二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13 的展开式中， 的系数为_2()xy52xy14 （e 为自然对数的底数）_dx1215一个盒子装有 3 个红球和 2 个蓝球（小球除颜色外其它均相同） ，从盒子中一次性随机取出 3 个小球后，再将小球放回重复 50 次这样的实验记“取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个蓝球”发生的次数为，则的方差是_16将 1，2，3，a,b,c 排成一排，则字母 a 不在两端，且三个

6、数字中有且只有两个数字相邻的概率是_.3、解答题(共 70 分)17 （本题 10 分）在 的展开式中，第 4 项的系数与倒数第 4 项的系数之比为 . nx)2( 21（1）求 的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.18 （本题 12 分）2016 年 1 月 1 日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行格化管理，该市妇联在格 1 与格 2 两个区域内随机抽取 12 个刚满 8 个月的婴儿的体重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示（中位：斤）.体重不超过 19.6 斤的为合格.（1）从格 1 与格 2 分别随机抽取 2 个婴儿，求格

7、 1 至少一个婴儿体重合格且格 2 至少一个婴儿体重合格的概率；（2）妇联从格 1 内 8 个婴儿中随机抽取 4 个进行抽检，若至少 2 个婴儿合格，则抽检通过，若至少 3 个合格，则抽检为良好.求格 1 在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率；（3）若从格 1 与格 2 内 12 个婴儿中随机抽取 2 个，用 X 表示格 2 内婴儿的个数，求 X 的分布列与数学期望.419 （本题 12 分）春节来临，有农民工兄弟 、 、 、 四人各自通过互联网订购回ABCD家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若 、A、 、 获得火车票的概率分别是 ，其中 ，又 成等比

8、数BCD13,24p13p13,2p列，且 、 两人恰好有一人获得火车票的概率是 .A（1）求 的值；13,p（2）若 、 是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设 表示C X、 、 、 能够回家过年的人数，求 的分布列和期望 .ABDXEX20. （本题 12 分）如图，四棱锥 ， ， ，PABCD/90BCD， 为等边三角形，平面 平面24CPAB ， 为 中点ABDQ(1) 求证： 平面 ；(2)求二面角 的余弦值PC21 （本题 12 分）2019 年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到 400 元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.

9、方案一：一个不透明的盒子中装有 30 个质地均匀且大小相同的小球，其中 10 个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得 60 元的返金券，若抽到白球则获得 20 元的返金券，且顾客有放回地抽取 3 次.方案二：一个不透明的盒子中装有 30 个质地均匀且大小相同的小球，其中 10 个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得 80 元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取 3 次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得 180 元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.试分别计算他选

10、择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；5为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？22 （本题 12 分）设函数 ，),(1ln)( Rbaxaxf （1）讨论 的单调性；)(xf（2）若函数 有两个零点 ，求证： 21,x2121x6高二理科数学期中考卷参考答案一、CBBDA DADBB DB二、填空题 30 12 )(212e三、解答题17.【答案】 （1） ； （2） ， ， ， ； (3) .【详解】（1）由题意知： ，则第 4 项的系数为 ，倒数第 4 项的系数为 ， 则有 即 ， .（2）由（1）可得 ，当 时所有的有理项为即 ， ，

11、， .（3）设展开式中第 项的系数最大，则，故系数最大项为 .18.【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析.（1）由茎叶图知，网格 1 内体重合格的婴儿数为 4，网格 2 内体重合格的婴儿数为 2，则所求概率 .（2）设事件 表示“2 个合格，2 个不合格” ；事件 表示“3 个合格，1 个不合格” ； 事件表示“4 个全合格” ；事件 表示“抽检通过” ；事件 表示“抽检良好”. ，7，则所求概率 .（3）由题意知， 的所有可能取值为 0,1,2. ， ， ， 的分布列为 .19.（1） 、 两人恰好有一人获得火车票的概率是 AC1213132pp联立方程 ， ，解得1313242pp13

12、p13,4（2） 0,23X11546P12 301542XC16144P9 分12 213643XC144P的分布列为X0 1 2 3 4P156453142168. 1511902346468EX18 (1)证明：因为 ， ， 所以 ， /ABCD90ABC又平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ，PPDPAB又 平面 ，所以 ， 2 分QQ因为 为 中点，且 为等边三角形，所以 ， 3 分BAB PBAQ又 ，所以 平面 . ,4 分PCIC(2)解法一：取 中点为 ，连接 ，因为 为等边三角形，所以 ，OP POAB由平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ， 5 分ABDABPC

13、D所以 ，由 ， ，24B90可知 ，所以 /OCA以 中点 O 为坐标原点，分别以 所在直线为,O轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 6 分,xyz xyz所以 0,2,0,AD32,CPB则 ，, 0,2CD因为 为 中点，所以 ，由 (1) 知，平面 的一个法向量为Q0,1QPBC. 7 分设平面 的法向量为 ，由 得0,3AurP,nxyz0,nD，取 ，则 ， 9 分2yxz13,01n由 . 11 分2cos, 4AQnurr因为二面角 为钝角，所以，二面角 的余弦值为 . 12 分BPCDBPCD14解法二： 取 中点为 ，连接 ，因为 为等边三角形，所以 ，OPA POABx

14、yzO9由平面 平面 ，所以 平面 ， 5 分PABCDPOABCD所以 ，由 ， ，O24B90可知 ，所以 以 中点 O 为坐标原点，分别以 所在直/,OADP线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 6 分,xyz xyz所以 20,2,0ADC，所以,3PB,3,，由(1)知，可以 为平面 PBC 的法向量，2,0CDAQur因为 为 的中点，所以 ，QPB1,03由(1)知，平面 PBC 的一个法向量为 ， 7 分,Aur设平面 PCD 的法向量为 ，,nxyz由 得 ，取 ，则 ， 9 分0,nCDP23010,31n所以 11 分2cos, 4AQnurr因为二面角 为钝角，所

15、以，二面角 余弦值为 12 分BCDBPCD14解法三：过点 作 的垂线 ，交 于点 ，连结 .由解法一PBHH或二知 平面 ， 平面 ，所以 .由条件OAAO知 ，又 ，所以 平面 ，DCD又 平面 ，所以 ，PP又 ，所以 ，CBRttB 所以 ，H由二面角的定义知，二面角 的平面角为 7 分CDH在 中， ， ，RtPD 4,25PxyzO第 18题图HO10由 ，所以 .同理可得 ， 9 分PBCH 425PBC45DH又 .在 中， = 10 分2D 22cosHBDA 14所以，二面角 的余弦值为. 12 分BP21.【答案】(1) (2) 第一种抽奖方案.【详解】（1）选择方案一

16、，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得 180 元返金劵”为事件 A，则所以两位顾客均获得 180 元返金劵的概率（2）若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为 ，每一次摸到白球的概率为 .设获得返金劵金额为 元，则 可能的取值为 60，100，140，180.则 ； ； ；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为 ，最终获得返金劵的金额为 元，则 ，故所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为 （元）.即 ，所以该超市应选择第一种抽奖方案22【答案】 （1）当 时， 在 上单调递减；当 时， 在上单调递

17、减，在 上单调递增； （2）见解析.11【解析】（1） ， 设 ，当 时， ， ；当 时，由 得 或 ，记 则 ，当 时， ， ，当 时， ， ， 当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 （2）不妨设 ，由已知得 ， ，即 ， ，两式相减得 ， ， 要证 ，即要证 ，只需证 ，只需证 ，即要证 ，设 ，则 ，只需证 ， 设 ，只需证 ，在 上单调递增，12，得证【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.