湖南省株洲市2019届高三数学上学期教学质量统一检测试题（一）理（含解析）.doc

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1、- 1 -湖南省株洲市 2019 届高三教学质量统一检测（一）理科数学试题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求 ，再根据并集定义求结果.【详解】因为 ，所以 ，选 C.【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题.2.在区间 上任意取一个数 ，使不等式 成立的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.【详解】由 得 ，所以所求概率为 ，选

2、 D.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率3.已知各项为正数的等比数列 满足 ， ，则 （ ）A. 64 B. 32 C. 16 D. 4- 2 -【答案】B【解析】【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求【详解】由 得 选 B.【点睛】本题考查等比数列通项

3、公式，考查基本分析求解能力，属基本题.4.欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据欧拉公式计算 ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为 ，所以对应点 ，在第二象限，选B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.5.已知 、 是不等式组 所表示的平面区域内的两个不同的点，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】- 3

4、-【分析】先作可行域，再根据图象确定 的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形 ABCD 及其内部，由图象得 A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以 的最大值为 BD= ,选 A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.若均不为 1 的实数 、 满足 ，且 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】举反

5、例说明 A,C,D 不成立，根据基本不等式证明 B 成立.【详解】当 时 ; 当 时 ; 当 时 ;因为 ， ，所以 ，综上选 B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为- 4 -A. B. C. D. 10【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为 2 的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为,故选 A.【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.8.如图，边长为 1 正方形 ，射线

6、 从 出发，绕着点 顺时针方向旋转至 ，在旋转的过程中，记 ， 所经过的在正方形 内的区域（阴影部分）的面积为 ，则函数 的图像是（ ）A. B. - 5 -C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件列 ，再根据函数图象作判断 .【详解】当 时， ;当 时， ;根据正切函数图象可知选 D.【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.9.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入 、 、 的值分别为 6、8、0，则输出 和 的值分别为（ ）A. 0，3 B. 0，4 C. 2，3 D. 2，4【答案】C【解析】【

7、分析】执行循环，直至 终止循环输出结果.【详解】执行循环，得 ，结束循环，输出 ，此时 ,选 C.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相- 6 -关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.已知函数 的图像关于 轴对称，则 的图像向左平移（ ）个单位，可以得到 的图像（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件确定 关系，再化简 ，最后根据诱导公式确定选项.【详解】因为函数 的图像关于 轴对称，所以 ，即 ，因此 ，从而

8、,选 D.【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.11.已知一条抛物线恰好经过等腰梯形 的四个顶点，其中 ， ，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】不妨设抛物线标准方程 ，将条件转化为坐标，代入解出 ，即得结果.【详解】不妨设抛物线标准方程 ，可设 ，则 ，即抛物线的焦点到其准线的距离是 ，选 B.【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.12.已知正方体 的棱长为 2， 为 的中点.若 平面 ，且 平面 ，则平面 截正方体所得截面的周长为（ ）A. B. C. D.

9、- 7 -【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直确定平面 ，再根据截面形状求周长.【详解】显然在正方体中 平面 ,所以 ,取 AC 中点 E, 取 AE 中点 O,则 ,取 A1C1中点 E1, 取 A1E1中点 O1,过 O1作 PQ/B1D1,分别交 A1B1,A1D1于 P,Q从而 平面 ,四边形 为等腰梯形，周长为 ，选 A.【点睛】本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知双曲线 C： ，点 P (2，1) 在 C 的渐近线上，则 C 的率心率为 【答案】【解析】试题分析：根据双曲线的方程

10、，可知焦点在 x 轴上，结合 P (2，1)在渐近线上，所以 即所以 ，从而有其离心率 考点：双曲线的离心率14. 的展开式中的常数项的值是_ （用数学作答）【答案】60【解析】【分析】根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果.【详解】因为 ，所以令 得 ，即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略- 8 -(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.15.设 的外心 满足 ，则 _【答案】 【解析】【分析】根据向量表示确定外心为

11、重心，即得三角形为正三角形，即得结果.【详解】设 BC 中点为 M,所以 ,因此 P 为重心，而 为 的外心，所以 为正三角形， .【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.16.数列 的首项为 1，其余各项为 1 或 2，且在第 个 1 和第 个 1 之间有 个 2，即数列 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列 的前 项和为 ，则_ （用数字作答）【答案】3993【解析】【分析】先根据条件确定前 2019 项有多少个 1 和 2，再求和得结果.【详解】第 个 1 为数列 第 项，当 时 ；当 时 ；所以前 2019 项有 45 个 1

12、和 个 2，因此【点睛】本题考查数列通项与求和，考查综合分析与求解能力，属难题.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，已知 ， ， .（）求 的值；- 9 -（） 若角 为锐角，求 的值及 的面积.【答案】 （） ； （）b=5, .【解析】【分析】（）先根据二倍角余弦公式求 ，再根据正弦定理求 的值；（）根据余弦定理求 的值，再根据三角形面积公式求面积.【详解】 （）由 得因为 ，由 ， ，由正弦定理 得（）角 为锐角，则由余弦定理得 即 ，或 （舍去）所以 的面积【点睛】解三角形问题，多

13、为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.如图（1） ，等腰梯形 ， ， ， ， 、 分别是 的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线 、 折起，使得点 和点 重合，记为点 ，如图（2）.（）求证：平面 平面 ；（）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.【答案】 （）见解析；（） .【解析】【分析】（）根据平几知识得 ， ，再根据线面垂直判定定理得 面 ，最后根- 10 -据面面垂直判定定理得结论;（）根据条件建立空间直角坐标系，设点坐标，利用方程组以及向量数量积求各平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角

14、关系得结果.【详解】 （） ， 是 的两个三等分点，易知， 是正方形，故又 ，且所以 面又 面所以面 （）过 作 于 ，过 作 的平行线交 于 ，则 面又 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系则 ， ， ，所以 ， ， ，设平面 的法向量为则 设平面 的法向量为则 所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值【点睛】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在- 11 -平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两

15、个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小19.已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且轴， 的周长为 6.（）求椭圆的标准方程；（）过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，设 为坐标原点，是否存在常数 ，使得恒成立？请说明理由.【答案】 （） （）当 时，【解析】【分析】（）由三角形周长可得 ，求出 ，再根据 即可写出椭圆标准方程（）假设存在常数 满足条件，分两类讨论（1）当过点 的直线 的斜率不存在时，写出A,B 坐标，代入 可得 （2）当过点 的直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ， ，联立方程组，利用根与系数的关系代入中化简即可求出 .【详解】 （）由题意， ，

16、， 的周长为 6， ， 椭圆的标准方程为 .（）假设存在常数 满足条件.（1）当过点 的直线 的斜率不存在时， ， ， ，当 时， ；（2）当过点 的直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ， ，- 12 -联立 ，化简得 ， ， . ，解得： 即 时， ；综上所述，当 时， .【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类讨论的思想，属于难题.20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有 人，若逐个检验就需要检验 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有 个人，把这个 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这 个人的

17、血液全为阴性，因而这 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这 个人再逐个进行检验，这时 个人的检验次数为 次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为 .（）为熟悉检验流程，先对 3 个人进行逐个检验，若 ，求 3 人中恰好有 1 人检测结果为阳性的概率；（）设 为 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.当 ， 时，求 的分布列；是运用统计概率的相关知识，求当 和 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.【答案】 （） ； （）见解析，当 时，用分组的办法能减少检验次数.【解析】【分析】

18、（）根据独立重复试验概率公式得结果;（）先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.- 13 -【详解】 （）对 3 人进行检验，且检验结果是独立的，设事件 ：3 人中恰有 1 人检测结果为阳性，则其概率 （）当 ， 时，则 5 人一组混合检验结果为阴性的概率为 ，每人所检验的次数为 次，若混合检验结果为阳性，则其概率为 ，则每人所检验的次数为 次，故 的分布列为分组时，每人检验次数的期望如下不分组时，每人检验次数为 1 次，要使分组办法能减少检验次数，需 即 所以当 时，用分组的办法能减少检验次数.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般

19、步骤为：第一步是“判断取值” ，第二步是“探求概率” ，第三步是“写分布列” ，第四步是“求期望值”.21.已知函数 ，其中 为大于零的常数（）讨论 的单调区间；（）若 存在两个极值点 ， ，且不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （）见解析; （） .【解析】【分析】（）先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论导函数符号，最后根据导函数符号确定函- 14 -数单调区间; （）先根据参变分离法转化为求对应函数最值问题，再根据极值点条件化函数为一元函数，最后利用导数求对应函数单调性以及最值，即得结果.【详解】 （） ，（1）当 时， ， 在 在上单调递增 （2）当 时，设方程 的两根为 ，

20、则 ， ， ， 在 ， 上单调递增， 上单调递减 （）由（）可知， 且 ，由 因为所以 设 ，令当 时，故 在 上单调递减，所以综上所述， 时， 恒成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，- 15 -构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建

21、立的极坐标系中，曲线 与曲线 的极坐标方程分别为 ，.（）求直线 的极坐标方程；（）设曲线 与曲线 的一个交点为点 （ 不为极点） ，直线 与 的交点为 ，求 .【答案】 （） 【解析】【分析】（）消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可（）利用极坐标的极径的几何意义分别求 ，根据 求解.【详解】 （）直线 的参数方程为 （ 为参数）消参得： ，由 代入直角坐标方程可得 （）法 1：由 得 ，所以 点 的极坐标 ，又点 在直线 上，所以设 的极坐标为 由 得 ，所以 ，所以 . 法 2：曲线 与曲线 的直角坐标为 ，由 得点 的坐标 所以直线 的方程为由 得点 的坐标为 - 16 -所以 ，或者： 【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题.23.已知函数 （ 为实数）（）当 时，求函数 的最小值；（）若 ，解不等式 .【答案】 （1）1（2）【解析】【分析】（）根据绝对值不等式的性质即可求出 的最小值（）分区间讨论去掉绝对值号，解含参不等式即可.【详解】 （） 时，所以 的最小值为 1（） 时， ， ，因为所以此时解得： 时， ， ，此时： 时， ， ，此时无解； 综上：不等式的解集为【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想方法，属于中档题.- 17 - 18 -