江苏省常州市武进区九年级数学上册1.4用一元二次方程解决问题专项练习三（等积变形、面积问题）（新版）苏科版.doc

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1、1第一章 第 4 节 用一元二次方程解决问题专项练习三三、 等积变形、面积问题 3：1如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？2如图 1，为美化校园环境，某校计划在一块长为 100 米，宽为 60 米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 a 米 （1）用含 a 的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道的单价是 50 元/米 2，修建花圃的造价 y（元）与

2、花圃的修建面积S（ m2）之间的函数关系如图 2 所示，并且通道宽 a（米）的值能使关于 x 的方程 x2-ax+25a-150 有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于 5 米且不超过 12 米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？23学校课外生物小组的试验园地是长 32m、宽 20m 的矩形，为便于管理，现要在试验园地开辟水平宽度均为 xm 的小道（图中阴影部分）.（1）如图 1，在试验园地开辟一条水平宽度相等的小道，则剩余部分面积为 m2（用含 x 的代数式表示） ；（2）如图 2，在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道，其中有两条道路相互平行.

3、若使剩余部分面积为 570m2，试求小道的水平宽度 x.4如图，要设计一副宽 20cm，长 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度都相同，如果使剩余面积为原矩形图案面积的 31，应如何设计每个彩条的宽度？5如图，某课外活动小组借助直角墙角（两边足够长）用篱笆围成矩形花园 ABCD，篱笆只围AB、 BC 两边已知篱笆长为 40m，篱笆围成的矩形 ABCD 的面积为 300m2求边 AB 的长36某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围成 如图所示 设 BC 为 用含 x 的代数式表示 AB 的长；如果墙长

4、15m，满足条件的花园面积能达到 吗？若能，求出此时 x 的值；若不能，说明理由7如图 1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成.（1）要使所围矩形猪舍的面积达到 50m2，求猪舍的长和宽.（2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到 60m2，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门就行” ，如图 2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？8如图，某校要在长为 32m，宽为 0的长方形操场上修筑宽度相同的道路（图中阴影部分） ，在余下的空白部分种上草坪，要使草坪的面积为 254m，求道

5、路的宽.49如图所示，在宽为 20 米，长为 32 米的矩形空地上修的两条互相垂直的水泥路，余下部分作为草地现要使草地的面积为 540 平方米，求水泥路的宽应为多少米？10如图，ABC 中，C=90，BC=6cm，AC=8cm，点 P 从点 A 开始沿 AC 向点 C 以 2 厘米/秒的速度运动；与此同时，点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度运动；如果 P、Q 分别从A、C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动（1）经过几秒，CPQ 的面积等于 3cm2？（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 PQ 恰好平分ABC 的面积？若存在，求出运

6、动时间 t；若不存在，请说明理由11如图，在矩形 ABCD 中，AB6 cm，AD2 cm，点 P 以 2 cm/s 的速度从顶点 A 出发沿折线ABC 向点 C 运动，同时 点 Q 以 1 cm/s 的速度从顶点 C 出发向点 D 运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动(1)问两动点运动几秒后，四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 ；(2)问是否存在某一时刻使得点 P 与点 Q 之间的距离为 cm.若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由512如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：（1）在第 n 个图中，第

7、一横行共 块瓷砖，第一竖列共有 块瓷砖；（均用含 n 的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为 （用含 n 的代数式表示，n 表示第 n 个图形）（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了 506 块瓷砖，求此时 n 的值；（3）黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块 3 元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明6答案详解：1羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米.试题分析：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（1004x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程试题解析：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长

8、度为（1004x）米 根据题意得 （1004x）x=400，解得 x 1=20，x 2=5 则 1004x=20 或 1004x=80 8025， x 2=5 舍去 即 AB=20，BC=202(1)4 a2-320a+6000；(2) 通道的宽为 5 米；(3) 318000 元 分析：(1)、用含 a 的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；(2)、根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，列出方程进行计算即可；(3)、根据方程有两个相等的实数根求得 a 的值，然后分别求得花圃和甬道的面积及造价即可详解：(1)、由图可知，花圃的面积为（100-2 a） （60-2 a）=

9、4 a2-320a+6000；(2)、由已知可列式：10060-（100-2 a） （60-2 a）= 10060，解得： a1=5， a2=75（舍去） ，所以通道的宽为 5 米；(3)、方程 x2-ax+25 a-150=0 有两个相等的实根， = a2-25a+150=0，解得： a1=10， a2=15，5 a12， a=10 设修建的花圃的造价为 y 元， y=55.625S；当 a=10 时， S 花圃=8040=3200（ m2） ； y 花圃=320055.625=178000（元） ，S 通道=10060-8040=2800（ m2） ； y 通道=280050=140000

10、（元） ，造价和：178000+140000=318000（元） 点拨：本题考查了一次函数的应用以及 一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽，属于中档题，难度不算大73 （1）20（32- x） ；（2）小道宽为 1 米.试题分析：（1）利用平行四边形面积求法直接平移阴影部分得出剩余面积即可；（2）利用平行四边形的面积求法，平移道路进而得出方程求出即可试题解析：（1）由题意可得，剩余部分面积为：20（32- x）m 2；（2）依题意，得 640-40x-32x+2x2=570 解得 x1=1， x2=35（不合舍去） 答：小道宽为 1 米点拨：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用

11、平行四边形面积公式得出等式方程是解题关键4应设计彩条宽为 5cm试题分析：设每个彩条的宽度为 xcm，根据题意，得3021203x解得：x 1=5，x 2=30（二倍大于 30，舍去） ，应设计彩条宽为 5cm，510m 或 30m试题分析：根据矩形的面积列出方程，求解.试题解析：设边 AB 的长为 xm根据题意，得 x（40 x）=300，解得 x1=10， x2=30答：边 AB 的长为 10m或者 30m6 （1） ；（2）不能，理由见解析试题分析：（1）利用长方形的周长即可解答；（2）利用长方形的面积列方程解答即可.试题解析：（1） ； （2）不能，理由是：根据题意列方程的，8x（40

12、-2x）=200，解得 x1=x2=10；40-2x=20（米） ，而墙长 15m，不合实际，因此如果墙长 15m，满足条件的花园面积不能达到 200m2.点拨：此题考查一元二次方程及二次函数求最大值问题，属于综合类题目，灵活利用长方形的周长和面积公式是关键7 （1）所围猪舍的长是 10m，宽是 5m；（2）所围猪舍的长是 10m，宽是 6m.试题分析：（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x）m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；（2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25+1-2x）m，根据矩形的面积公式建

13、立方程求出其解即可.试题解析：（1）设与住房墙垂直的一边长为 xm，则与住房墙平行的一边长为( 25x)m根据题意，列方程得： x(25)=50，解得： 1.， 210x，当 =2.5 时，与住房墙平行的一边长 25x=2012，不符合题意， 1.5舍掉，当 x=10 时，与住房墙平行的一边长 =512.5 分，答：所围猪舍的长是 10m，宽是 5m；(2) 设与住房墙垂直的一边长为 xm，则与住房墙平行的一边长为( 251x)m根据题意，列方程得： x(251x)=60，解得： 3， 20，当 =3 时，与住房墙平行的一边长 251x=2012，不符合题意， 1x舍掉，当 x=10 时，与住

14、房墙平行的一边长 =612，答：所围猪舍的长是 10m，宽是 6m.点拨：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解9法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键82 米试题分析：可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解试题解析：解法一：原图经过平移转化为图 1.设道路宽为 x米.根据题意，得 203540x. 整理得 2510x.解得 1（不合题意，舍去） ， 2x.答：道路宽为 2 米. 解法二：原图经过平移转化为图 2.设道路宽为 x米.根据题意， 2203540x，整理得 51x.解得 1（不合题意，舍去） ， 2x. 答

15、：道路宽为 2 米.92m试题分析：把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32x）和（20x） ，10根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解解：设水泥路的宽为 x m，则可列方程为：（32x） （20x）=540 解得：x=2 或 x=50（不合题意，舍去） ，答：水泥路的宽为 2m10 （1）x 1=1，x 2=3；（2）方程无实数根，即不存在满足条件的 t试题分析：（1）设出运动所求的时间，可将 BP 和 BQ 的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；（2）将PBQ 的面积表示出来，根据=b 24ac 来判断（1）解：设经过 x 秒，CPQ 的面积

16、等于 3cm2则x（82x）=3，化简得 x24x+3=0，解得 x1=1，x 2=3；（2）解：设存在某一时刻 t，使 PQ 恰好平分ABC 的面积则t（82t）= 68，化简得 t24t+12=0，b24ac=1648=320，故方程无实数根，即不存在满足条件的 t11(1)两动点运动 s 后，四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的；( 2)存在当运动 s 或 s 时，点 P 与点 Q 之间的距离为 cm.分析：（1）要使四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 49，此时点 P 应在 AB 上，才是四边形；根据路程=速度时间，分别用 t 表示 BP、 CQ 的长，再根据

17、梯形的面积公式列方程；（2）根据勾股定理列方程即可，注意分：0 t3、3 t4，两种情况讨论.详解：(1)设两动点运动 x s 后，四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 .根据题意，得 BP(62x) cm，CQx cm，矩形 ABCD 的面积是 12 cm2，则有 (x62x)2 12 ，解得 x .11即两动点运动 s 后，四边形 PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 .(2)存在设两动点经过 t s 使得点 P 与点 Q 之间的距离为 cm.当 0t3 时，则有(62tt) 245，整理，得 9t236t350，解得 t 或 ；当 3t4 时，则有(82t) 2t 25，

18、整理，得 5t232t590，此时 32 245591560，此方程无解综 上所述，当运动 s 或 s 时，点 P 与点 Q 之间的距离为 cm.点拨：本题考查了一元二次方程的应用-几何问题仔细审题，找出题目中的等量关系列出方程是解答本题的关键. 在直角三角形中，如果两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平 方.12 （1） （n+3） ， （n+2） ， （n+2） （n+3） ；（2）n=20；（3）共花 1604 元钱购买瓷砖； （4）不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形试题分析：（1）第一个图形用的正方形的个数=

19、34=12，第二个图形用的正方形的个数=45=20，第三个图形用的正方形的个数=56=30以此类推，根据发现的规律可得在第 n 个图中，第一横行共（n+3） 块瓷砖，第一竖列共有(n+2) 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2）（n+3）个；（2）根据（1）中的结果可得（n+2）(n+3)=506，解方程即可得；（3）根据（2）得出的结果，求出白瓷砖和黑瓷砖各有多少块，分别乘上它们的单价再相加即可；（4）先假设黑瓷砖与白瓷 砖块数相等的情形，根据黑、白瓷砖数量相等，看是否得到 n 的整数解即可试题解析：（1）第一个图形用的正方形的个数=34=12，第二个图形用的正方形的个数=45=20，

20、第三个图形用的正方形的个数=56=30以此类推，在第 n 个图中，第一横行共（n+3） 块 瓷砖，第一竖列共有(n+2) 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2） （n+3）个，故答案为：（n+3） ， （n+2） ， （n+2） （n+3） ；（2）根据题意得：（n+2） （n+3）=506，解得 n1=20，n 2=25（不符合题意，舍去） ；（3）观察图形可知，每横行有白砖（n+1）块，每竖列有白砖 n 块，因而白砖总数是n（n+1）块，n=20 时，白砖为 2021=420（块） ，黑砖数为 506420=86（块） ，故总钱数为 4203+864=1260+344=1604（元） ，12答：共花 1604 元钱购买瓷砖；（4）根据题意得：n（n+1）=2（2n+3） ，解得 n=32（不符合题意，舍去） ，不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形