2019版九年级数学下册第三章圆试题（新版）北师大版.doc

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1、1第三章 圆1.解决与弦有关的问题垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题的方法构造直角三角形;在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线圆心到弦的距离.【例】如图,平面直角坐标系中,P 与 x 轴分别交于 A,B 两点,点 P 的坐标为(3,-1),AB=2 .3(1)求P 的半径.(2)将P 向下平移,求P 与 x 轴相切时平移的距离.【标准解答】(1)作 PCAB 于 C,连接 PA.AC=CB= AB.12AB=2 ,AC= .3 3点 P 的坐标为(3,-1),PC=1.在 RtPAC 中,PCA=90,PA= = =2.P2+2 12+( 3)2P 的半径为 2.(

2、2)将P 向下平移,P 与 x 轴相切时平移的距离为 2-1=1.1.如图,O 的直径 CD=5cm,AB 是O 的弦,ABCD,垂足为 M,OMOD=35.则 AB 的长是 ( )A.2 cm B.3 cmC.4 cm D.2cm1 题图22 题图2.如图O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足是 E,A=22.5,OC=4,则 CD 的长为( )A.2 B.4 C.4 D.82 23.O 过点 B,C,圆心 O 在等腰直角ABC 内部,BAC=90,OA=1,BC=6,则O 的半径为 ( )A. B.210 3C. D.313 22.与圆心角、圆周角有关的问题(1)利用圆周角定理将圆心角与圆

3、周角进行转化.(2)利用同弧所对的圆周角相等进行角与角的转化.(3)利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形,为勾股定理、解直角三角形等知识的应用创造条件.(4)利用圆内接四边形的性质求圆心角或圆周角.【例 1】如图,O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,若A=30,APD=70,则B 等于 ( )A.30 B.35 C.40 D.50【标准解答】选 C.APD 是APC 的外角,APD=C+A;A=30,APD=70,3C=APD-A=40.B=C=40.【例 2】如图,将三角板的直角顶点放在O 的圆心上,两条直角边分别交O 于 A,B 两点,点 P 在优弧 AB上,且与点 A,B 不重合,

4、连接 PA,PB,则APB 的大小为 度.【标准解答】AOB 与APB 为 所对的圆心角和圆周角,AAPB= AOB= 90=45.12 12答案:45【例 3】如图,O 是ABC 的外接圆,CD 是直径,B=40,则ACD 的度数是 .【标准解答】连接 AD,CD 是直径,CAD=90,B=40,D=40,ACD=50.答案:50【例 4】如图,四边形 ABCD 内接于O,ADBC,DAB=49,则AOC 的度数为 .4【标准解答】如图,在 上取点 M,连接 AM,CM,AADBC,DAB=49,ABC=131,M=49,AOC=98.答案:981.如图,O 的直径 CDAB,AOC=50,

5、则CDB 的大小为 ( )A.25 B.30 C.40 D.501 题图52 题图3 题图2.如图,AB 是O 的直径,C,D,E 都是O 上的点,则ACE+BDE= ( )A.60 B.75 C.90 D.1203.如图,在O 的内接五边形 ABCDE 中,CAD=35,则B+E= .4.如图,AB 是O 的直径,C 是弧 AE 的中点,CDAB 于 D,交 AE 于 F,连接 AC,试证明 AF=CF.3.切线的判定与性质(1)切线的三种判定方法6从公共点的个数来判断:直线与圆有且只有一个公共点;从圆心到直线的距离来判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;应用判定定理:经过半径外端且与半径垂直

6、.(2)利用切线的判定定理的两个思路连半径,证垂直:若已知直线与圆有公共点,则连接圆心和公共点,证明垂直.作垂线,证等径:若直线与圆的公共点没有确定,则过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径.(3)切线性质应用的两个思路有切点:连接切点和半径,必垂直,建直角三角形;无切点:过圆心作半径,必垂直,得切点,建直角三角形.【例 1】如图,在ABC 中,C=90 ,ABC 的平分线交 AC 于点 E ,过点 E 作 BE 的垂线于点 F ,O 是BEF 的外接圆.(1)求证:AC 是O 的切线 .(2)过点 E 作 EHAB 于点 H ,求证:CD=HF.【信息解读破译解题秘钥】条件直译为:

7、CBE=FBE .条件翻译为:BF 为圆 O 的直径.破译:连接 OE,则可得OBE=OEB,整合条件,可得 OEBC .破译:整合条件得到 OEAC,进而得到 AC 是O 的切线.条件翻译为: = ,进而得到 DE=EF .DE破译:整合条件,得到 CE=EH .破译:整合条件,得到ECDEHF,进而得到 CD=HF.【标准解答】(1)连接 OE.BEEF,BEF=90,BF 为O 的直径.BE 平分ABC,7OBE=CBE.OB=OE,OBE=OEB.CBE=OEB.OEBC.OEA=C=90.OEAC. AC 是O 的切线.(2)连接 DE.OBE=CBE, = .DEDE=EF.BE

8、平分ABC,ECBC,EHAB,EC=EH.又C=EHF=90,DE=EF,RtDCERtFHE.CD=HF.【例 2】如图,在O 中,AB,CD 是直径,BE 是切线,B 为切点,连接 AD,BC,BD.(1)求证:ABDCDB.(2)若DBE=37,求ADC 的度数.【标准解答】(1)AB,CD 是直径,ADB=CBD=90,在ABD 和CDB 中, A=,=.RtABDRtCDB(HL).(2)BE 是切线,ABBE,ABE=90,DBE=37,ABD=53,OA=OD,BAD=ODA=90-53=37,8ADC 的度数为 37.1.如图,以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆,经

9、过 A,B 两点,且与 BC 边交于点 E,D 为 BE 的下半圆弧的中点,连接 AD 交 BC 于 F,若 AC=FC.(1)求证:AC 是O 的切线.(2)若 BF=8,DF= ,求O 的半径 r.402.如图,AB 为O 的直径,PD 切O 于点 C,交 AB 的延长线于点 D,且D=2CAD.(1)求D 的度数.(2)若 CD=2,求 BD 的长.3.如图,在ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D,与 CA 的延长线相交于点 E,过点 D 作DFAC 于点 F.(1)试说明 DF 是O 的切线.(2)若 AC=3AE,求 tanC.94.三角形的外接圆与内

10、切圆(1)三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离都相等.直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半.(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三条边的距离相等.直角三角形内切圆的半径 r= (其中 a,b 为直角边,c 为斜边).a+2【例 1】如图,ABC 的外心坐标是 .【标准解答】ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,作图如图,EF 与 MN 的交点 O即为所求的ABC 的外心,ABC 的外心坐标是(-2,-1).答案:(-2,-1)【例 2】ABC 的内切圆O 与 BC,CA,AB 分别相切于点 D,E,F,且AB=9cm,BC=14cm,C

11、A=13cm,求 AF,BD,CE 的长.【标准解答】根据切线长定理,设 AE=AF=xcm,BF=BD=ycm,CE=CD=zcm.根据题意,得解得x+=9,+=14,+=13. x=4,=5,=9.即 AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.1.如图所示,ABC 内接于O,若OAB=28,则C 的大小是 ( )A.56 B.62 C.28 D.32101 题图2 题图2.如图,已知O 是边长为 2 的等边ABC 的内切圆,则O 的面积为 .5.正多边形的有关计算正多边形的半径、边心距、边长的一半构成一个直角三角形.正多边形的有关计算问题都可归结到这个直角三角形中.【例】一个正三角形和一个

12、正六边形的面积相等,求它们边长的比.【标准解答】如图,设 O,O分别是正三角形 ABC、正六边形 EFGHIJ 的中心,分别作 ODBC 于 D,作OKGH 于 K,连接 OB,OG,则在 RtODB 中,BOD= =360660,BD= a3,12OBD=30.OB=2OD=2r 3,由勾股定理得11OB2=OD2+BD2,即(2r 3)2= +( a3)2r2312解得 r3= a3,36S 3=6SBOD =6 BDOD=6 a3 a3= .12 1212 36 3423同理可得 S6=12SOGK =12 GKOK=12 a6 a6= ,12 1212 32 33226S 3=S6,

13、= ,342333226 = . = ,即 a3a 6= 1.a232661 a36 61 61.如图,正六边形 ABCDEF 内接于O,若直线 PA 与O 相切于点 A,则PAB=( )A.30 B.35 C.45 D.601 题图2 题图122.如图,O 是正五边形 ABCDE 的外接圆,这个正五边形的边长为 a,半径为 R,边心距为 r,则下列关系式错误的是 ( )A.R2-r2=a2 B.a=2Rsin 36C.a=2rtan 36 D.r=Rcos 363.图是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形正八边形.(1)如图,AE 是O 的直径,用直尺和圆规作O 的内接正八边

14、形 ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹).(2)在(1)的前提下,连接 OD,已知 OA=5,若扇形 OAD(AOD180)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于 .6.求阴影部分面积的方法(1)割补法将不规则图形进行割补转化为规则图形来计算.【例 1】如图,阴影部分的面积为 .【标准解答】如图,四边形 ABEF 和四边形 ECDF 为正方形,且边长为 a,那么扇形 BEF 的面积等于扇形 CED的面积,所以图形 1 的面积等于图形 3 的面积,则阴影部分的面积=图形 1 的面积+图形 2 的面积=正方形ABEF 的面积=a 2.13答案:a 2(2)和差法将阴影部分的面积看成几个

15、规则图形面积的和或差来进行计算.【例 2】如图,在ABC 中,AB=AC=10,CB=16,分别以 AB,AC 为直径作半圆,则图中阴影部分面积是 ( )A.50-48 B.25-48C.50-24 D. -24252【标准解答】选 B.设以 AB,AC 为直径作半圆交 BC 于 D 点,连 AD,如图,ADBC,BD=DC= BC=8,AB=AC=10,12AD= = =6,A22 10282阴影部分面积=半圆 AC 的面积+半圆 AB 的面积-ABC 的面积=5 2- 166=25-48.12(3)平移法通过图形的平移,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算.【例 3】如图,两个半圆

16、中,小圆的圆心 O在大O 的直径 CD 上,长为 4 的弦 AB 与直径 CD 平行且与小半圆相切,那么图中阴影部分的面积等于 .14【标准解答】把小半圆向右平移,使两个圆心重合时,小半圆的面积不变,因而阴影部分的面积未变;连接OB,作 OPAB 于 P,因而阴影部分的面积是大半圆的面积减去小半圆的面积,阴影部分的面积= OB 2- OP 2= (OB 2-OP2)= BP 2=12 12 12 122.答案:2(4)等积法将不规则的阴影部分的面积用和它面积相等的规则图形替代,然后计算规则的图形的面积.【例 4】如图所示,正方形 ABCD 内接于O,直径 MNAD,则阴影部分面积占圆面积的 (

17、 )A. B. C. D.12 14 16 18【标准解答】选 B.连接 OD,OC.MNADBC,ON=ON,四边形 BOAN 的面积=四边形 CODN 的面积.再根据图形的轴对称性,得阴影部分的面积=扇形 DOC 的面积= 圆面积.14(5)方程(组)法当阴影部分面积不好直接求解时可用列方程(组)的方法求解.【例 5】如图所示,正方形 ABCD 的边长为 a,以 A 为圆心作 ,以 AB 为直径作 ,B AM 是 AD 上一点,以 DM 为直径,作 与 相外切,则图中阴影部分面积为 .DA15【标准解答】设以 DM 为直径的半圆的圆心为 O1,半径为 r,以 AB 为直径的半圆的圆心为 O

18、2,连接 O1O2,则有(a-r)2+ = ,解得:r= a,所以 S 阴影 =(a2)2(r+2)2 13S 扇形 DAB- - = a 2- - = a 2.12圆 112圆 214 12(13)212(12)2572答案: a 25721.如图,扇形 AOB 中,半径 OA=2,AOB=120,C 是弧 AB 的中点,连接 AC,BC,则图中阴影部分的面积是 ( )A. -2 B. -243 3 23 3C. - D. -43 3 23 31 题图2 题图163 题图2.如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB,CDB=30,CD=2 ,则 S 阴影 = ( )3A. B. 2 C. D.

19、 233 233.如图所示,AB 为半圆 O 的直径,C,D,E,F 是 上的五等分点,P 为直径 AB 上的任意一点,若 AB=4,则图中A阴影部分的面积为 .4.如图,ABC 是等腰直角三角形,ACB=90,AC=BC.把ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 45后得到ABC,若 AB=2,则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是 .(结果保留 )5.如图,已知在 RtABC 中,B=30,ACB=90,延长 CA 到 O,使 AO=AC,以 O 为圆心,OA 长为半径作O交 BA 延长线于点 D,连接 CD.(1)求证:CD 是O 的切线.(2)若 AB=4,求图中阴影

20、部分的面积.6.如图,PA,PB 分别与O 相切于 A,B 两点,ACB=60.(1)求P 的度数.17(2)若O 的半径长为 4cm,求图中阴影部分的面积.7.如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,ABC=2D,连接 OA,OB,OC,AC,OB 与 AC 相交于点 E.(1)求OCA 的度数.(2)若COB=3AOB,OC=2 ,求图中阴影部分面积.(结果保留 和根号)38.如图,AB 是O 的直径, = ,连接 ED,BD,延长 AE 交 BD 的延长线于点 M,过点 D 作O 的切线交 AB 的EB延长线于点 C.(1)若 OA=CD=2 ,求阴影部分的面积.2(2)求证:DE=

21、DM.跟踪训练答案解析第三章 圆1.解决与弦有关的问题18【跟踪训练】1.【解析】选 C.连接 OA,CD 是O 的直径,AB 是O 的弦,ABCD,AB=2AM,CD=5cm,OD=OA= CD= 5= (cm),12 12 52OMOD=35,OM= OD= = (cm),35 355232在 RtAOM 中,AM= =2,AB=2AM=22=4(cm).O222.【解析】选 C.A=22.5,COB=45,在 RtCOE 中,OC=4,CE=2 ,CD=2CE=4 .2 23.【解析】选 C.过 A 作 ADBC,由题意可知 AD 必过点 O,连接 OB;BAC 是等腰直角三角形,ADB

22、C,BD=CD=AD=3;OD=AD-OA=2;在 RtOBD 中,根据勾股定理,得:OB= = .B2+2 132.与圆心角、圆周角有关的问题【跟踪训练】1.【解析】选 A.由垂径定理,得 = ,ABCDB= AOC=25.122.【解析】选 C.连接 AD,AB 是O 的直径,19ADB=90,由圆周角定理可知ADE=ACE,ACE+BDE=ADB=90.3.【解析】连接 BD,则CBD=CAD=35,因四边形 ABDE 是圆内接四边形,ABD+E=180,ABC+E=215.答案:2154.【证明】方法一:连接 BC,AB 是直径,ACB=90,即ACF+BCD=90,CDAB,B+BC

23、D=90,B=ACF,C 是 的中点, = ,A ACB=CAF,ACF=CAF,AF=CF.方法二:延长 CD 交圆于点 H,AB 是直径,CDAB, = ,AAC 是 的中点, = ,A AC = ,ACF=CAE,ACAF=CF.3.切线的判定与性质【跟踪训练】1.【解析】(1)连接 OA,OD,则 OA=OD,OAD=ODA,D 为 BE 的下半圆弧的中点,ODBE,ODA+OFD=90,OAD+OFD=90,OFD=AFC,20OAD+AFC=90,AC=FC,FAC=AFC,OAD+FAC=90,AC 是O 的切线.(2)BF=8,DF= ,OF=8-r,40在直角三角形 OFD

24、中,r2+(8-r)2=( )2,解得,r=2.402.【解析】(1)OA=OC,A=ACO,COD=A+ACO=2A,D=2CAD,D=COD,PD 切O 于 C,OCD=90,D=COD=45.(2)D=COD,CD=2,OC=OB=CD=2,在 RtOCD 中,由勾股定理得:2 2+22=(2+BD)2,解得:BD=2 -2.23.【解析】(1)连接 OD,则 OB=OD,ABC=ODB,AB=AC,ABC=C,ODB=C,ODAC,DFAC,DFOD,DF 经过半径 OD 的外端,DF 是O 的切线.(2)连接 BE,AB 为O 的直径,E=90,设 AE=k,则 AB=AC=3k,B

25、E= = =2 k,A22 (3)22 221tanC= = = .B223+ 224.三角形的外接圆与内切圆【跟踪训练】1.【解析】选 B.连接 OB,OA=OB,AOB 是等腰三角形,OAB=OBA,OAB=28,OAB=OBA=28,AOB=124,C=62.2.【解析】设 BC 切O 于点 D,连接 OC,OD;CA,CB 都与O 相切,OCD=OCA=30.在 RtOCD 中,CD= BC=1,OCD=30,12OD= OC,12在 RtODC 中,OD 2+CD2=OC2,OD= = ,S O =(OD) 2= .C23 33 3答案: 35.正多边形的有关计算【跟踪训练】1.【解

26、析】选 A.连接 OA,根据直线 PA 为切线可得OAP=90,根据正六边形的性质可得OAB=60,则PAB=OAP-OAB=90-60=30.2.【解析】选 A.O 是正五边形 ABCDE 的外接圆,BOC=15360=72,221= BOC= 72=36,12 12R2-r2= = a2,(12)214a=Rsin 36,a=2Rsin 36;12a=rtan 36,a=2rtan 36,12cos 36= ,r=Rcos 36,r所以,关系式错误的是 R2-r2=a2.3.【解析】(1)如图所示,八边形 ABCDEFGH 即为所求,(2)八边形 ABCDEFGH 是正八边形,AOD=34

27、5=135,OA=5, 的长= = ,A 1355180154设这个圆锥底面圆的半径为 R,2R= ,154R= ,即这个圆锥底面圆的半径为 .158 158答案:158236.求阴影部分面积的方法【跟踪训练】1.【解析】选 A.连接 OC,得AOC=BOC=60,OAC,BOC 都是等边三角形.S AOC = 22= ,34 3S 阴影 =2 = -2 .(6036022 3)43 32.【解析】选 D.设 CDAB 交 AB 于点 E,AB 是直径,CE=DE= CD= ,12 3又CDB=30,COE=60,OE=1,OC=2,BE=1,S BED =SOEC ,S 阴影 =S 扇形 B

28、OC= = .6022360233.【解析】连接 OD,OE.C,D,E,F 是 上的五等分点,ADOE= 180=36,15S 扇形 DOE= = .3622360 25答案: 254.【解析】ACB=90,CB=AC,AB=2,AC=BC= ,ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 45后得到ABC,224AC=AC= ,AB=AB=2,BAB=45,BAC=45,2S 阴影部分 = + - - =S扇形 SSS扇形 - = - = .S扇形 S扇形 452236045(2)2360 4答案: 45.【解析】(1)连接 OD,BCA=90,B=30,OAD=BAC=60,OD=OA,OAD 是

29、等边三角形,AD=OA=AC,ODA=O=60,ADC=ACD= OAD=30,12ODC=60+30=90,即 ODDC,OD 为半径,CD 是O 的切线.(2)AB=4,ACB=90,B=30,OD=OA=AC= AB=2,12由勾股定理得:CD= = =2 ,O22 4222 3S 阴影 = -S 扇形 AOD= 22 - =2 - .S12 36022360 3236.【解析】(1)连接 OA,OB,PA,PB 是O 的切线,OAAP,OBBP,OAP=OBP=90,又AOB=2C=120,25APB=360-(90+90+120)=60.APB=60.(2)连接 OP 交 于点 D,

30、APA,PB 是O 的切线,APO= APB=30,12在 RtAPO 中,tan 30= ,OAP= = =4 (cm),O30433 3S 阴影 =2(SAOP -S 扇形 AOD)=2(124436042360)= .(163163)(2)7.【解析】(1)四边形 ABCD 是O 的内接四边形,ABC+D=180,ABC=2D,D+2D=180,D=60,AOC=2D=120,OA=OC,OAC=OCA=30.(2)COB=3AOB,AOC=AOB+3AOB=120,AOB=30,COB=AOC-AOB=90,在 RtOCE 中,OC=2 ,3OE=OCtanOCE=2 tan 3032

31、6=2 =2,333S OEC = OEOC= 22 =2 ,12 12 3 3S 扇形 OBC= =3,90(23)2360S 阴影 =S 扇形 OBC-SOEC =3-2 .38.【解析】(1)如图,连接 OD,CD 是O 切线,ODCD,OA=CD=2 ,OA=OD,2OD=CD=2 ,2OCD 为等腰直角三角形,DOC=C=45,S 阴影 =SOCD -S 扇形 OBD= 2 2 - =4-.12 2 245(22)2360(2)如图,连接 AD,AB 是O 的直径,ADB=ADM=90,又 = ,EBED=BD,MAD=BAD,在AMD 和ABD 中,27 =,=,=.AMDABD,DM=BD,DE=DM.