[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷67及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 3x=2x2+1 的实根个数是 ( )（A）3（B） 4（C） 5（D）62 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0 ， 且当 x0时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 则f(x)在 x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导函数不连续（D）可导且导函数连续4 曲线 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2

2、条（C） 3 条（D）4 条5 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（A）(一 1)n-1(n1)!（B） (一 1)n(n 一 1)!（C） (一 1)n-1n!（D）(一 1)nn!6 设函数 y=f(x)连续，除 x=a 外 f“(x)均存在，一阶导函数 y=f(x)的图形如图122 所示，则 y=f(x) ( ) （A）有两个极大值点，一个极小值点，一个拐点（B）有一个极大值点，一个极小值点，两个拐点（C）有一个极大值点，一个极小值点，一个拐点（D）有一个极大值点，两个极小值点，两个拐点二、填空题7 设 f(

3、x)在 x=0 处连续，且 则曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_8 设 y=y(x)由方程 确定，则曲线 y=y(x)上 x=0 对应的点处的曲率半径 R=_ 9 设函数 y=y(x)由方程 x2 一 xy+y2=1 所确定，则10 设 y=y(x)是由 所确定的函数，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求函数 f(x)=nx(1 一 x)n 在0，1上的最大值 M(n)及12 在区间0 ，a上|f“(x)|M，且 f(x)在(0 ，a)内取得极大值证明：|f(0)|+|f(a)|Ma13 设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明：存在 (1，2)，使f(

4、2)一 2f(1)=f()一 f()14 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0证明：存在 ， (a，b)，使得 15 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使 16 设 f(x)=arcsinx， 为 f(x)在闭区间0，t上拉格朗日中值定理的中值点，0t1，求极限17 若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k)(x0)=(k)(x0)，k=0，1，2，n 一1又 xx 0 时， (n)(x) (n)(x)试证：当 xx 0 时，(x)(x)18 设 k 是常数，讨论 f(x)=(12x)xx+x+k 的零点的个

5、数18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导试证明：19 拉格朗日微分中值定理：至少存在一点 (a，b)使20 若再添设 f(x)不是一次式也不为常函数的条件，则至少存在一点 (a，b)使21 设 k 是常数，讨论函数 f(x)=(2x 一 3)ln(2 一 x)一 x+k 在它的定义域内的零点个数22 设一x+，y0证明 xye x-1+ylny， 并指出何时等号成立23 已知矩形的周长为 2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体体积最大时的半径与高24 设 f(x)在区间0，1上连续，在区间 (0，1)内存在二阶导数，且 f(0)=f(1)证明：存在 (

6、0，1)使 2f()+f“()=024 设 f(x)在区间(一，+)内连续，且当 x(1+x)0 时，25 求 f(0)与 f(一 1)的值；26 讨论 f(x)的单调区间、极值27 设 x1 且 x0，证明：28 设 f(x)在=0 处连续且 求 f(0)并讨论 f(x)在 x=0处是否可导? 若可导，请求出 f(0)考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 67 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由观察法知 x=0，1 和 2 均满足方程，因此实根个数不小于 3又设f(x)=3x 一 2x2 一 1则 f(x)=3x(ln

7、3)30因此 f“(x)=0 无实根，故由罗尔定理可知f(x)=0 至多有 3 个实根，故选 (A)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 用洛必达法则，所以 k=3，选(C)其中 洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为 存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因所以 f(x)在x=0 处连续又根据导数定义 当 x0 时， 则 所以 f(x)的导函数在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B

8、【试题解析】 曲线 y=f(x)有水平渐近线曲线 y=f(x)有铅直渐近线 x=0 曲线 y=f(x)无斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 方法一 用导数定义 方法二 用乘积的求导法则含因子 ex 一 1 的项在 x=0 处为 0，故只留下了一项于是 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 如图 123 所示，添 x1，x 2，x 3，x 4，在 x=x1 处 y=0，左侧y0，右侧 y0故 x=x1 为极小值点 在 x=x2 处(y)=0 ，左侧(y)0，右侧(y)0，所以点(x 2，f(x 2)是曲线 y=f(x)的拐点 类似地可知

9、x=x3 是极大值点，x=x4 又是拐点，又是极小值点故其有 2 个极小值点，1 个极大值点，2 个拐点，选(D) 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 方法一 由极限与无穷小的关系，有 其中于是 因 所以 由于 f(x)在 x=0 处连续，所以 所以曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y 一 f(0)=f(0)(x 一 0)，即方法二 将 sinx 按皮亚诺余项泰勒公式展至 n=3，有 代入原极限式，有 可见即有 于是 以下与方法一相同【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 由 知，当 x=0 时， 推知 y(0)=0将所给

10、方程两边对 x 求导得 2x=e -(y-x)2(y一 1)， 以 x=0，y(0)=0 代入，得 y(0)=1 两边再次对 x 求导得 2=e -(y-x)2y“一 2(yx)(y一 1)2 以 x=0，y(0)=0 ，y(0)=1 代入，得 y“(0)=2 所以所求曲率 曲率半径【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 由 x2 一 xy+y2=1，有 2xxy一 y+2yy=0，则 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 将 t=0 代入，得 x=3，y=1， 得【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【

11、正确答案】 容易求得 f(x)=n1 一(n+1)x(1 一 n)n-1， f“(x)=n 2(n+1)x 一 2(1 一x)n-2 令 f(x)=0，得驻点 且有则 为 f(x)的极大值点，且极大值将它与边界点函数值 f(0)=0，f(1)=0 ，比较得 f(x)在0，1上的最大值 且有 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设 f(c)=0 f(x) 在区间0，c与c， a上分别使用拉格朗日中值定理，得 f(c)一 f(0)=cf“(1)， 1(0，c)， f(a)一f(c)=(a 一 c)f“(2)， 2(c， a)， 所以 |f(0)|+

12、|f(a)|=c|f“()|+(a-c)|f“( 2)| cM+(a 一 c)M=aM【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 把所证等式中的 改为 x，得 xf(x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)， 两边同时除以 x2，得 即 令F(x)在1，2上连续， (1，2)内可导，且 F(2)=F(1)=f(2)一 f(1) 由罗尔定理知，存在 (1，2)，使 F()=0，即 f(2) 一 2f(1)=f()一 f()【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 因为 两式相比，得即 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 利用泰勒公式将 f(x)在 x=a 处展开，得 同理

13、令 一 得 得 令|f“()|=max|f“( 1)|，|f“( 2)|，则 故原命题得证【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因 f(x)=arcsinx 在0，t 上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得 由此解得并令 =arcsint 有 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 u(n-1)(x)=(n-1)(x)一 (n-1)(x)在 x0，x上用微分中值定理得 u (n-1)(x)一 u(n-1)(x0)=u(n)()(x 一 x0)，x 0 x 又由 u(n)()0 可知 u(n-1)(x)一 u(n-1)(x0)0，且 u(n-1)(x0)=0

14、，所以 u(n-1)(x)0，即当 xx 0 时， (n-1)(x) (n-1)(x) 同理可证 u(n-2)(x)=(n-2)(x)一 (n-2)(x)0 归纳有 u(n-3)(x)0，u(x)0，u(x)0于是，当 xx 0 时，(x)(x)【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 依题意有，f(x)=一(1+2x)e x+1易见 f(0)=0 当 x0 时，f(x)=(1 一 ex)一 2xex0，f(x) 严格单增； 当 x0 时，f(x)=-2xe x 一(e x 一 1)0，f(x)严格单减 所以 f(0)为 f(x)的最大值，又因， 所以当 1+k0即 k一 1 时，f(x

15、)有且仅有两个( 实)零点；当 k=一 1 时，f(x)有且仅有一个(实)零点；当 k一 1 时，f(x)无( 实)零点【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 作函数 易见，(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，(a)=0 ，(b)=0 ，由罗尔定理知，至少存在一点 (a，b)使 ()=0，即 证毕【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 作 (x)如上，并且不妨设 f(b)一 f(a)0易知 (a)=(b)=0，因f(x)不是一次式也不为常函数，故至少存在一点 x1(a，b)使 或至少存在一点x2(a，b)使 若为前者，在区间a，x 1上对 (

16、x)用拉格朗日中值定理，存在 (a，x 1)(a，b) ，使 即 从而知存在1(a， b)使 若为后者，在区间x 2，b上对 (x)用拉格朗日中值定理，存在 2(x2，b)(a，6) ，使 不论哪种情形皆有 若 f(b)一 f(a)0，证明类似【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 f(x)的定义域为一x2，且 可见 f(1)=0，且当一x 1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x) 0所以 f(1)=k 一1 为最大值故 当 k1 时，f(x)无零点； 当 k=1 时， f(x)有唯一零点=1； 当 k1时，f(1)0，且 但 从而知在区间(一，1) 与(1，2)内 f(x)分别恰

17、有唯一零点【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由于 y0，令 f(x)=xyex-1-ylny，一 x+，有 f(x)=y 一 ex-1 令 f(x)=0，得唯一驻点 x0=1+lny又 f“(x)= 一 ex-10， 所以 f(x0)=y(1+lny)-y-ylny=0 为 f(x)的最大值，所以 xye x-1 一 ylny0， 当且仅当 x=1+lny 时等号成立证毕【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 设该旋转体的半径为 x，高为 y，则 x+y=p该圆柱体体积V=yx2 方法一化成一元函数极值问题 V=yx 2=(p 一 x)x2=px2 一x3，0xp V=2

18、px 一 3x2， V“=2p 一 6x 令 V=0，得所以当半径 时，体积 V 为极大值，且是唯一驻点，故当 时 V 最大 方法二 用拉格朗日乘数法，令 F(x，y，)=yx2+(x+y 一 p)， 由 有 2xy+=0，x 2+=0，x+y 一p=0 容易解得唯一解 由于存在最大值，故当半径为 高为时，该旋转体体积最大【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 由 f(0)=f(1)知，存在 (0，1)使 f()=0 令 F(x)=x2f(x)，有 F(0)=0，F()= 2f()=0，故知存在 (0，) (0，1)使 F()=0 而 F(x)=2xf(x)+x2f“(x)，于是有 2

19、f()+2f“()=0 又 0，所以 2f()+f“()=0证毕【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由题设 f(x)在( 一，+)上连续，所以 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 考虑 f(x)的单调性当 x一 1 且 x0 时，有 令 g(x)=(1+x)ln2|1+x|x2，有 g(0)=0，并且可得 g(x)=2ln|1+x|+ln 2|1+x|一 2x，有 g(0)=0， 由泰勒公式，有 又 g(0)=0所以当 x一 1 且x0 时 f(x)0又因 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(x)在区间(一 1，+)内严格单调减少 此外，由

20、 f(x)的表达式 直接可知，当 x一 1 时，分子小于 0，分母亦小于 0，所以 f(x)0从而知 f(x)在区间(一，一 1)内严格单调增加 所以 f(一 1)=1 是 f(x)的极大值，也是唯一的极值【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 因 又当0x1 时，xln(1 一 x) 0； 当 x0 时，仍有 xln(1-x)0 于是证等价于证明，当 x1 且 x0 时，ln(1 一 x)+xxln(1 一 x)0 令 f(x)=ln(1-x)+xxln(1-x)，有 f(0)=0，且 因 f(0)=0，f“(0)=10，所以 f(0)=0 是 f(x)的唯一极小值，是最小值，所以当 x1 时，f(x)0，当且仅当x=0 时， f(x)=0证毕【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 因题设 所以其中 从而 f(x)=ln(ax+cosx-sinx) 因为 f(x)在=0 处连续，所以 所以 f(0)=一 1【知识模块】 一元函数微分学