[考研类试卷]考研数学三（微积分）模拟试卷146及答案与解析.doc

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1、考研数学三（微积分）模拟试卷 146 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，函数 f（x）= 的极限（ ）（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在，但不为2 设函数 f（x）=|x 31|（x），其中 （x）在 x=1 处连续，则 （1） =0 是f（x）在 x=1 处可导的（ ）（A）充分必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件3 设 f（ x）=x 2（x1）（x2），则 f（x）的零点个数为（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设 y=f（x）是方程 y“ 2y+4y =0 的一

2、个解，且 f（x 0）0，f （x 0）=0，则函数f（x）在点 x0 处（ ）（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少5 曲线 y= exsinx（0x3）与 x 轴所围成图形的面积可表示为（ ）（A） 03exsinxdx（B） exsinx dx（C） 0exsinxdx 2exsinxdx+23exsinxdx（D） 02exsinxdx 一 23exsinxdx6 设 z= ，其中函数 f 可微，则（A）2yf（xy ）（B） 2yf（xy）（C）（D）7 设函数 f（x，y）连续，则 12dx12f（x，y）dy+ 12dyy4yf（x，y）dx

3、=（ ）（A） 122dx14xf（x，y）dy（B） 12dxx4xf（x，y）dy（C） 12dy14yf（x，y）dx（D） 12dyy2f（x，y）dx8 已知级数 an 收敛，则下列级数中必收敛的是（ ）9 设幂级数 bnxn 的收敛半径分别为 ，则幂级数 的收敛半径为（ ）10 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x（C 1，C 2，C 3 为任意常数）为通解的是（ ）（A）y“+y“ 一 4y一 4y=0（B） y“+y“+4y+4y=0（C） y“一 y“一 4y+4y=0（D）y“一 y“+4y一 4y=0二、填空题11 设 a0， a1，且 =l

4、na，则 p =_。12 13 设 y=y（x ）由方程 x=1yxyx sin2 所确定，则 y“（0）=_。14 函数 f（x）=|4x 318x2+ 27|在区间0，2上的最小值为_，最大值为_。15 16 设位于曲线 y= （ex +）下方，x 轴上方的无界区域为 G，则G 绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_ 。17 18 设 D=（x，y）|x 2+y21，则 （x 2 一 y）dxdy=_。19 f（x ）= 在 x=一 1 处的泰勒展开式为 _。20 微分方程（y+x 3）dx 一 2xdy=0 满足 y|x=1= 的特解为 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算

5、步骤。21 求下列极限：22 设函数 f（x）在 x=x0 处具有二阶导数，且 f（x 0）=0，f“（x 0）0，证明当f“（x 0）0， f（x）在 x=x0 处取得极小值。23 设 f（x）在a，b上二阶可导，f（a）=f（b）=0。试证明至少存在一点（a，b）使24 设 f（x）在a，b上有连续的导数，证明 |abdx|f（x）|dx。25 设 u = f（x，y，z）， （x 2，e y，z）=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且26 设 z= z（x，y）是由 x26xy+10y2 一 2yz z2+18=0 确定的函数，求z=z（x，y）的极值点和极值。27 计

6、算 ，其中 D=（x，y）|0yminx ，1x。28 （）验证函数 y（x）= （一x+）满足微分方程y“+y+y=ex;（ ）求幂级数 y（x）= 的和函数。29 利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx 一 2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解。考研数学三（微积分）模拟试卷 146 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 故当 x1 时，函数极限不存在，也不是，应选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 由函数f（x）在 x=1 处可导的充分必要条件为 f（1

7、）=f +（1），可得一 3（1） =3（1），即 （1）=0，故选 A。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f（0）=f（1）=f（2）=0，由罗尔定理知至少有 1（0，1），2（1，2）使 f（ 1）=f（ 2） =0 ，所以 f（x）至少有两个零点。又 f（x）中含有因子 x，故 x=0 也是 f（x）的零点，故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 由 f（x 0）=0 知，x=x 0 是函数 y=f（x）的驻点。将 x=x0 代入方程，得 y“ （ x0） 2y（x 0）+4y（x 0）=0。 由于 y（ x0）=f（x 0）=0 ，y“

8、 （x 0）=f“（x 0），y（x 0）=f（x 0）0，因此有 f“（x 0）= 4f（x 0）0，由极值的第二判定定理知，f（x）在点 x0 处取得极大值，故选 A。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时，y0；当 x2 时，y0 。所以 y=exsinx（0x3 ）与 x 轴所围成的面积为 0 exsinxdx 一 xexsinxdx+23 exsinxdx。 故选 C。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 先根据函数求出必要偏导数的表达形式，将结果代入应该选 A。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 12dxx2

9、f（x，y）dy+ 12dyy4yf（x，y）dx 的积分区域为两部分（如图 144）： D1=（x，y）|1x2，xy2 ；D2= （x，y） |1 y 2，y x4 y ，将其写成一个积分区域为 D=（x，y）|1y2，1x4y。故二重积分可以表示为 12dy14yf（x，y）dx ，故答案为 C。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 （a n+an+k）= an+k，而级数 an+k 为原级数 an 去掉了前 k 项，因此也收敛，故 （a k+an+k）必收敛，应选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 设极限 都存在，则由题设条件可知于是幂级数

10、 的收敛半径为【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 已知题设的微分方程的通解中含有 ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为 r=1，r=2i，所以特征方程为 (r 一 1)(r 一 2i)(r+2i)=0， 即 r 3-r2+4r-4=0。 因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为 y“一 y“+4y-4y=0。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 先考查 （x）的可导性并进行求导。（x）在 x=0 处的左导数为【知识模块】 微积分13 【正确答

11、案】 2【试题解析】 将 x=0 代入方程 x=1yxsin2 可得 y=1，即 y（0）=1 。在方程两边对 x 求导，得所以 y“（ 0） = 2。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 0；27【试题解析】 令 （x）= 4x 3 一 18x2+27，则所以 （x）在0，2单调递减， （0）=27，（2） =13，根据介值定理，存在唯x 0（0，2），（x 0）=0，且f（0） =27，f（x 0）=0，f（2）= 13。因此，f（x）在0，2上的最小值为 0，最大值为 27。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知

12、识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知：【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 利用函数奇偶性及轮换对称性【知识模块】 微积分19 【正确答案】 （一 1） n（x+1） n，（一 2x0）【试题解析】 （一 1） n（x+1） n，（一 2x0）。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 公式法。原方程变形为 ，由一阶线性微分方程通解公式得 由 y（1）= 得 C=1，因此所求的解为 y=【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 （）因为（）利用定积分的定义可得（）利用定积分的定义可得（）利用定积

13、分的定义可得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由题设 f“（x 0）0，且由导数的定义可知则对于 x0 的去心邻域（x 0 一，x 0）（x 0，x 0+）（0），有 0。当 x（x 0 一 ，x 0）时，xx00，则有 f（x）0；当 x（x 0，x 0+）时，xx 00，则有 f（x）0。由第一充分条件可知，f（x）在点 x0 处取得极小值。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 （1）若 f（x）0，则结论显然成立；（2）设|f （x 0）|= |f（x）|，x 0（a ， b），即函数 f（x）在 x=x0 处取得最大值。又因为f（x）在 a，b上二阶可导，则有 f（x 0）=0

14、。将函数 f（x）在 x=x0 处展成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒展开式，即 f（x）=f （x 0）+f （x 0）（xx 0）+ （x x0） 2，=x 0+（xx 0），01。由于 f（a）=0，故将 x=a 代入上式可得 0= f（a）=f（x 0）+f（x 0）（a x 0）+ （a x0） 2，即 |f“（ 1）|=a 1x 0。同理，有 0=f（b）=f （x 0） +f（x）（b x 0）+ （b x0） 2，即 |f“（ 2）|= x0 2b。当且仅当 x0=时，不等式中的等号成立。故存在 使得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 可设 |f（x）|=|f （x 0）|，x

15、 0（a，b），即证（ba ）|f （x 0）|abf（x）dx|+（b 一 a） ab|f（x）|dx，即 | abf（x 0）dx| abf（x）dx（b 一 a）ab|f（x ）|dx。事实上， |abf（x 0）dx| abf（x）dx| abf（x 0）一 f（x）dx|=|abxx0f（t）dtdx| abab|f（t ）|dtdx=（b 一 a） ab |f（x）|dx 。故得证。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 在等式 u= f（x，y，z ）的两端同时对 x 求导数，得到如下等式而 =cosx，再在等式 （x 2，e y，z ）=0 的两端同时对 z 求导数，得到因此，

16、可得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 在方程 x26xy+10y22yzz2+ 18=0 的两端分别对 x，y 求偏导数，因此有将上式代入 x26xy+10y22yz z2+ 18=0，解得又A= 0，所以点（9，3 ）是 z（x，y）的极小值点，极小值为 z（9，3）=3。类似地，由可知 ACB2= 0，又 A= 0，故点（9，3）是 z（x，y）的极大值点，极大值为 z（ 9，3）= 3。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 积分区域如图 14 19 所示，在极坐标中【知识模块】 微积分28 【正确答案】 （）因为幂级数 的收敛域是（一x+），因而可在（一x+）上逐项求导数，得（）

17、与 y“+y+y=ex 对应的齐次微分方程为 y“+y+y=0，其特征方程为 2+1=0，特征根为 1，2 = 因此齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为 y*=Aex，将 y*代入方程 y“+y+y=ex 可得 因此，方程通解为当 x=0 时，有【知识模块】 微积分29 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=usecx，从而y=usecx+usecxtanx，y“=u“secx+2usecxtanx+usecxtan 2x+usec3x。代入原方程，得u“+4u=ex。这是一个二阶常系数非齐次线性方程，解得其通解为u= ex+C1cos2x+C2sin2x。代回到原来函数，则有 y= +2C2sinx，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分