[考研类试卷]考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷3及答案与解析.doc
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1、考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 1, 2 为非齐次方程组 的解向量, 1, 2 为对应齐次方程绀的解,则( )(A) 1+2+21 为该非齐次方程组的解(B) 1+1+2 为该非齐次方程组的解(C) 1+2 为该非齐次方程组的解(D) 1-2+1 为该非齐次方程组的解2 n 元线性方程组 Ax=B 有两个解 a、c ,则下列方程的解是 a-c 的是( )(A)2Ax=B(B) Ax=0(C) Ax=a(D)Ax=c3 非齐次线性方程组 Ax=B 中,系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4,A 是 4
2、6 矩阵,则( )(A)无法确定方程组是否有解(B)方程组有无穷多解(C)方程组有惟一解(D)方程组无解4 对于齐次线性方程组 而言,它的解的情况是( )(A)有两组解(B)无解(C)只有零解(D)无穷多解5 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 A若存在 3 阶矩阵BO,使得 AB=O,则( )(A)=-2 且B=0(B) =-2 且B0(C) =1 且B =0(D)=1 且B06 设 A 是 n 阶矩阵, 是 n 维列向量,若秩 =秩(A),则线性方程组( )7 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O,若 1, 2, 3, 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组
3、 Ax=0 的基础解系 ( )(A)不存在(B)仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量(D)含有三个线性无关的解向量二、填空题8 设 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2, 1, 2, 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解,则 Ax=b 的通解为 _9 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵, 1, 2, 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解,如果 1+2+23=(2, 0,0,0) T,3 1+2=(2,4,6,8) T,则方程组 Ax=b 的通解是_10 线性方程组 有解,则未知量 a_11 设 A=(aij)是三阶正交矩阵,其中 a33=-1,b=(0,0,5
4、) T,则线性方程组 Ax=b 必有一个解是_12 非齐次方程组 的通解是_13 已知齐次线性方程组有通解 k1(2,-1,0,1) T+k2(3,2,1,0) T,则方程组的通解是_14 已知方程组() ()x 1+5x3=0,那么()与()的公共解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 1, s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解,k 1,k s 为实数,满足k1+k2+ks=1证明 x=k11+k22+kss 也是该方程组的解15 设 A=16 计算行列式A;17 当实数 a 为何值时,方程组 Ax= 有无穷多解,并求其通解18 设 A= ,当 a,b 为
5、何值时,存在矩阵 C,使得 AC-CA=B,并求所有矩阵 C19 问 取何值时,齐次线性方程组 有非零解20 写出一个以 x=c1 为通解的齐次线性方程组21 取何值时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解;(2)有无穷多个解;(3)无解22 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3,已知 1, 2, 3 是它的三个解向量,且 求该方程组的通解22 设有向量组 A:a 1= ,问, 为何值时:23 向量易能由向量组 A 线性表示,且表示式唯一;24 向量 b 不能由向量组 A 线性表示;25 向量 b 能由向量组 A 线性表示,且表示式不唯一,并求一般表达式考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试
6、卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查线性方程组的解的性质,将四个选项分别代入非齐次方程组, 因此选 B【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 A(a-c)=Aa-Ac=0,所以 a-c 是 Ax=0 的解【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件,且方程组的未知数个数是 6,而系数矩阵的秩为 4,因此方程组有无穷多解,故选 B【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个齐次线性方程组,只需求出系
7、数矩阵的秩就可以判断解的情况对系数矩阵 A= ,因此 r(A)=3,系数矩阵的秩等于未知数个数,因此方程组只有零解,故选 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【试题解析】 将矩阵 B 按列分块,则由题设条件有 AB=A( 1, 2, 3)=(A1,A 2,A 3)=O 即 ABi=0(j=l,2,3),这说明矩阵 B 的列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解又由 BO,知齐次线性方程组 Ax=0 存在非零解,从而 r(A)3,且 A 为 3 阶方阵,故有即 =1,排除选项A、B 若B 0,则矩阵曰可逆以 B-1 右乘 AB=O,得 ABB -1=OB-1,即A=O 这与 A 为非零
8、矩阵矛盾,选项 D 不正确,故选 C【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 D【试题解析】 由于选项 C、D 为互相对立的命题,且其正确与否不受其他条件制约,故其中必有一个正确也仅有一个正确,因而排除 A、B 又齐次线性方程组有 n+1 个变量,而由题设条件知,秩 =r(A)n【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 B【试题解析】 因为齐次线性方程组的基础解系所含线性无关的解向量的个数为 n-r(A)而由 A*O 可知,A *中至少有一个非零元素,由伴随矩阵的定义可得矩阵 A中至少有一个(n-1)阶子式不为零,再由矩阵秩的定义有 r(A)n-1又由 Ax=b 有互不相等的解知,其解存在且不
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