第六章 常微分方程及 方程组的解法.ppt
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1、浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,1,第六章 常微分方程及 方程组的解法,6.1 常微分方程及其求解概述 6.2 初值问题解法 6.3 边值问题解法,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,2,6.1 常微分方程及其求解概述 6.2 初值问题解法1.Euler方法2.线性多步法3.Runge-Kutta法4.方程组及刚性问题的Gear方法 6.3 边值问题解法1.Shooting(试射法)2.差分法,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,3,6.1 常微分方程及求解概述 (Ordinary Differential Equations, ODE),6.1.1 基本概念描述自由落体
2、的ODE:,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,4, 只有一个自变量的微分方程为 ODE,否则称为偏微分方程 PDE。 方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。 (6-4)是二阶的 方程中关于未知函数及其各阶导数均是一次的,则称为线性微分方程。,和(6-1)都是线性二阶ODE。 (6-2),(6-3)是(6-1)的初始条件。亦称定解条件。(6-1)(6-2)叫做初值问题。,6.1.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,5,6.1.1,(6-1),(6-3)叫做边值问题。 在没有给定解条件时。方程一般有一族解曲线 y(x,c) 。如:, 对任意的n阶ODE,如果能写成:,则称该方
3、程为显式的。方程(6-4)是显式的。而下面方程是隐式的。,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,6, 对于高阶显式方程。通过定义n-1个新变量,可以写成n维一阶方程组。即令:,6.1.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,7, 在讨论初值问题时,我们从一阶方程开始:,然后毫不费力地套用来解方程组。 当 f(x,y)与y无关时,f(x,y)=g(x),6.1.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,8,6.1.2 数值解及其重要性,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,9,6.1.3 ODE数值解的基本思想和方法特点基本思想有两点1. 离散化用Taylor级数,数值积分和差
4、商逼近导数等手段,把ODE转化为离散的代数方程(称差分方程)。2. 递推化在具有唯一解的条件下,通过步进法逐步计算出解在一系列离散点上的值。从而得到原ODE的数值近似解。,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,10,6.2 初值问题解法我们讨论一阶ODE,而高阶可能化为一阶ODEs。一阶初值问题可以一般地写成:,6.2.1 欧拉(Euler)方法Euler方法是求解(6-8)最简单方法,但精度差,故不实用。然而对理论分 析很有用。,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,11,6.2.1.1 方法原理及推导设初值问题(6-8)满足:,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,
5、12,6.2.1,图 6.1 常微分方程初值问题的数值解,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,13,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,14,欧拉方法的几何意义:,h步长,6.2.1,图 6.2 Euler方法的几何意义,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,15,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,16,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,17,6.2.1,多 步 法,单步法,自动起步,显式,隐式,半隐式,图 6.3 ODE求解方法的类型,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,18,表 6.1 自由落体运动方程的Euler公
6、式求解,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,19,图 6.4 运动轨迹,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,20,图 6.5 Euler公式的误差,6.2.1.2 Euler方法的误差估计一般其它方法的误差估计也类似。这里误差是指截断误差(算法理论误差)而不是舍入误差。后者由计算机字长等决定,属于稳定性问题。i) 几何分析,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,21,6.2.1,局部截断,误差,,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,22,6.2.1 整体截断误差:设ym是Euler公式(6-9)精确解,而 y(x) 是初值问题(6-8)
7、的解。则 整体截断误差定义为它是局部截断误差的积累。定理:若f(x,y)关于y满足Lipschitz条件。则有估计式:,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,23,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,24,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,25,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,26,6.2.1,注意:,稳定性:,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,27,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,28,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,29,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,
8、30,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,31,6.2.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,32,6.2.1,表 6.2 予估校正求解结果对比,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,33,6.2.1,表 6.3 Euler法与外推结果的比较,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,34,6.2.2 线性多步法,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,35,6.2.2,(),(),浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,36,6.2.2,Adams 外插法 (k=2) 3阶3步 显式,表 6.4 外插系数bki值,图 6.6 3阶3步外插法,浙江大学研究生学
9、位课程,实用数值计算方法,37,6.2.2,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,38,6.2.2,Adams 外插法 (k=2) 4阶3步,图 6.7 4步3阶Adams内插公式,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,39,6.2.2,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,40,6.2.2,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,41,6.2.2,图 6.8 一般化插值形式,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,42,6.2.2,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,43,6.2.2,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,44,6.2.2,浙江大学研究生学位课程,实
10、用数值计算方法,45,6.2.2,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,46,6.2.2,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,47,6.2.2,图 6.9,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,48,6.2.2,线性多步法的绝对稳定性:,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,49,6.2.2,定义:,绝对稳定。,绝对稳定区域。,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,50,6.2.2,Milne,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,51,6.2.2,表 6.6 计算结果,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,52,6.2.2,6.2.2.4 预估-校正方法(Pre
11、dictor-Corrector Method),浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,53,6.2.2,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,54,6.2.2 注意:一步校正的计算量 预估计算量。所以要适当选取h才能发挥PC的优点。设绝对稳定区域:达到精度的校正次数为N,则h的选取,应满足:否则可用N步显式算法稳定达到目的。,h,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,55,6.2.2 Adams四步四阶预估校正算法,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,56,6.2.3 Runge-Kutta 方法,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,57,6.2.3,浙江大学研究生学
12、位课程,实用数值计算方法,58,6.2.3,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,59,6.2.3,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,60,6.2.3,六个未知数,二个自由,故可取,故:,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,61,6.2.3 N=4: 四级四阶R-K方法,-最常用的古典Runge-Kutta方法。增加计算函数值的次数(级)与提高精度(阶)的关系见下表:,表 6.7 Runge-Kutta方法中级与阶的关系,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,62,6.2.3,表 6.8 各种解法在例题中的结果比较,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,63,6.2.
13、3 (2). 单步法,自动起步(3). 易改为变步长(4). 绝对稳定区域较同阶线性多步法大(5). 计算工作量较大,有时大于隐式方法(6). 估计误差不易绝对稳定性讨论,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,64,6.2.3,表 6.9 各级R-K方法的绝对稳定区域,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,65,6.2.3,表 6.10 不同步长对精度的影响,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,66,6.2.3,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,67,6.2.3,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,68,P阶 图 6.10 变步长Runge-Kutta方法框图,6.
14、2.3,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,69,6.2.3,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,70,6.2.4 出发值的计算,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,71,6.2.4,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,72,质量控制 Runge-Kutta 步进程序 SUBROUTINE RKQC(Y, DYDX, N, X, HTRY,EPS,YSCAL,HDID,HNEXT,DERIVS) PARAMETER (NMAX=10, PGROW=-0.20, PSHRINK=-0.25, FCOR=1./15.ONE=1.0, SAFETY=0.9, ERRCON=6
15、.E-4 EXTERNAL DERIVS DIMENSION Y(N), DYSX(N), YSCAL(N), YTEMP(NMAX), YSAV(NMAX), DYSAV(NMAX) XSAV=X 保留初值 DO 11 I=1,NYSAV(I)=Y(I)DYSAV(I)=DYDX(I) H=HTRY HH=0.5H CALL RK4 (YSAV, DYSAV, N, XSAV, HH, YTEMP, DERIVS) X=XSAV+HH CALL DERIVS (X, YTEMP, DYDX) CALL RK4 (YTMP, DYDX, N, X, HH, Y, DERIVS) X=XSAV+
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