2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-北京卷.pdf
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1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) (北京卷) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷 1 至 2 页,第卷 3 至 9 页,共 150 分考试时间 120 分钟考试结束,将本试卷和答题卡一并交回 第卷 (选择题 共 40 分) 注意事项: 1答第卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案不能答在试卷上 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项 1已知全集 U =R ,集合
2、|2 3Ax x= , |14Bxx x= 或 ,那么集合 () U A BI 等于( ) A |2 4xx B |3 4xx x或 C |2 1xx B bac C cab D bca 3 “函数 ()( )fxxR 存在反函数”是“函数 ()f x 在 R上为增函数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4若点 P 到直线 1x = 的距离比它到点 (2 0), 的距离小 1,则点 P 的轨迹为( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 5若实数 x y, 满足 10 0 0 xy xy x + + , , , 则 2 3 x y z +
3、= 的最小值是( ) A 0 B 1 C 3 D 9 6 已知数列 n a 对任意的 * pqN, 满足 pq p q aaa + = + , 且 2 6a = , 那么 10 a 等于 ( ) A 165 B 33 C 30 D 21 7过直线 y x= 上的一点作圆 22 (5)(1)2xy+=的两条切线 12 ll, ,当直线 12 ll, 关于 yx= 对称时,它们之间的夹角为( ) A 30 o B 45 o C 60 o D 90 o 8如图,动点 P 在正方体 111 1 ABCD ABC D 的对角线 1 BD 上过点 P 作垂直于平面 11 BBDD的直线,与正方体表面相交于
4、 M N, 设 BPx= , MNy= ,则函数 ()yfx= 的 图象大致是( ) 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) (北京卷) 第卷 (共 110 分) 注意事项: 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分把答案填在题中横线上 9已知 2 ()2ai i=,其中 i是虚数单位,那么实数 a = 10已知向量 a 与 b 的夹角为 120 o ,且 4= =ab ,那么 (2 )+nullbab的值为 11若 2 3 1 n x x + 展开式的各项系数之和为 32,则 n
5、= ,其展开式中的常数项 为 (用数字作答) 12 如图, 函数 ()f x 的图象是折线段 ABC , 其中 ABC, 的坐标分别为 (0 4) (2 0) (6 4), , 则 (0)ff = ; 0 (1 ) (1) lim x fxf x + = (用数字作答) A B C D M N P A 1 B 1 C 1 D 1 y x A O y x B O y x C O y x D O 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 13已知函数 2 () cosf xx x= ,对于 22 , 上的任意 12 x x, ,有如下条件: 12 x x ; 22 12 x
6、x ; 12 x x 其中能使 12 () ()f xfx 恒成立的条件序号是 14某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种植在 点 () kk k Px y, 处,其中 1 1x = , 1 1y = ,当 2k 时, 1 1 12 15 55 12 55 kk kk kk xx T T kk yy T T =+ =+ , ()Ta表示非负实数 a的整数部分,例如 (2.6) 2T = , (0.2) 0T = 按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为 ;第 2008 棵树种植点的坐标应 为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演
7、算步骤或证明过程 15 (本小题共 13 分) 已知函数 2 () sin 3sin sin 2 fx x x x =+ + ( 0 )的最小正周期为 ()求 的值; ()求函数 ()f x 在区间 2 0 3 , 上的取值范围 16 (本小题共 14 分) 如图, 在三棱锥 P ABC 中, 2AC BC=, 90ACB= o , AP BP AB= = , PC AC ()求证: PC AB ; ()求二面角 B AP C 的大小; ()求点 C 到平面 APB的距离 A C B P 17 (本小题共 13 分) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A BCD, 四个不同的岗位服务,每个岗
8、位至少 有一名志愿者 ()求甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率; ()求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; ()设随机变量 为这五名志愿者中参加 A岗位服务的人数,求 的分布列 18 (本小题共 13 分) 已知函数 2 2 () (1) x b fx x = ,求导函数 ()f x ,并确定 ()f x 的单调区间 19 (本小题共 14 分) 已知菱形 ABCD的顶点 A C, 在椭圆 22 34xy+ = 上,对角线 BD所在直线的斜率为 1 ()当直线 BD过点 (0 1), 时,求直线 AC 的方程; ()当 60ABC= o 时,求菱形 ABCD面积的最大值 20 (本小题共
9、13 分) 对于每项均是正整数的数列 12 n Aa a aL:, ,定义变换 1 T , 1 T 将数列 A变换成数列 1 ()TA: 12 11 1 n na a a L, 对于每项均是非负整数的数列 12 m B bb bL:, ,定义变换 2 T , 2 T 将数列 B 各项从大到小 排列,然后去掉所有为零的项,得到数列 2 ()TB; 又定义 22 2 12 12 () 2( 2 ) mm SB b b mb b b b= + + +LL 设 0 A 是每项均为正整数的有穷数列,令 121 ( ( )( 0 1 2 ) kk ATTAk + = = L, , , ()如果数列 0 A
10、 为 5, 3, 2,写出数列 12 AA, ; ()对于每项均是正整数的有穷数列 A,证明 1 () ()ST A SA= ; () 证明: 对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 0 A , 存在正整数 K , 当 kK 时, 1 ()() kk SA SA + = 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) (北京卷)参考答案 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1 D 2 A 3 B 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9 1 10 0 11 5 10 12 2 2 13
11、14 (1 2), (3 402), 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15 (共 13 分) 解: () 1cos2 3 () sin2 22 x f xx =+ 311 sin 2 cos 2 222 xx= + 1 sin 2 62 x =+ 因为函数 ()f x 的最小正周期为 ,且 0 , 所以 2 2 = ,解得 1 = ()由()得 1 () sin2 62 fx x =+ 因为 2 0 3 x , 所以 7 2 666 x , 所以 1 sin 2 1 26 x , 因此 13 0sin2 622 x + ,即 ()f x 的取值范围为 3 0 2 , 16 (共
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