1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 （选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1已知全集 U =R ，集合
2、|2 3Ax x= ， |14Bxx x= 或 ，那么集合 () U A BI 等于（ ） A |2 4xx B |3 4xx x或 C |2 1xx B bac C cab D bca 3 “函数 ()( )fxxR 存在反函数”是“函数 ()f x 在 R上为增函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4若点 P 到直线 1x = 的距离比它到点 (2 0)， 的距离小 1，则点 P 的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 5若实数 x y， 满足 10 0 0 xy xy x + + ， ， ， 则 2 3 x y z +
3、= 的最小值是（ ） A 0 B 1 C 3 D 9 6 已知数列 n a 对任意的 * pqN， 满足 pq p q aaa + = + ， 且 2 6a = ， 那么 10 a 等于 （ ） A 165 B 33 C 30 D 21 7过直线 y x= 上的一点作圆 22 (5)(1)2xy+=的两条切线 12 ll， ，当直线 12 ll， 关于 yx= 对称时，它们之间的夹角为（ ） A 30 o B 45 o C 60 o D 90 o 8如图，动点 P 在正方体 111 1 ABCD ABC D 的对角线 1 BD 上过点 P 作垂直于平面 11 BBDD的直线，与正方体表面相交于
4、 M N， 设 BPx= ， MNy= ，则函数 ()yfx= 的 图象大致是（ ） 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 第卷 （共 110 分） 注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上 9已知 2 ()2ai i=，其中 i是虚数单位，那么实数 a = 10已知向量 a 与 b 的夹角为 120 o ，且 4= =ab ，那么 (2 )+nullbab的值为 11若 2 3 1 n x x + 展开式的各项系数之和为 32，则 n
5、= ，其展开式中的常数项 为 （用数字作答） 12 如图， 函数 ()f x 的图象是折线段 ABC ， 其中 ABC， 的坐标分别为 (0 4) (2 0) (6 4)， ， 则 (0)ff = ； 0 (1 ) (1) lim x fxf x + = （用数字作答） A B C D M N P A 1 B 1 C 1 D 1 y x A O y x B O y x C O y x D O 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 13已知函数 2 () cosf xx x= ，对于 22 ， 上的任意 12 x x， ，有如下条件： 12 x x ； 22 12 x
6、x ； 12 x x 其中能使 12 () ()f xfx 恒成立的条件序号是 14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植在 点 () kk k Px y， 处，其中 1 1x = ， 1 1y = ，当 2k 时， 1 1 12 15 55 12 55 kk kk kk xx T T kk yy T T =+ =+ ， ()Ta表示非负实数 a的整数部分，例如 (2.6) 2T = ， (0.2) 0T = 按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应 为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演
7、算步骤或证明过程 15 （本小题共 13 分） 已知函数 2 () sin 3sin sin 2 fx x x x =+ + （ 0 ）的最小正周期为 （）求 的值； （）求函数 ()f x 在区间 2 0 3 ， 上的取值范围 16 （本小题共 14 分） 如图， 在三棱锥 P ABC 中， 2AC BC=， 90ACB= o ， AP BP AB= = ， PC AC （）求证： PC AB ； （）求二面角 B AP C 的大小； （）求点 C 到平面 APB的距离 A C B P 17 （本小题共 13 分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A BCD， 四个不同的岗位服务，每个岗
8、位至少 有一名志愿者 （）求甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率； （）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （）设随机变量 为这五名志愿者中参加 A岗位服务的人数，求 的分布列 18 （本小题共 13 分） 已知函数 2 2 () (1) x b fx x = ，求导函数 ()f x ，并确定 ()f x 的单调区间 19 （本小题共 14 分） 已知菱形 ABCD的顶点 A C， 在椭圆 22 34xy+ = 上，对角线 BD所在直线的斜率为 1 （）当直线 BD过点 (0 1)， 时，求直线 AC 的方程； （）当 60ABC= o 时，求菱形 ABCD面积的最大值 20 （本小题共
9、13 分） 对于每项均是正整数的数列 12 n Aa a aL：， ，定义变换 1 T ， 1 T 将数列 A变换成数列 1 ()TA： 12 11 1 n na a a L， 对于每项均是非负整数的数列 12 m B bb bL：， ，定义变换 2 T ， 2 T 将数列 B 各项从大到小 排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 2 ()TB； 又定义 22 2 12 12 () 2( 2 ) mm SB b b mb b b b= + + +LL 设 0 A 是每项均为正整数的有穷数列，令 121 ( ( )( 0 1 2 ) kk ATTAk + = = L， ， ， （）如果数列 0 A
10、 为 5， 3， 2，写出数列 12 AA， ； （）对于每项均是正整数的有穷数列 A，证明 1 () ()ST A SA= ； （） 证明： 对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 0 A ， 存在正整数 K ， 当 kK 时， 1 ()() kk SA SA + = 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1 D 2 A 3 B 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9 1 10 0 11 5 10 12 2 2 13
11、14 (1 2)， (3 402)， 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15 （共 13 分） 解： （） 1cos2 3 () sin2 22 x f xx =+ 311 sin 2 cos 2 222 xx= + 1 sin 2 62 x =+ 因为函数 ()f x 的最小正周期为 ，且 0 ， 所以 2 2 = ，解得 1 = （）由（）得 1 () sin2 62 fx x =+ 因为 2 0 3 x ， 所以 7 2 666 x ， 所以 1 sin 2 1 26 x ， 因此 13 0sin2 622 x + ，即 ()f x 的取值范围为 3 0 2 ， 16 （共
12、 14 分） 解法一： （）取 AB 中点 D，连结 PD CD， APBP=Q ， PD AB ACBC=Q ， CD AB A C B D P PD CD D=QI ， AB 平面 PCD PC Q 平面 PCD， PC AB （） ACBC=Q ， APBP= ， APC BPC 又 PC AC ， PC BC 又 90ACB= o ，即 AC BC ，且 AC PC C=I ， BC 平面 PAC 取 AP 中点 E 连结 BECE， ABBP=Q ， BEAP ECQ 是 BE在平面 PAC 内的射影， CE AP BEC 是二面角 B AP C的平面角 在 BCE 中， 90BCE
13、= o ， 2BC = ， 3 6 2 BE AB=， 6 sin 3 BC BEC BE = 二面角 B AP C的大小为 6 arcsin 3 （）由（）知 AB 平面 PCD， 平面 APB 平面 PCD 过 C 作 CH PD ，垂足为 H Q平面 APBI平面 PCD PD= ， CH 平面 APB CH 的长即为点 C 到平面 APB的距离 由（）知 PC AB ，又 PC AC ，且 AB AC A=I ， PC 平面 ABC CDQ 平面 ABC ， PC CD 在 Rt PCD 中， 1 2 2 CD AB=， 3 6 2 PD PB=， 22 2PC PD CD = 23
14、3 PC CD CH PD = null A C B E P A C B D P H 点 C 到平面 APB的距离为 23 3 解法二： （） ACBC=Q ， APBP= ， APC BPC 又 PC AC ， PC BC AC BC C=QI ， PC 平面 ABC ABQ 平面 ABC ， PC AB （）如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz 则 (000) (020) (200)CAB， ， ， ， ， ， 设 (0 0 )Pt， ， 22PB AB=Q ， 2t = ， (0 0 2)P ， ， 取 AP 中点 E ，连结 BECE， ACPC=Q ， ABBP= ， C
15、E AP ， BEAP BEC 是二面角 B AP C的平面角 (0 11)EQ ， ， ， (0 1 1)EC = uuur ， ， (2 1 1)EB = uuur ， ， 23 cos 3 26 EC EB BEC EC EB = = = uuur uuur null uuur uuur nullnull 二面角 B AP C的大小为 3 arccos 3 （） ACBCPC=Q ， C 在平面 APB内的射影为正 APB 的中心 H ， 且 CH 的长为点 C 到平面 APB的距离 如（）建立空间直角坐标系 Cxyz 2BHHE= uuur uuur Q ， 点 H 的坐标为 222
16、333 ， A C B P z x y H E 23 3 CH = uuur 点 C 到平面 APB的距离为 23 3 17 （共 13 分） 解： （）记甲、乙两人同时参加 A岗位服务为事件 A E ，那么 3 3 24 54 1 () 40 A A PE CA =， 即甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率是 1 40 （）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ，那么 4 4 24 54 1 () 10 A PE CA = = ， 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 9 () 1 () 10 PE PE= = （）随机变量 可能取的值为 1， 2事件“ 2 = ”是指有两人同时参
17、加 A岗位服务， 则 23 53 34 54 1 (2) 4 CA P CA = = 所以 3 (1)1(2) 4 PP= =， 的分布列是 1 3 P 3 4 1 4 18 （共 13 分） 解： 2 4 2( 1) (2 ) 2( 1) () (1) xxbx fx x = null 3 222 (1) xb x + = 3 2 ( 1) (1) xb x = 令 () 0fx = ，得 1x b= 当 11b，即 2b，即 2b 时， ()f x 的变化情况如下表： x (1)， (1 1)b， 1b (1 )b +， ()f x + 0 所以，当 2b 时，函数 ()f x 在 (1)
18、， 上单调递减，在 (1 1)b， 上单调递增，在 (1 )b+， 上 单调递减 当 11b=，即 2b= 时， 2 () 1 fx x = ，所以函数 ()f x 在 (1)， 上单调递减，在 (1 )+， 上单调递减 19 （共 14 分） 解： （）由题意得直线 BD的方程为 1yx= + 因为四边形 ABCD为菱形，所以 ACBD 于是可设直线 AC 的方程为 yxn= + 由 22 34xy yxn += = + ， 得 22 46340 xnxn+= 因为 A C， 在椭圆上， 所以 2 12 64 0n= + ，解得 43 43 33 n 设 AC， 两点坐标分别为 11 2 2
19、 ()( )x yxy， ， 则 12 3 2 n xx+= ， 2 12 34 4 n xx = ， 11 y xn=+， 22 y xn=+ 所以 12 2 n yy+= 所以 AC 的中点坐标为 3 44 nn ， 由四边形 ABCD为菱形可知，点 3 44 nn ， 在直线 1yx= + 上， 所以 3 1 44 nn =+，解得 2n= 所以直线 AC 的方程为 2yx= ，即 20 xy+ += （）因为四边形 ABCD为菱形，且 60ABC= o ， 所以 ABBCCA= 所以菱形 ABCD的面积 23 2 SAC= 由（）可得 2 2 22 12 12 316 ()( ) 2
20、n AC x x y y + = + = ， 所以 2 34343 ( 3 16) 43 Sn n =+ 所以当 0n= 时，菱形 ABCD的面积取得最大值 43 20 （共 13 分） （）解： 0 532A： ， ， ， 10 ()3421TA： ， ， ， ， 1210 ( ( )4321ATTA= ： ， ， ， ； 11 ( )43210TA： ， ， ， ， ， 2211 ( )4321ATTA= ： ， ， ， （）证明：设每项均是正整数的有穷数列 A为 12 n aa aL， ， 则 1 ()TA为 n， 1 1a ， 2 1a ， L ， 1 n a ， 从而 112 ( (
21、 ) 2 2( 1) 3( 1) ( 1)( 1) n ST A n a a n a= + + + L 22 2 2 12 (1)(1) (1) n na a a+L 又 22 2 12 12 () 2( 2 ) nn SA a a na a a a= + + +LL， 所以 1 () ()ST A SA 12 2 2 3 ( 1) 2( ) n nnaa=+ +LL 2 12 2( ) n naa an+ +L 2 (1) 0nn n n= + + + = ， 故 1 () ()ST A SA= （）证明：设 A是每项均为非负整数的数列 12 n aa aL， 当存在 1 ij n ，使得
22、ij aa 时，交换数列 A的第 i项与第 j 项得到数列 B ， 则 () () 2( ) jiij S B S A ia ja ia ja=+ 2( )( ) 0 ji ijaa= 当存在 1 mn ，使得 12 0 mm n aa a + =L 时，若记数列 12 m aa aL， 为 C ， 则 () ()SC SA= 所以 2 () ()ST A SA 从而对于任意给定的数列 0 A ，由 121 ( ( )( 0 1 2 ) kk ATTAk + = = L， ， ， 可知 11 () () kk SA STA + 又由（）可知 1 ( ) ( ) kk ST A SA= ，所以 1 () () kk SA SA + 即对于 kN，要么有 1 ()() kk SA SA + = ，要么有 1 () ()1 kk SA SA + 因为 () k SA 是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有 12 ()()() kk k SA SA SA + = =L 即存在正整数 K ，当 kK 时， 1 ()() kk SA SA + =
