2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-天津卷.pdf

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1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟第 I 卷至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位 置粘贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 参考公式： 如果事件

2、AB， 互斥，那么 球的表面积公式 2 4SR= ()()()PA B PA PB+= + 球的体积公式 3 4 3 VR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 08Ux x= ， 的右焦点与抛物线 2 8y x= 的焦点相同， 离心率为 1 2 ， 则此椭圆的方程为（ ） A 22 1 12 16 xy += B 22 1 16 12 xy + = C 22 1 48 64 xy + = D 22 1 64 48 xy += 8已知函数 2

3、0 () 20 xx fx xx + = + ， ， 则不等式 2 ()f xx 的解集为（ ） A 11 ， B 22 ， C 21 ， D 12 ， 9设 5 sin 7 a = ， 2 cos 7 b = ， 2 tan 7 c = ，则（ ） A abc B acb C bca D bac ，若对于任意的 2x aa ， ，都有 2 yaa ， 满足方程 log log 3 aa xy+=， 这时 a 的取值的集合为（ ） A 12aa， 的最小正周期是 2 （）求 的值； （）求函数 ()f x 的最大值，并且求使 ()f x 取得最大值的 x 的集合 18 （本小题满分 12 分）

4、 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 1 2 与 p ，且乙投球 2 次 均未命中的概率为 1 16 （）求乙投球的命中率 p ； （）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； （）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形已知 3AB = ， 2AD = ， 2PA = ， 22PD = ， 60PAB = o （）证明 AD 平面 PAB ； （）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小； （）求二面角 PBDA 的大小 20 （本小题满分 12 分） 已知数列

5、 n a 中， 1 1a = ， 2 2a = ，且 11 (1 ) nnn aqaqa + = + (2 0)nq， （）设 1 () nn n ba an + = * N ，证明 n b 是等比数列； （）求数列 n a 的通项公式； （）若 3 a 是 6 a 与 9 a 的等差中项，求 q 的值，并证明：对任意的 n * N ， n a 是 3n a + 与 6n a + 的等差中项 21 （本小题满分 14 分） 设函数 432 () 2 ( )fx x ax x bx=+ + + R ，其中 abR， （）当 10 3 a = 时，讨论函数 ()f x 的单调性； （）若函数 ()

6、f x 仅在 0 x = 处有极值，求 a 的取值范围； （）若对于任意的 22a， ，不等式 () 1fx 在 11 ， 上恒成立，求 b 的取值范围 22 （本小题满分 14 分） 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 1 (30)F ， ，一条渐近线的方程是 52 0 xy= （）求双曲线 C 的方程； （） 若以 (0)kk 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M N， ， 且线段 MN 的 A B C D P 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 81 2 ，求 k 的取值范围 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 一、选

7、择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 C 7 B 8 A 9 D 10 B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 11 10 12 10 13 12 14 82 15 22 (1)18xy+= 16 432 三、解答题 17本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数 sin( )yA x =+的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分 （）解： 1cos2 () 2 sin2 1 2 x f xx + =+ sin 2 cos 2 2xx =+ 2sin2 c

8、os cos2 sin 2 44 xx + 2sin 2 2 4 x =+ 由题设，函数 ()f x 的最小正周期是 2 ，可得 2 22 = ，所以 2 = （）解：由（）知， () 2sin4 2 4 fx x =+ 当 42 42 x k +=+，即 () 16 2 k xk =+ Z 时， sin 4 4 x + 取得最大值 1，所以函数 ()f x 的最大值是 22+ ，此时 x 的集合为 16 2 k xx k =+ Z， 18本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率 知识解决实际问题的能力满分 12 分 （）解法一：设“甲投球一次命中”为事件

9、A ， “乙投球一次命中”为事件 B ，由题意得 22 1 (1 ( ) (1 ) 16 PB p=， 解得 3 4 p = 或 5 4 p = （舍去） ，所以乙投球的命中率为 3 4 解法二：设“甲投球一次命中”为事件 A ， “乙投球一次命中”为事件 B ，由题意得 1 ()() 16 PBPB= ， 于是 1 () 4 PB= 或 1 () 4 PB= （舍去） ，故 3 1() 4 pPB= = 所以乙投球的命中率为 3 4 （）解法一：由题设和（）知， 1 () 2 PA= ， 1 () 2 PA= 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 3 1( ) 4 PAA =null 解

10、法二：由题设和（）知， 1 () 2 PA= ， 1 () 2 PA= 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 2 3 C ()() ()() 4 PAPA PAPA+ = （）解：由题设和（）知， 1 () 2 PA= ， 1 () 2 PA= ， 3 () 4 PB= ， 1 () 4 PB = 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中 2 次，乙 2 次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次概率分别为 11 22 3 C ()()C ()() 16 PAPA PBPB= ， 1 ()() 64 PAAPBB=nullnull ， 9 ()() 6

11、4 PAAPBB=nullnull 所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为 3191 16 64 64 32 += 19本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相 角能力、运算能力和推理论证能力满分 12 分 （） 证明： 在 PAD 中， 由题设 2PA = ， 2AD = ， 22PD = ， 可得 222 PA AD PD+=， 于是 AD PA 在矩形 ABCD 中， AD AB ，又 PA AB A=I ，所以 AD 平面 PAB （）解：由题设， BCAD ，所以 PCB （或其补角）是异面直线 PC 与 AD 所成的 角 在 PAB

12、 中，由余弦定理得 22 2cos 7PB PA AB PA AB PAB=+ =nullnull 由（）知 AD 平面 PAB ， PB 平面 PAB ， 所以 ADPB ，因而 BCPB ，于是 PBC 是直角三角形， 故 7 tan 2 PB PCB BC = 所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 7 arctan 2 A B C D P H E （）解：过点 P 作 PH AB 于 H ，过点 H 作 HE BD 于 E ，连结 PE 因为 AD 平面 PAB ， PH 平面 PAB ， 所以 AD PH 又 AD AB A=I ， 因而 PH 平面 ABCD ，故 HE 为

13、 PE 在平面 ABCD 内的射影由三垂线定理可知， BDPE 从 而 PEH 是二面角 PBDA的平面角 由题设可得， sin 60 3PH PA= o null ， cos 60 1AH PA= o null ， 2BHABAH=， 22 13BD AB AD=+=， 4 13 AD HE BH BD =null 于是在 Rt PHE 中， 39 tan 4 PH PEH HE = 所以二面角 PBDA的大小为 39 arctan 4 20本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和公式，考 查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分 12 分 （）证明：

14、由题设 11 (1 ) ( 2) nnn aqaqa + =+ ，得 11 () nn nn aaqaa + = ， 即 1 2 nn bqb n = ， 又 121 1baa=， 0q ，所以 n b 是首项为 1，公比为 q 的等比数列 （）解：由（） ， 21 1aa=， 32 aa q=， 2 1 (2) n nn aa q n = 将以上各式相加，得 2 1 1(2) n n aa q q n =+所以当 2n 时， 1 1 11 1 1. n n q q a q nq + = = ， ， 上式对 1n = 显然成立 （）解：由（） ，当 1q = 时，显然 3 a 不是 6 a 与

15、 9 a 的等差中项，故 1q 由 36 93 aa aa=可得 52 28 qq qq=，由 0q 得 36 11qq= ， 整理得 32 3 () 20qq+=，解得 3 2q = 或 3 1q = （舍去） 于是 3 2q = 另一方面， 21 1 3 3 (1) 11 nn n nn qq q aa q qq + + = = ， 15 1 6 6 (1 ) 11 nn n nn qq q aa q qq + + = = 由可得 36nn n n aa a an + = * N， 所以对任意的 n * N ， n a 是 3n a + 与 6n a + 的等差中项 21本小题主要考查利用

16、导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知 识，考查综合分析和解决问题的能力满分 14 分 （）解： 32 2 () 4 3 4 (4 3 4)fx x ax x xx ax =+ += + 当 10 3 a = 时， 2 ( ) (4 10 4) 2 (2 1)( 2)fx xx x xx x =+= 令 () 0fx = ，解得 1 0 x = ， 2 1 2 x = ， 3 2x = 当 x 变化时， ()f x ， ()f x 的变化情况如下表： x (0)， 0 1 0 2 ， 1 2 1 2 2 ， 2 (2 )+， ()f x 0 + 0 0 + ()f x 极小

17、值 极大值 极小值 所以 ()f x 在 1 0 2 ， ， (2 )+， 内是增函数，在 (0)， ， 1 2 2 ， 内是减函数 （）解： 2 () (4 3 4)fx xx ax =+，显然 0 x = 不是方程 2 4340 xax+ +=的根 为使 ()f x 仅在 0 x = 处有极值，必须 2 4340 xax+ 恒成立，即有 2 9640a= 解此不等式，得 88 33 a 这时， (0)f b= 是唯一极值 因此满足条件的 a 的取值范围是 88 33 ， （）解：由条件 22a， 可知 2 9640a=恒成立 当 0 x 时， () 0fx 时， () 0fx 因此函数 (

18、)f x 在 11 ， 上的最大值是 (1)f 与 (1)f 两者中的较大者 为使对任意的 22a， ，不等式 () 1fx 在 11 ， 上恒成立，当且仅当 (1) 1 (1) 1 f f ， ， 即 2 2 ba ba + ， 在 22a， 上恒成立 所以 4b ，因此满足条件的 b 的取值范围是 ( 4 ， 22本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比 分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能 力满分 14 分 （）解：设双曲线 C 的方程为 22 22 1( 0 0) xy ab ab = ， ，由题设得 22

19、9 5 . 2 ab b a += = ， 解得 2 2 4 5. a b = = ， 所以双曲线 C 的方程为 22 1 45 xy = （）解：设直线 l 的方程为 (0)ykxmk=+ ，点 11 ()M xy， ， 22 ()Nx y， 的坐标满足方 程组 22 1. 45 ykxm xy =+ = ， 将式代入式，得 22 () 1 45 xkxm+ =，整理得 22 2 (5 4 ) 8 4 20 0kx kmx m= 此方程有两个不等实根，于是 2 54 0k，且 222 ( 8 ) 4(5 4 )(4 20) 0km k m= + + 整理得 22 54 0mk+ 由根与系数的

20、关系可知线段 MN 的中点坐标 00 ()x y， 满足 12 0 2 4 254 xx km x k + = ， 00 2 5 54 m ykxm k =+= 从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 22 514 54 54 mkm yx kk k = 此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为 2 9 0 54 km k ， ， 2 9 0 54 m k ， 由题设可得 22 19 9 81 25 4 5 4 2 km m kk = null 整理得 22 2 (5 4 )k m k = ， 0k 将上式代入式得 22 2 (5 4 ) 54 0 k k k + ， 整理得 22 (4 5)(4 5) 0kkk， 0k 解得 5 0 2 k 所以 k 的取值范围是 55 55 00 42 24 + UUU， ， ， ，