2018年湖南省永州市祁阳县高考二模数学理及答案解析.docx

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1、2018年 湖 南 省 永 州 市 祁 阳 县 高 考 二 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： (共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的 .)1.已 知 集 合 M=y|y=2x， x 0， N=y|y= 22x x ， 则 M N等 于 ( )A.B.1C.y|y 1D.y|y 1解 析 ： M=y|y=2 x， x 0=y|y 1， N=y|y= 22x x =y|y= 222 1 1x x x 0， 1=y|0 y 1，则 M N=.答 案 ： A2.设 复 数 z

2、=1+2i (其 中 i 为 虚 数 单 位 )， 则 z 等 于 ( )A.1 2iB.1+2iC. 2iD.2i解 析 ： 221 221 1iiiz i ， 1 2z i .答 案 ： B3.下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.“ f(0)=0” 是 “ 函 数 f(x)是 奇 函 数 ” 的 充 要 条 件B.若 p： x0 R， x02 x0 1 0， 则 p： x R， x2 x 1 0C.若 p q 为 假 命 题 ， 则 p， q 均 为 假 命 题D.“ 若 = 6 ， 则 sin =12 ” 的 否 命 题 是 “ 若 6 ， 则 sin 12 ”解 析 ： 对 于

3、A， f (0)=0 时 ， 函 数 f(x)不 一 定 是 奇 函 数 ， 如 f(x)=x 2， x R；函 数 f(x)是 奇 函 数 时 ， f(0)不 一 定 =0， 如 f(x)=1x ， x 0；是 即 不 充 分 也 不 必 要 条 件 ， A错 误 ；对 于 B， 命 题 p： x0 R， x02 x0 1 0，则 p： x R， x2 x 1 0， B错 误 ；对 于 C， 若 p q为 假 命 题 ， 则 p， q 至 少 有 一 假 命 题 ， C 错 误 ；对 于 D， 若 = 6 ， 则 sin =12 的 否 命 题 是“ 若 6 ， 则 sin 12 ” ， D

4、正 确 .答 案 ： D4.在 等 差 数 列 a n中 ， Sn为 其 前 n 项 和 ， 若 a3+a4+a8=25， 则 S9=( )A.60B.75C.90D.105 解 析 ： 等 差 数 列 an中 ， Sn为 其 前 n 项 和 ， a3+a4+a8=25， 3a1+12d=25， 5 1 254 3a a d ， 9 1 9 59 259 9 752 3S a a a .答 案 ： B5.为 了 得 到 函 数 sin 2 3y x 的 图 象 ， 可 以 将 函 数 y=cos2x的 图 象 ( )A.向 左 平 移 512 个 单 位B.向 右 平 移 512 个 单 位C

5、.向 右 平 移 6 个 单 位 D.向 左 平 移 6 个 单 位解 析 ： 由 题 意 y=cos2x=sin(2x+ 2 )，函 数 y=sin(2x+ 2 ) 的 图 象 经 过 向 右 平 移 512 ， 得 到 函 数 5sin 2 sin 21 2 2 3y x x 的 图 象 .答 案 ： B6.已 知 非 零 向 量 a， b 的 夹 角 为 60 ， 且 |b |=1， 2 1a b ， 则 |a|=( )A.12B.1 C. 2D.2解 析 ： 非 零 向 量 a， b 的 夹 角 为 60 ， 且 |b |=1， 1 1 2 2aab a ， 2 1a b ， 2 22

6、 22 4 4 4 2 1 1a b a a b b a a ， 24 2 0a a ， 12a .答 案 ： A7.函 数 2 lnx xy x 的 图 象 大 致 是 ( ) A. B.C.D.解 析 ： 由 题 意 知 当 x 1 或 x 1 时 ， y 0， 故 排 除 A、 B； 又 当 x 0 时 ， 函 数 2 lnx xy x 的 值 也 趋 近 于 0， 故 排 除 C.答 案 ： D8.已 知 3tan 4 4 ， 则 2cos 4 =( )A. 725B. 925C.1625D.2425解 析 ： 3tan 4 4 ， 22 2 2 2sin 4cos sin4 4 si

7、n cos4 4 2 221 1 1 91 16 251 1cos 941 4sin 4 tan .答 案 ： B9.已 知 偶 函 数 2f x ， 当 2 2x ， 时 ， 13 sinf x x x ， 设 a=f(1)， b=f(2)， c=f(3)，则 ( ) A.a b cB.b c aC.c b aD.c a b解 析 ： 当 2 2x ， 时 ， y=sinx 单 调 递 增 ， 13y x 也 为 增 函 数 ， 函 数 13 sinf x x x ， 也 为 增 函 数 . 函 数 2f x 为 偶 函 数 ， 2 2f x f x ， f(2)=f( 2)， f(3)=f

8、( 3)， 0 3 1 2 2 ， f( 3) f(1) f( 2)，即 c a b.答 案 ： D10.函 数 f(x)的 定 义 域 为 R， f( 2)=2018， 对 任 意 的 x R， 都 有 f (x) 2x 成 立 ， 则 不 等式 f(x) x2+2014的 解 集 为 ( )A.( 2， + )B.(2， 2)C.( ， 2)D.R解 析 ： 根 据 题 意 ， 令 g(x)=f(x) x 2 2014， 则 g (x)=f (x) 2x 0， 函 数 g(x)在 R上 单 调 递 减 ，而 f( 2)=2018， g( 2)=f( 2) ( 2)2 2014=0. 不 等

9、 式 f(x) x2+2014， 可 化 为 g(x) g( 2)， x 2.即 不 等 式 f(x) x2+2014的 解 集 为 ( 2， + ).答 案 ： A11.过 点 P( 1， 1)作 圆 C： (x t) 2+(y t+2)2=1(t R)的 切 线 ， 切 点 分 别 为 A， B， 则 PA PB 的 最 小 值 为 ( )A.103B.403C.214D.2 2 3解 析 ： 圆 C： (x t) 2+(y t+2)2=1的 圆 心 坐 标 为 (t， t 2)， 半 径 为 1， |PC|2=(t+1)2+(t 3)2=2t2 4t+10， |PA|2=|PB|2=|P

10、C|2 1=(t+1)2+(t 3)2 1=2t2 4t+9，222 4 9cos 2 4 10AB t tAPC PC t t ， cos PAB=2cos2 APC 1= 2 2 22 2 22 4 9 2 4 8 2 42 12 4 10 2 4 10 2 5t t t t t tt t t t t t 22 2 2 4cos 2 4 9 2 5t tPA PB PA PB PAB t t t t 22 2 2 2 42 5 2 4 2 5t tt t t t t t ，设 t2 2t+4=x， 则 x 3，则 221 1 1x x xPA PB f x x x x x ， 2 22 3

11、 1 01x xf x x 恒 成 立 ， f(x)在 3， + )单 调 递 增 ， f(x) min=f(3)=214 ， PA PB 的 最 小 值 为 214 .答 案 ： C12.已 知 数 列 an与 bn的 前 n 项 和 分 别 为 Sn， Tn， 且 an 0， 6Sn=an2+3an， n N*， 122 1 2 1n nnn a aab ， 若 n N*， k T n恒 成 立 ， 则 k的 最 小 值 是 ( )A.17B.49C. 149D. 8441解 析 ： 6S n=an2+3an， 6Sn+1=an+12+3an+1， 6an+1=(an+1+an)(an+1

12、 an)+3(an+1 an) (an+1+an)(an+1 an)=3(an+1+an)， an 0， an+1+an 0， an+1 an=3，又 6a1=a12+3a1， a1 0， a1=3. an是 以 3 为 首 项 ， 以 3 为 公 差 的 等 差 数 列 ， a n=3n， 11 12 1 1 1 1 1 17 7 8 1 8 12 1 2 12 1 2 1 n nn nnn a a n na aab ， 2 2 3 11 1 1 1 1 1 17 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1n n nT = 11 1 1 1 1 17 7 7 7 498 1n . k 1

13、49 .答 案 ： C 二 、 填 空 题 (本 题 共 4 小 题 ， 共 20分 .把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 的 横 线 上 )13.公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 若 a2， a5， a14成 等 比 数 列 ， 25 3S a ， 则a10=_.解 析 ： 设 数 列 的 公 差 为 d， (d 0) S5=a32， 得 ： 5a3=a32， a3=0或 a3=5； a2， a5， a14成 等 比 数 列 ， a 52=a2 a14， (a3+2d)2=(a3 d)(a3+11d)若 a3=0， 则 可 得 4d2= 11

14、d2即 d=0不 符 合 题 意 ，若 a3=5， 则 可 得 (5+2d)2=(5 d)(5+11d)，解 可 得 d=0(舍 )或 d=2， a10=a3+7d=5+7 2=19.答 案 ： 1914.在 ABC 中 ， 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 若 sinA=2sinB， 且 a+b= 3c， 则 角C的 大 小 为 _.解 析 ： sinA=2sinB，由 正 弦 定 理 ： 可 得 a=2b.即 a 2=4b2. a+b= 3c， 即 3b= 3c，由 余 弦 定 理 ： 2abcosC=a2+b2 c2.可 得 ： cosC=12 . 0 C

15、. C=60 .答 案 ： 6015.已 知 函 数 f(x)= 2lg 06 4 0 x xf x x x x ， ， 若 关 于 x的 函 数 y=f 2(x) bf(x)+1有 8 个不 同 的 零 点 ， 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 作 函 数 2lg 06 4 0 x xf x x x x ， ， 的 图 象 如 下 图 ， 关 于 x 的 函 数 y=f2(x) bf(x)+1有 8个 不 同 的 零 点 ， 方 程 x2 bx+1=0有 2 个 不 同 的 正 解 ， 且 在 (0， 4上 ； 21 002 4 016 4 1 0b b b ，解 得

16、， 2 b 174 .答 案 ： (2， 174 16.已 知 函 数 f(x)= xlnx+ax在 区 间 (0， e)内 是 增 函 数 ， 函 数 22x ag x e a (其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数 )， 当 x 0， 1n3时 ， 函 数 g(x)的 最 大 值 M 与 最 小 值 m 的 差 为 32 .则 实数 a=_.解 析 ： f(x)= xlnx+ax， f(x)= lnx+a 1 函 数 f(x)= xlnx+ax 在 (0， e)上 是 增 函 数 f(x)= lnx+a 1 0在 (0， e)恒 成 立 y= lnx是 (0， e)上 的 减 函 数

17、f(x)= lnx+a+1的 最 小 值 大 于 等 于 0 即 可 ， 即 1+a 1 0 a 2 22 222 2x xx x xae a e aag x e a ae a e a ， ， x 0， ln3， e x 1， 3 ex=a时 ， 函 数 取 得 最 小 值 为 22a x=0时 ， 2 2= 12 2x a ae a a ； x=ln3 时 ， 2 2=32 2x a ae a a 3 a 2 时 ， 函 数 g(x)的 最 大 值 M= 21 2aa 函 数 g(x)的 最 大 值 M 与 最 小 值 m的 差 为 32 3 a 2时 ， 2 2 31 2 2 2=a aa

18、 a=52 a 3 时 ， x0 ln3， 此 时 x 在 0， ln3内 单 调 递 减 ， 所 以 函 数 在 f(0)处 取 最 大 值 ， 在 f(ln3)处 取 最 小 值 ， a=114 不 符 合 a大 于 3， 所 以 舍 去 .答 案 ： 52三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 70分 .请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 必 要的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.已 知 幂 函 数 22 4 21 m mf x m x 在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 函 数 g(x

19、)=2 x k( )求 m 的 值 ； ( )当 x 1， 2时 ， 记 f(x)， g(x)的 值 域 分 别 为 集 合 A， B， 设 命 题 p： x A， 命 题 q： x B， 若 命 题 p 是 q 成 立 的 必 要 条 件 ， 求 实 数 k 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )根 据 幂 函 数 的 定 义 和 性 质 求 出 m检 验 即 可 ， ( )结 合 集 合 的 关 系 进 行 求 解 .答 案 ： ( )依 题 意 得 ： (m 1)2=1， m=0或 m=2，当 m=2时 ， f(x)=x 2在 (0， + )上 单 调 递 减 ，与 题 设 矛 盾 ，

20、 舍 去 ， m=0.( )由 ( )得 ： f(x)=x2，当 x 1， 2)时 ， f(x) 1， 4)， 即 A=1， 4)，当 x 1， 2)时 ， g(x) 2 k， 4 k)， 即 B=2 k， 4 k)，若 命 题 p 是 q 成 立 的 必 要 条 件 ， 则 BA，则 2 14 4kk ， 即 10kk ，解 得 ： 0 k 1. 18.在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 满 足 sin sinsin sina c A Bb A C .( )求 角 C；( )求 a bc 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )已 知 等 式

21、利 用 正 弦 定 理 化 简 ， 再 利 用 余 弦 定 理 表 示 出 cosC， 将 得 出 关 系 式 代 入求 出 cosC 的 值 ， 确 定 出 C 的 度 数 ；( )由 ( )及 正 弦 定 理 化 简 可 得 ： a bc =2sin(A+ 6 )， 结 合 A 的 范 围 ， 可 得 12 sin(A+ 3 ) 1， 即 可 得 解 .答 案 ： ( ) sin sinsin sina c A Bb A C . 由 正 弦 定 理 sin sin sina b cA B C ， 可 得 ： a c a bb a c ， 整 理 可 得 ： a 2+b2 c2=ab， 由

22、余 弦 定 理 可 得 ： 2 2 2 1cos 2 2 2a b c abC ab ab ， C (0， )， C= 3 ；( ) 由 ( )可 得 ： B=23 A， 由 正 弦 定 理 可 得 ： 2 3 3sin sin 3sincos sin3 6sin sin 2 2 2sinsin 63 3 32 2 2A A AA Aa b A B Ac C ， 2 5 10 sin 13 6 6 6 2 6A A A ， ， ， 从 而 解 得 ： a bc =2sin(A+ 6 ) (1， 2.19.已 知 函 数 f(x)= 3sin xcos x sin2 x+1( 0)图 象 的 相

23、 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距离 为 2 . ( )求 的 值 及 函 数 f(x)的 单 调 递 减 区 间 ；( )如 图 ， 在 锐 角 三 角 形 ABC中 有 f(B)=1， 若 在 线 段 BC上 存 在 一 点 D使 得 AD=2， 且 AC= 6 ，CD= 3 1， 求 三 角 形 ABC的 面 积 .解 析 ： ( )利 用 二 倍 角 和 辅 助 角 公 式 化 简 ， 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 2 .可 得 12 2T ，即 可 求 的 值 ， 可 得 f(x)的 解 析 式 即 可 求 函 数 f(x)的 单 调 递 减 区 间 ；(

24、 )根 据 f(B)=1， 求 解 B 角 ， 在 ADC 中 利 用 余 弦 定 理 求 解 cosC， 在 求 解 A 角 ， 即 可 求 解三 角 形 ABC的 面 积 . 答 案 ： ( ) 函 数 2 3 1 1 13sin cos sin 1 sin2 cos2 1 sin 22 2 2 6 2f x x x x x x x 图 象 的 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 2 . 12 2T ， 即 T=那 么 ： 22T ，可 得 =1那 么 1sin 2 6 2f x x 由 32 2 22 6 2k x k 得 ： 36 2k x k . 函 数 f(x)的

25、单 调 递 减 区 间 为 36 2k k ， ， k Z.( )由 f(B)=1， 即 1sin 2 16 2f B B . 0 2B ， 726 6 6B 52 =6 6B 解 得 ： B= 3 .在 ADC中 ， AD=2， 且 AC= 6 ， CD= 3 1，利 余 弦 定 理 ： 2 2 2 2cos 2 2C DC ACC A AC DC . 0 2C ， C= 4 .由 A+B+C= ， 74 3 12A 由 正 弦 定 理 ： sin sinAB ACC B ， 可 得 AB=2.那 么 三 角 形 ABC的 面 积 1 3 3sin2 2S AB AC A .20.等 差 数

26、 列 a n的 前 n 项 和 为 Sn， 数 列 bn是 等 比 数 列 ， 满 足 a1=3， b1=1， b2+S2=10， a5 2b2=a3.( )求 数 列 an和 bn的 通 项 公 式 ；( )令 2nn n nSC b n ， 为 奇 数， 为 偶 数 设 数 列 cn的 前 n项 和 Tn， 求 T2n.解 析 ： (I)利 用 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 通 项 公 式 即 可 得 出 ；( )由 a 1=3， an=2n+1 得 Sn=n(n+2).则 n 为 奇 数 ， 2 1 12n nc S n n .“ 分 组 求 和 ” ， 利 用“ 裂 项 求

27、和 ” 、 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： ( )设 数 列 an的 公 差 为 d， 数 列 bn的 公 比 为 q，由 b2+S2=10， a5 2b2=a3.得 6 103 4 2 3 2q dd q d ， 解 得 22dq a n=3+2(n 1)=2n+1， bn 2n-1.( )由 a1=3， an=2n+1 得 Sn=n(n+2)，则 n 为 奇 数 ， 2 1 12n nc S n n ，n为 偶 数 ， cn=2n 1. T2n=(c1+c3+ +c2n 1)+(c2+c4+ +c2n)= 3 2 11 1 1 1 11 2 2 2

28、3 3 5 2 1 2 1 nn n = 2 1 41 2 21 4 12 1 1 4 2 1 3n nnn n .21.已 知 函 数 f(x)=x 2+ax+1， 其 中 a R， 且 a 0( )设 h(x)=(2x 3)f(x)， 若 函 数 y=h(x)图 象 与 x 轴 恰 有 两 个 不 同 的 交 点 ， 试 求 a 的 取 值集 合 ；( )当 a 2 时 ， 求 函 数 y=|f(x)|在 0， 1上 最 大 值 .解 析 ： ( )分 类 讨 论 ， 从 而 由 f(x)=0 恰 有 一 解 及 f(x)=0有 两 个 不 同 的 解 求 得 ；( )分 类 讨 论 ，

29、从 而 确 定 二 次 函 数 的 单 调 性 及 最 值 ， 从 而 确 定 函 数 y=|f(x)|在 0， 1上 的最 大 值 .答 案 ： ( )若 f(x)=0恰 有 一 解 ， 且 解 不 为 32 ，即 a 2 4=0， 解 得 a= 2；若 f(x)=0 有 两 个 不 同 的 解 ， 且 其 中 一 个 解 为 32 ，代 入 得 1 04 329 a ， 解 得 a= 136 ， 检 验 满 足 0；综 上 所 述 ， a 的 取 值 集 合 为 136 ， 2， 2.( )(1)若 2a 0， 即 a 0时 ，函 数 y=|f(x)|在 0， 1上 单 调 递 增 ，故

30、ymax=f(1)=2+a；(2)若 0 2a 1， 即 2 a 0时 ，此 时 =a 2 4 0， 且 f(x)的 图 象 的 对 称 轴 在 (0， 1)上 ， 且 开 口 向 上 ；故 ymax=maxf(0)， f(1)=max1， a+2= 2 11 2 1a aa ， ，综 上 所 述 ， ymax= 2 11 2 1a aa ， 22.已 知 函 数 f(x)=ax+xlnx(a R)(1)若 函 数 f(x)在 区 间 e， + )上 为 增 函 数 ， 求 a 的 取 值 范 围 ；(2)当 a=1 且 k Z 时 ， 不 等 式 k(x 1) f(x)在 x (1， + )

31、上 恒 成 立 ， 求 k 的 最 大 值 .解 析 ： (1)函 数 f(x)在 区 间 e， + )上 为 增 函 数 ， 可 得 f (x)=a+lnx+1 0 在 区 间 e， + )上 恒 成 立 ， 转 化 为 a ( lnx 1) max.即 可 得 出 .(2)a=1 时 ， f(x)=x+lnx， k Z 时 ， 不 等 式 k(x 1) f(x)在 x (1， + )上 恒 成 立 ， 可 得 minln1x x xk x ， 令 g(x)= ln1x x xx ， 则 2ln 21x xg x x ， 令 h(x)=x lnx 2(x 1).利 用 导 数 研 究 其 单

32、 调 性 、 函 数 零 点 即 可 得 出 .答 案 ： (1) 函 数 f(x)在 区 间 e， + )上 为 增 函 数 ， f (x)=a+lnx+1 0 在 区 间 e， + )上 恒 成 立 ， a ( lnx 1)max= 2. a 2. a 的 取 值 范 围 是 2， + ).(2)a=1时 ， f(x)=x+lnx， k Z 时 ， 不 等 式 k(x 1) f(x)在 x (1， + )上 恒 成 立 ， minln1x x xk x ，令 g(x)= ln1x x xx ， 则 2ln 21x xg x x ， 令 h(x)=x lnx 2(x 1).则 1 11 0 xh x x x ， h(x)在 (1， + )上 单 增 ， h(3)=1 ln3 0， h(4)=2 2ln2 0，存 在 x0 (3， 4)， 使 h(x0)=0.即 当 1 x x0时 h(x) 0 即 g (x) 0 x x0时 h(x) 0 即 g (x) 0g(x)在 (1， x 0)上 单 减 ， 在 (x0+ )上 单 增 .令 h(x0)=x0 lnx0 2=0， 即 lnx0=x0 2， 0 0 0 00 0min 0 01 ln 1 2 341 1x x x xg x g x xx x ， .k g(x)min=x0 (3， 4)， 且 k Z， kmax=3.