2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学文及答案解析.docx

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1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 西 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 没 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的1.若 复 数 z满 足 z(1+i)=2i(i为 虚 数 单 位 )， 则 |z|=( )A.1B.2C.D.解 析 ： 复 数 z满 足 z(1+i)=2i(i为 虚 数 单 位 )， z= = =1+i， |z|= = .答 案 ： C.2.设 全 集 为 R， 集 合 A=x|x2-9 0， B=x|-

2、1 x 5， 则 A (CRB)=( )A.(-3， 0)B.(-3， -1)C.(-3， -1D.(-3， 3)解 析 ： 集 合 A=x|x 2-9 0=x|-3 x 3， B=x|-1 x 5， CRB=x|x -1， 或 x 5，则 A (CRB)=x|-3 x -1，答 案 ： C.3.掷 两 颗 均 匀 的 骰 子 ， 则 点 数 之 和 为 5的 概 率 等 于 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 抛 掷 两 颗 骰 子 所 出 现 的 不 同 结 果 数 是 6 6=36事 件 “ 抛 掷 两 颗 骰 子 ， 所 得 两 颗 骰 子 的 点 数 之 和 为 5” 所 包 含 的

3、 基 本 事 件 有 (1， 4)， (2， 3)，(3， 2)， (4， 1)共 四 种 ， 故 事 件 “ 抛 掷 两 颗 骰 子 ， 所 得 两 颗 骰 子 的 点 数 之 和 为 5” 的 概 率 是= .答 案 ： B.4.已 知 函 数 f(x)= (a R)， 若 ff(-1)=1， 则 a=( ) A.B.C.1D.2解 析 ： ff(-1)=1， ff(-1)=f(2-(-1)=f(2)=a22=4a=1 .答 案 ： A.5.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， 若 3a=2b， 则 的 值 为 ( )A.-B.C.1D.解

4、 析 ： 3a=2b， b= ， 根 据 正 弦 定 理 可 得= = = . 答 案 ： D.6.下 列 叙 述 中 正 确 的 是 ( )A.若 a， b， c R， 则 “ ax2+bx+c 0” 的 充 分 条 件 是 “ b2-4ac 0”B.若 a， b， c R， 则 “ ab2 cb2” 的 充 要 条 件 是 “ a c”C.命 题 “ 对 任 意 x R， 有 x2 0” 的 否 定 是 “ 存 在 x R， 有 x2 0”D.l 是 一 条 直 线 ， ， 是 两 个 不 同 的 平 面 ， 若 l ， l ， 则 解 析 ： (1)对 于 选 项 A： 若 a， b，

5、c R， 当 “ ax 2+bx+c 0” 对 于 任 意 的 x 恒 成 立 时 ， 则 有 ： 当 a=0时 ， b=0， c 0， 此 时 b2-4ac=0， b2-4ac 0成 立 ； 当 a 0 时 ， b2-4ac 0. “ ax2+bx+c 0” 是 “ b2-4ac 0” 充 分 不 必 要 条 件 ， “ b2-4ac 0” 是 “ ax2+bx+c 0” 必 要不 充 分 条 件 .故 选 项 A 不 正 确 .(2)对 于 选 项 B： 当 ab2 cb2时 ， b2 0， 且 a c， “ ab2 cb2” 是 “ a c” 的 充 分 条 件 .反 之 ， 当 a c

6、 时 ， 若 b=0， 则 ab2=cb2， 不 等 式 ab2 cb2不 成 立 . “ a c” 是 “ ab2 cb2”的 必 要 不 充 分 条 件 .故 选 项 B 不 正 确 .(3)对 于 选 项 C： 结 论 要 否 定 ， 注 意 考 虑 到 全 称 量 词 “ 任 意 ” ，命 题 “ 对 任 意 x R， 有 x 2 0” 的 否 定 应 该 是 “ 存 在 x R， 有 x2 0” .故 选 项 C不 正 确 . (4)对 于 选 项 D： 命 题 “ l是 一 条 直 线 ， ， 是 两 个 不 同 的 平 面 ， 若 l ， l ， 则 .”是 两 个 平 面 平

7、行 的 一 个 判 定 定 理 .故 答 案 为 ： D7.某 人 研 究 中 学 生 的 性 别 与 成 绩 、 视 力 、 智 商 、 阅 读 量 这 4 个 变 量 的 关 系 ， 随 机 抽 查 了 52名 中 学 生 ， 得 到 统 计 数 据 如 表 1 至 表 4， 则 与 性 别 有 关 联 的 可 能 性 最 大 的 变 量 是 ( )表 1表 2 表 3表 4 A.成 绩B.视 力C.智 商D.阅 读 量解 析 ： 表 1： X2= 0.009；表 2： X 2= 1.769； 表 3： X2= 1.3；表 4： X2= 23.48， 阅 读 量 与 性 别 有 关 联 的

8、 可 能 性 最 大 ，答 案 ： D.8.阅 读 如 图 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 则 程 序 运 行 后 输 出 的 结 果 为 ( ) A.7B.9C.10D.11解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 S=0+lg +lg +lg + +lg 的 值 ， S=lg +lg + +lg =lg -1， 而 S=lg +lg + +lg =lg -1， 跳 出 循 环 的 i值 为 9， 输 出 i=9.答 案 ： B.9.过 双 曲 线 C： - =1 的 右 顶 点 做 x 轴 的 垂 线 ， 与 C 的 一 条 渐 近 线 相 交

9、 于 点 A， 若 以 C 的 右 焦 点 为 圆 心 、 半 径 为 4 的 圆 经 过 A， O 两 点 (O为 坐 标 原 点 )， 则 双 曲 线 C 的 方 程 为 ( )A. - =1B. - =1C. - =1D. - =1 解 析 ： 由 题 意 ， c=4， 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y= ，令 x=a， 则 y=b， 即 A(a， b)， 右 焦 点 F(4， 0)， |FA|=4， (a-4)2+b2=16， a2+b2=16， a=2， b=2 ， 双 曲 线 C 的 方 程 为 - =1.答 案 ： A.10.在 同 一 直 角 坐 标 系 中

10、， 函 数 y=ax2-x+ 与 y=a2x3-2ax2+x+a(a R)的 图 象 不 可 能 的 是( ) A.B. C.D.解 析 ： 当 a=0时 ， 函 数 y=ax 2-x+ 的 图 象 是 第 二 ， 四 象 限 的 角 平 分 线 ，而 函 数 y=a2x3-2ax2+x+a的 图 象 是 第 一 ， 三 象 限 的 角 平 分 线 ， 故 D 符 合 要 求 ；当 a 0 时 ， 函 数 y=ax2-x+ 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 直 线 x= ，由 y=a2x3-2ax2+x+a可 得 ： y =3a2x2-4ax+1，令 y =0， 则 x 1= ， x2= ，

11、即 x1= 和 x2= 为 函 数 y=a2x3-2ax2+x+a的 两 个 极 值 点 ， 对 称 轴 x= 介 于 x1= 和 x2= 两 个 极 值 点 之 间 ，故 A、 C 符 合 要 求 ， B不 符 合 ，答 案 ： B二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分11.若 曲 线 y=xlnx 上 点 P处 的 切 线 平 行 与 直 线 2x-y+1=0， 则 点 P 的 坐 标 是 .解 析 ： 函 数 的 定 义 域 为 (0， + )，函 数 的 导 数 为 f (x)=lnx+x =1+lnx， 直 线 2x-y+1=0的

12、斜 率 k=2， 曲 线 y=xlnx 上 点 P 处 的 切 线 平 行 与 直 线 2x-y+1=0， f (x)=1+lnx=2，即 lnx=1， 解 得 x=e， 此 时 y=elne=e， 故 点 P 的 坐 标 是 (e， e)， 答 案 ： (e， e)12.已 知 单 位 向 量 与 的 夹 角 为 ， 且 cos = ， 若 向 量 =3 -2 ， 则 | |= .解 析 ： =9 =9， | |=3，答 案 ： 3.13.在 等 差 数 列 a n中 ， a1=7， 公 差 为 d， 前 n 项 和 为 Sn， 当 且 仅 当 n=8时 Sn取 得 最 大 值 ， 则d的

13、取 值 范 围 为 .解 析 ： Sn =7n+ ， 当 且 仅 当 n=8时 Sn取 得 最 大 值 ， ， 即 ， 解 得 ：综 上 ： d的 取 值 范 围 为 (-1， - ).答 案 ： (-1， - ) 14.设 椭 圆 C： + =1(a b 0)的 左 右 焦 点 为 F1， F2， 过 F2作 x 轴 的 垂 线 与 C 相 交 于 A，B两 点 ， F1B与 y轴 相 交 于 点 D， 若 AD F1B， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 等 于 .解 析 ： 不 妨 假 设 椭 圆 中 的 a=1， 则 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，当 x=c时 ， 由 + =1

14、得 y= =b2， 即 A(c， b2)， B(c， -b2)，设 D(0， m)， F 1， D， B三 点 共 线 ， ， 解 得 m=- ， 即 D(0， - )， 若 AD F1B， 在 ， 即 =-1，即 3b4=4c2， 则 b2=2c= (1-c2)=2c， 即 c2+2c- =0，解 得 c= = ， 则 c= ， a=1， 离 心 率 e= = ， 答 案 ： .15.x， y R， 若 |x|+|y|+|x-1|+|y-1| 2， 则 x+y的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 根 据 绝 对 值 的 意 义 可 得 |x|+|x-1|表 述 数 轴 上 的 x 对 应 点

15、 到 0、 1对 应 点 的 距 离 之 和 ，其 最 小 值 为 1；|y|+|y-1|表 述 数 轴 上 的 y 对 应 点 到 0、 1 对 应 点 的 距 离 之 和 ， 其 最 小 值 为 1；故 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|的 最 小 值 为 2.再 根 据 |x|+|y|+|x-1|+|y-1| 2， 可 得 只 有 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2，此 时 ， 0 x 1， 0 y 1， 0 x+y 2，答 案 ： 0， 2.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演

16、算 步 骤 . 16.(12分 )已 知 函 数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+ )为 奇 函 数 ， 且 f( )=0， 其 中 a R， (0， ).(1)求 a， 的 值 ；(2)若 f( )=- ， ( ， )， 求 sin( + )的 值 .解 析 ： (1)把 x= 代 入 函 数 解 析 式 可 求 得 a 的 值 ， 进 而 根 据 函 数 为 奇 函 数 推 断 出 f(0)=0，进 而 求 得 cos ， 则 的 值 可 得 . (2)利 用 f( )=- 和 函 数 的 解 析 式 可 求 得 sin ， 进 而 求 得 cos ， 进 而 利 用 二 倍

17、角 公 式分 别 求 得 sin ， cos ， 最 后 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 求 得 答 案 .答 案 ： (1)f( )=-(a+1)sin =0， (0， ). sin 0， a+1=0， 即 a=-1 f(x)为 奇 函 数 ， f(0)=(a+2)cos =0， cos =0， = .(2)由 (1)知 f(x)=(-1+2cos 2x)cos(2x+ )=cos2x(-sin2x)=- ， f( )=- sin =- ， sin = ， ( ， )， cos = =- ， sin( + )=sin cos +cos sin = .17.(12分 )已 知

18、数 列 a n的 前 n 项 和 Sn= ， n N*.(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2)证 明 ： 对 任 意 的 n 1， 都 存 在 m N*， 使 得 a1， an， am成 等 比 数 列 .解 析 ： (1)利 用 “ 当 n 2时 ， an=Sn-Sn-1； 当 n=1时 ， a1=S1” 即 可 得 出 ；(2)对 任 意 的 n 1， 假 设 都 存 在 m N*， 使 得 a1， an， am成 等 比 数 列 .利 用 等 比 数 列 的 定 义 可得 ， 即 (3n-2)2=1 (3m-2)， 解 出 m 为 正 整 数 即 可 .答 案 ： (1) S

19、 n= ， n N*. 当 n 2 时 ， an=Sn-Sn-1= - =3n-2， (*)当 n=1时 ， a1=S1= =1.因 此 当 n=1时 ， (*)也 成 立 . 数 列 a n的 通 项 公 式 an=3n-2.(2)证 明 ： 对 任 意 的 n 1， 假 设 都 存 在 m N*， 使 得 a1， an， am成 等 比 数 列 .则 ， (3n-2)2=1 (3m-2)， 化 为 m=3n2-4n+2， n 1， m=3n2-4n+2= 6，因 此 对 任 意 的 n 1， 都 存 在 m=3n2-4n+2 N*， 使 得 a1， an， am成 等 比 数 列 .18.

20、(12分 )已 知 函 数 f(x)=(4x 2+4ax+a2) ， 其 中 a 0. (1)当 a=-4时 ， 求 f(x)的 单 调 递 增 区 间 ；(2)若 f(x)在 区 间 1， 4上 的 最 小 值 为 8， 求 a 的 值 .解 析 ： (1)当 a=-4时 ， 先 求 导 ， 在 根 据 导 数 求 出 f(x)的 单 调 递 增 区 间 ；(2)利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 从 而 得 出 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 小 值 ， 即 得 到 参 数 的 一 个 方程 ， 从 而 求 出 参 数 的 值 .答 案 ； (1)当 a=-4时 ， f

21、(x)=(4x2+4ax+a2) ， f(x)=(4x2-16x+16) ， f (x)=(8x-16) +(4x2-16x+16) =2 ( )= ， f (x) 0， x 0 5x 2-12x+4 0， 解 得 ， 0 x ， 或 x 2 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 .(2) f(x)=(4x2+4ax+a2) ， ，令 f (x)=0.解 得 ，当 f (x) 0 时 ， x在 (0， )或 为 单 调 递 增 ，当 f (x) 0 时 ， x在 ( )上 单 调 递 减 ， 当 4， 即 a -40， f(x)在 区 间 1， 4为 增 函 数 ， 由 f(1)=8， 解

22、得 a=-2 ， 当 ， 即 -2 a 0 时 ， f(x)在 区 间 1， 4为 增 函 数 ， 由 f(1)=8， 解 得 a=-2 ，不 符 合 舍 去 . 当 ， 即 -10 a -8时 ， f(x)在 区 间 1， 4为 减 函 数 ， 由 f(4)=8，解 得 a=-10， 当 ， 即 -40 a -10时 ， 由 f(1)=8或 f(4)=8， 解 得 ， a=-2 ， 或 a=-6，a=-10， 不 符 合 舍 去 ， 当 ， 即 -8 a -4时 ， 由 f( )=8， 无 解 . 综 上 所 述 ， a=-1019.(12分 )如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中

23、 ， AA1 BC， A1B BB1，(1)求 证 ： A 1C CC1； (2)若 AB=2， AC= ， BC= ， 问 AA1为 何 值 时 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1体 积 最 大 ， 并 求 此 最 大值 .解 析 ： (1)通 过 证 明 直 线 CC1与 平 面 BA1C垂 直 ， 即 可 证 明 A1C CC1；(2)作 AO B 于 O， 连 结 A1O， 说 明 AA1O=90 ， 设 A1A=h， 求 出 A1O 的 表 达 式 ， 以 及 三 棱 柱ABC-A1B1C1体 积 V 的 表 达 式 ， 利 用 二 次 函 数 的 最 值 ， 求 最 大 值 .答

24、 案 ： (1) 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， A1A CC1 BB1， AA1 BC， CC1 BA1， A 1B BB1， A1B CC1， BC BA1=B， CC1 平 面 BA1C， A1C平 面 BA1C， A1C CC1；(2)作 AO B 于 O， 连 结 A1O， 由 (1)可 知 AA1O=90 ， AB=2， AC= ， BC= ， AB AC， AO= ， 设 A 1A=h， A1O= = ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1体 积 V= = = ，当 h2= ， 即 h= 时 ， 即 AA1= 时 棱 柱 的 体 积 最 大 ， 最 大 值 为 ： .20.

25、(13分 )如 图 ， 已 知 抛 物 线 C： x 2=4y， 过 点 M(0， 2)任 作 一 直 线 与 C相 交 于 A， B两 点 ， 过点 B 作 y 轴 的 平 行 线 与 直 线 AO相 交 于 点 D(O为 坐 标 原 点 ).(1)证 明 ： 动 点 D 在 定 直 线 上 ；(2)作 C 的 任 意 一 条 切 线 l(不 含 x轴 )， 与 直 线 y=2相 交 于 点 N 1， 与 (1)中 的 定 直 线 相 交 于 点N2， 证 明 ： |MN2|2-|MN1|2为 定 值 ， 并 求 此 定 值 . 解 析 ： (1)设 AB的 方 程 为 y=kx+2， 代

26、入 x2=4y， 整 理 得 x2-4kx-8=0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 有 ： x1x2=-8， 由 直 线 AO的 方 程 y= x 与 BD 的 方 程 x=x2联 立 即 可 求 得 交 点 D 的 坐 标 为， 利 用 x1x2=-8， 即 可 求 得 D 点 在 定 直 线 y=-2(x 0)上 ；(2)依 题 设 ， 切 线 l 的 斜 率 存 在 且 不 等 于 0， 设 切 线 l 的 方 程 为 y=ax+b(a 0)， 代 入 x 2=4y，由 =0化 简 整 理 得 b=-a2， 故 切 线 l的 方 程 可 写 成 y=ax-a2.分 别

27、 令 y=2、 y=-2 得 N1、 N2的 坐标 为 N1( +a， 2)、 N2(- +a， -2)， 从 而 可 证 |MN2|2-|MN1|2为 定 值 8.答 案 ： (1)依 题 意 ， 可 设 AB 的 方 程 为 y=kx+2， 代 入 x2=4y， 得 x2=4(kx+2)， 即 x2-4kx-8=0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 有 ： x1x2=-8，直 线 AO的 方 程 为 y= x； BD 的 方 程 为 x=x 2.解 得 交 点 D 的 坐 标 为 .注 意 到 x1x2=-8 及 =4y1， 则 有 y= = =-2，因 此 D点 在 定

28、 直 线 y=-2(x 0)上 .(2)依 题 设 ， 切 线 l 的 斜 率 存 在 且 不 等 于 0， 设 切 线 l的 方 程 为 y=ax+b(a 0)， 代 入 x2=4y得 x 2=4(ax+b)， 即 x2-4ax-4b=0，由 =0得 (4a)2+16b=0， 化 简 整 理 得 b=-a2.故 切 线 l 的 方 程 可 写 成 y=ax-a2.分 别 令 y=2、 y=-2得 N1、 N2的 坐 标 为 N1( +a， 2)、 N2(- +a， -2)，则 |MN2|2-|MN1|2= +42- =8， 即 |MN2|2-|MN1|2为 定 值 8.21.(14分 )将

29、连 续 正 整 数 1， 2， ， n(n N *)从 小 到 大 排 列 构 成 一 个 数 ， F(n)为 这个 数 的 位 数 (如 n=12时 ， 此 数 为 123456789101112， 共 15个 数 字 ， F(12)=15)， 现 从 这 个 数中 随 机 取 一 个 数 字 ， p(n)为 恰 好 取 到 0的 概 率 .(1)求 p(100)；(2)当 n 2014 时 ， 求 F(n)的 表 达 式 ；(3)令 g(n)为 这 个 数 中 数 字 0的 个 数 ， f(n)为 这 个 数 中 数 字 9的 个 数 ， h(n)=f(n)-g(n)，S=n|h(n)=1

30、， n 100， n N*， 求 当 n S 时 p(n)的 最 大 值 .解 析 ： (1)根 据 题 意 ， 首 先 分 析 n=100 时 ， 这 个 数 的 位 数 ， 进 而 可 得 其 中 0 的 个 数 ， 有 等 可能 事 件 的 概 率 公 式 ， 计 算 可 得 答 案 ；(2)分 1 n 9， 10 n 99， 100 n 999， 1000 n 2014， 四 种 情 况 讨 论 这 个 数 的 组 成 情况 ， 综 合 即 可 得 F(n)；(3)根 据 题 意 ， 分 情 况 求 出 当 n S 时 p(n)的 表 达 式 ， 比 较 其 最 大 值 的 大 小 ，

31、 即 可 得 答 案 . 答 案 ： (1)当 n=100 时 ， F(100)=9+90 2+3=192， 即 这 个 数 中 共 有 192 个 数 字 ， 其 中 数 字 0的 个 数 为 11，则 恰 好 取 到 0 的 概 率 为 P(100)= ；(2)当 1 n 9 时 ， 这 个 数 有 1 位 数 组 成 ， F(n)=9，当 10 n 99 时 ， 这 个 数 有 9个 1位 数 组 成 ， n-9个 两 位 数 组 成 ， 则 F(n)=2n-9，当 100 n 999时 ， 这 个 数 有 9 个 1 位 数 组 成 ， 90 个 两 位 数 组 成 ， n-99个 三

32、 位 数 组 成 ，F(n)=3n-108，当 1000 n 2014时 ， 这 个 数 有 9 个 1 位 数 组 成 ， 90个 两 位 数 组 成 ， 900个 三 位 数 组 成 ， n-999个 四 位 数 组 成 ， F(n)=4n-1107，F(n)= ； (3)当 n=b(1 b 9， b N*)时 ， g(n)=0，当 n=10k+b(1 k 9， 0 b 9， k N*， b N*)时 ， g(n)=k：当 n=100 时 ， g(n)=11，即 g(n)= ， 同 理 有 f(n)= ，由 h(n)=f(n)-g(n)=1， 可 知 n=9、 19、 29、 39、 49、 59、 69、 79、 89、 90，所 以 当 n 100 时 ， S=9， 19、 29， 39， 49， 59， 69， 79， 89， 90；当 n=9时 ， P(9)=0，当 n=90时 ， P(90)= = ， 当 n=10k+9(1 k 8， k N*)时 ， p(n)= = = ，由 y= 关 于 k单 调 递 增 ， 故 当 n=10k+9(1 k 8， k N*)时 ， P(n)的 最 大 值 为 P(89)= ，又 ， 所 以 当 n S 时 ， P(n)的 最 大 值 为 .