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2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学文及答案解析.docx

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学文及答案解析.docx

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学文一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分 .在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数 z满足 z(1+i)=2i(i为虚数单位 )，则 |z|=( )A.1B.2C.D.解析：复数 z满足 z(1+i)=2i(i为虚数单位 )， z= = =1+i， |z|= = .答案： C.2.设全集为 R，集合 A=x|x2-9 0， B=x|-

3、基本事件有 (1， 4)， (2， 3)，(3， 2)， (4， 1)共四种，故事件 “ 抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为 5” 的概率是= .答案： B.4.已知函数 f(x)= (a R)，若 ff(-1)=1，则 a=( ) A.B.C.1D.2解析： ff(-1)=1， ff(-1)=f(2-(-1)=f(2)=a22=4a=1 .答案： A.5.在 ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 3a=2b，则的值为 ( )A.-B.C.1D.解

4、析： 3a=2b， b= ，根据正弦定理可得= = = . 答案： D.6.下列叙述中正确的是 ( )A.若 a， b， c R，则 “ ax2+bx+c 0” 的充分条件是 “ b2-4ac 0”B.若 a， b， c R，则 “ ab2 cb2” 的充要条件是 “ a c”C.命题 “ 对任意 x R，有 x2 0” 的否定是 “ 存在 x R，有 x2 0”D.l 是一条直线，，是两个不同的平面，若 l ， l ，则解析： (1)对于选项 A：若 a， b，

5、c R，当 “ ax 2+bx+c 0” 对于任意的 x 恒成立时，则有：当 a=0时， b=0， c 0，此时 b2-4ac=0， b2-4ac 0成立；当 a 0 时， b2-4ac 0. “ ax2+bx+c 0” 是 “ b2-4ac 0” 充分不必要条件， “ b2-4ac 0” 是 “ ax2+bx+c 0” 必要不充分条件 .故选项 A 不正确 .(2)对于选项 B：当 ab2 cb2时， b2 0，且 a c， “ ab2 cb2” 是 “ a c” 的充分条件 .反之，当 a c

6、时，若 b=0，则 ab2=cb2，不等式 ab2 cb2不成立 . “ a c” 是 “ ab2 cb2”的必要不充分条件 .故选项 B 不正确 .(3)对于选项 C：结论要否定，注意考虑到全称量词 “ 任意 ” ，命题 “ 对任意 x R，有 x 2 0” 的否定应该是 “ 存在 x R，有 x2 0” .故选项 C不正确 . (4)对于选项 D：命题 “ l是一条直线，，是两个不同的平面，若 l ， l ，则 .”是两个平面平

7、行的一个判定定理 .故答案为： D7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了 52名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是 ( )表 1表 2 表 3表 4 A.成绩B.视力C.智商D.阅读量解析：表 1： X2= 0.009；表 2： X 2= 1.769；表 3： X2= 1.3；表 4： X2= 23.48，阅读量与性别有关联的

8、可能性最大，答案： D.8.阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 ( ) A.7B.9C.10D.11解析：由程序框图知：算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg + +lg 的值， S=lg +lg + +lg =lg -1，而 S=lg +lg + +lg =lg -1，跳出循环的 i值为 9，输出 i=9.答案： B.9.过双曲线 C： - =1 的右顶点做 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交

9、于点 A，若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A， O 两点 (O为坐标原点 )，则双曲线 C 的方程为 ( )A. - =1B. - =1C. - =1D. - =1 解析：由题意， c=4，双曲线的一条渐近线方程为 y= ，令 x=a，则 y=b，即 A(a， b)，右焦点 F(4， 0)， |FA|=4， (a-4)2+b2=16， a2+b2=16， a=2， b=2 ，双曲线 C 的方程为 - =1.答案： A.10.在同一直角坐标系中

10、，函数 y=ax2-x+ 与 y=a2x3-2ax2+x+a(a R)的图象不可能的是( ) A.B. C.D.解析：当 a=0时，函数 y=ax 2-x+ 的图象是第二，四象限的角平分线，而函数 y=a2x3-2ax2+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故 D 符合要求；当 a 0 时，函数 y=ax2-x+ 图象的对称轴方程为直线 x= ，由 y=a2x3-2ax2+x+a可得： y =3a2x2-4ax+1，令 y =0，则 x 1= ， x2= ，

11、即 x1= 和 x2= 为函数 y=a2x3-2ax2+x+a的两个极值点，对称轴 x= 介于 x1= 和 x2= 两个极值点之间，故 A、 C 符合要求， B不符合，答案： B二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分11.若曲线 y=xlnx 上点 P处的切线平行与直线 2x-y+1=0，则点 P 的坐标是 .解析：函数的定义域为 (0， + )，函数的导数为 f (x)=lnx+x =1+lnx，直线 2x-y+1=0的

12、斜率 k=2，曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行与直线 2x-y+1=0， f (x)=1+lnx=2，即 lnx=1，解得 x=e，此时 y=elne=e，故点 P 的坐标是 (e， e)，答案： (e， e)12.已知单位向量与的夹角为，且 cos = ，若向量 =3 -2 ，则 | |= .解析： =9 =9， | |=3，答案： 3.13.在等差数列 a n中， a1=7，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n=8时 Sn取得最大值，则d的

13、取值范围为 .解析： Sn =7n+ ，当且仅当 n=8时 Sn取得最大值，，即，解得：综上： d的取值范围为 (-1， - ).答案： (-1， - ) 14.设椭圆 C： + =1(a b 0)的左右焦点为 F1， F2，过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B两点， F1B与 y轴相交于点 D，若 AD F1B，则椭圆 C 的离心率等于 .解析：不妨假设椭圆中的 a=1，则 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，当 x=c时，由 + =1

14、得 y= =b2，即 A(c， b2)， B(c， -b2)，设 D(0， m)， F 1， D， B三点共线，，解得 m=- ，即 D(0， - )，若 AD F1B，在，即 =-1，即 3b4=4c2，则 b2=2c= (1-c2)=2c，即 c2+2c- =0，解得 c= = ，则 c= ， a=1，离心率 e= = ，答案： .15.x， y R，若 |x|+|y|+|x-1|+|y-1| 2，则 x+y的取值范围为 .解析：根据绝对值的意义可得 |x|+|x-1|表述数轴上的 x 对应点

15、到 0、 1对应点的距离之和，其最小值为 1；|y|+|y-1|表述数轴上的 y 对应点到 0、 1 对应点的距离之和，其最小值为 1；故 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|的最小值为 2.再根据 |x|+|y|+|x-1|+|y-1| 2，可得只有 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2，此时， 0 x 1， 0 y 1， 0 x+y 2，答案： 0， 2.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分 .解答应写出文字说明，证明过程或演

16、算步骤 . 16.(12分 )已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+ )为奇函数，且 f( )=0，其中 a R， (0， ).(1)求 a，的值；(2)若 f( )=- ， ( ， )，求 sin( + )的值 .解析： (1)把 x= 代入函数解析式可求得 a 的值，进而根据函数为奇函数推断出 f(0)=0，进而求得 cos ，则的值可得 . (2)利用 f( )=- 和函数的解析式可求得 sin ，进而求得 cos ，进而利用二倍

17、角公式分别求得 sin ， cos ，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案 .答案： (1)f( )=-(a+1)sin =0， (0， ). sin 0， a+1=0，即 a=-1 f(x)为奇函数， f(0)=(a+2)cos =0， cos =0， = .(2)由 (1)知 f(x)=(-1+2cos 2x)cos(2x+ )=cos2x(-sin2x)=- ， f( )=- sin =- ， sin = ， ( ， )， cos = =- ， sin( + )=sin cos +cos sin = .17.(12分 )已知

18、数列 a n的前 n 项和 Sn= ， n N*.(1)求数列 an的通项公式；(2)证明：对任意的 n 1，都存在 m N*，使得 a1， an， am成等比数列 .解析： (1)利用 “ 当 n 2时， an=Sn-Sn-1；当 n=1时， a1=S1” 即可得出；(2)对任意的 n 1，假设都存在 m N*，使得 a1， an， am成等比数列 .利用等比数列的定义可得，即 (3n-2)2=1 (3m-2)，解出 m 为正整数即可 .答案： (1) S

19、 n= ， n N*. 当 n 2 时， an=Sn-Sn-1= - =3n-2， (*)当 n=1时， a1=S1= =1.因此当 n=1时， (*)也成立 . 数列 a n的通项公式 an=3n-2.(2)证明：对任意的 n 1，假设都存在 m N*，使得 a1， an， am成等比数列 .则， (3n-2)2=1 (3m-2)，化为 m=3n2-4n+2， n 1， m=3n2-4n+2= 6，因此对任意的 n 1，都存在 m=3n2-4n+2 N*，使得 a1， an， am成等比数列 .18.

20、(12分 )已知函数 f(x)=(4x 2+4ax+a2) ，其中 a 0. (1)当 a=-4时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间 1， 4上的最小值为 8，求 a 的值 .解析： (1)当 a=-4时，先求导，在根据导数求出 f(x)的单调递增区间；(2)利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值 .答案； (1)当 a=-4时， f

21、(x)=(4x2+4ax+a2) ， f(x)=(4x2-16x+16) ， f (x)=(8x-16) +(4x2-16x+16) =2 ( )= ， f (x) 0， x 0 5x 2-12x+4 0，解得， 0 x ，或 x 2 f(x)的单调递增区间为 .(2) f(x)=(4x2+4ax+a2) ，，令 f (x)=0.解得，当 f (x) 0 时， x在 (0， )或为单调递增，当 f (x) 0 时， x在 ( )上单调递减，当 4，即 a -40， f(x)在区间 1， 4为增函数，由 f(1)=8，解

22、得 a=-2 ，当，即 -2 a 0 时， f(x)在区间 1， 4为增函数，由 f(1)=8，解得 a=-2 ，不符合舍去 . 当，即 -10 a -8时， f(x)在区间 1， 4为减函数，由 f(4)=8，解得 a=-10，当，即 -40 a -10时，由 f(1)=8或 f(4)=8，解得， a=-2 ，或 a=-6，a=-10，不符合舍去，当，即 -8 a -4时，由 f( )=8，无解 . 综上所述， a=-1019.(12分 )如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中

23、， AA1 BC， A1B BB1，(1)求证： A 1C CC1； (2)若 AB=2， AC= ， BC= ，问 AA1为何值时，三棱柱 ABC-A1B1C1体积最大，并求此最大值 .解析： (1)通过证明直线 CC1与平面 BA1C垂直，即可证明 A1C CC1；(2)作 AO B 于 O，连结 A1O，说明 AA1O=90 ，设 A1A=h，求出 A1O 的表达式，以及三棱柱ABC-A1B1C1体积 V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值 .答

24、案： (1) 三棱柱 ABC-A1B1C1中， A1A CC1 BB1， AA1 BC， CC1 BA1， A 1B BB1， A1B CC1， BC BA1=B， CC1 平面 BA1C， A1C平面 BA1C， A1C CC1；(2)作 AO B 于 O，连结 A1O，由 (1)可知 AA1O=90 ， AB=2， AC= ， BC= ， AB AC， AO= ，设 A 1A=h， A1O= = ，三棱柱 ABC-A1B1C1体积 V= = = ，当 h2= ，即 h= 时，即 AA1= 时棱柱的体积最大，最大值为： .20.

25、(13分 )如图，已知抛物线 C： x 2=4y，过点 M(0， 2)任作一直线与 C相交于 A， B两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO相交于点 D(O为坐标原点 ).(1)证明：动点 D 在定直线上；(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x轴 )，与直线 y=2相交于点 N 1，与 (1)中的定直线相交于点N2，证明： |MN2|2-|MN1|2为定值，并求此定值 . 解析： (1)设 AB的方程为 y=kx+2，代

26、入 x2=4y，整理得 x2-4kx-8=0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有： x1x2=-8，由直线 AO的方程 y= x 与 BD 的方程 x=x2联立即可求得交点 D 的坐标为，利用 x1x2=-8，即可求得 D 点在定直线 y=-2(x 0)上；(2)依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 y=ax+b(a 0)，代入 x 2=4y，由 =0化简整理得 b=-a2，故切线 l的方程可写成 y=ax-a2.分别

27、令 y=2、 y=-2 得 N1、 N2的坐标为 N1( +a， 2)、 N2(- +a， -2)，从而可证 |MN2|2-|MN1|2为定值 8.答案： (1)依题意，可设 AB 的方程为 y=kx+2，代入 x2=4y，得 x2=4(kx+2)，即 x2-4kx-8=0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有： x1x2=-8，直线 AO的方程为 y= x； BD 的方程为 x=x 2.解得交点 D 的坐标为 .注意到 x1x2=-8 及 =4y1，则有 y= = =-2，因此 D点在定

28、直线 y=-2(x 0)上 .(2)依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l的方程为 y=ax+b(a 0)，代入 x2=4y得 x 2=4(ax+b)，即 x2-4ax-4b=0，由 =0得 (4a)2+16b=0，化简整理得 b=-a2.故切线 l 的方程可写成 y=ax-a2.分别令 y=2、 y=-2得 N1、 N2的坐标为 N1( +a， 2)、 N2(- +a， -2)，则 |MN2|2-|MN1|2= +42- =8，即 |MN2|2-|MN1|2为定值 8.21.(14分 )将

29、连续正整数 1， 2，， n(n N *)从小到大排列构成一个数， F(n)为这个数的位数 (如 n=12时，此数为 123456789101112，共 15个数字， F(12)=15)，现从这个数中随机取一个数字， p(n)为恰好取到 0的概率 .(1)求 p(100)；(2)当 n 2014 时，求 F(n)的表达式；(3)令 g(n)为这个数中数字 0的个数， f(n)为这个数中数字 9的个数， h(n)=f(n)-g(n)，S=n|h(n)=1

30、， n 100， n N*，求当 n S 时 p(n)的最大值 .解析： (1)根据题意，首先分析 n=100 时，这个数的位数，进而可得其中 0 的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；(2)分 1 n 9， 10 n 99， 100 n 999， 1000 n 2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得 F(n)；(3)根据题意，分情况求出当 n S 时 p(n)的表达式，比较其最大值的大小，

31、即可得答案 . 答案： (1)当 n=100 时， F(100)=9+90 2+3=192，即这个数中共有 192 个数字，其中数字 0的个数为 11，则恰好取到 0 的概率为 P(100)= ；(2)当 1 n 9 时，这个数有 1 位数组成， F(n)=9，当 10 n 99 时，这个数有 9个 1位数组成， n-9个两位数组成，则 F(n)=2n-9，当 100 n 999时，这个数有 9 个 1 位数组成， 90 个两位数组成， n-99个三

32、位数组成，F(n)=3n-108，当 1000 n 2014时，这个数有 9 个 1 位数组成， 90个两位数组成， 900个三位数组成， n-999个四位数组成， F(n)=4n-1107，F(n)= ； (3)当 n=b(1 b 9， b N*)时， g(n)=0，当 n=10k+b(1 k 9， 0 b 9， k N*， b N*)时， g(n)=k：当 n=100 时， g(n)=11，即 g(n)= ，同理有 f(n)= ，由 h(n)=f(n)-g(n)=1，可知 n=9、 19、 29、 39、 49、 59、 69、 79、 89、 90，所以当 n 100 时， S=9， 19、 29， 39， 49， 59， 69， 79， 89， 90；当 n=9时， P(9)=0，当 n=90时， P(90)= = ，当 n=10k+9(1 k 8， k N*)时， p(n)= = = ，由 y= 关于 k单调递增，故当 n=10k+9(1 k 8， k N*)时， P(n)的最大值为 P(89)= ，又，所以当 n S 时， P(n)的最大值为 .

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