2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理及答案解析.docx

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1、2015年 浙 江 省 高 考 数 学 试 卷 （ 理 科 ）一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 40 分 2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考试 （ 浙 江 卷 ） 数 学 （ 理 科 ）1.（ 5 分 ） （ 2015浙 江 ） 已 知 集 合 P=x|x2 2x 0， Q=x|1 x 2， 则 （ RP） Q=（ ）A.0， 1）B.(0， 2C.(1， 2）D.1， 2解 析 ： 由 P中 不 等 式 变 形 得 ： x（ x 2） 0，解 得 ： x 0或 x 2， 即 P=（ ， 0 2， + ） ， RP=

2、（ 0， 2） ， Q=（ 1， 2， （ RP） Q=（ 1， 2） ，答 案 ： C.2.（ 5分 ） （ 2015浙 江 ） 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 （ 单 位 ： cm） ， 则 该 几 何 体 的 体 积 是（ ） A.8cm3B.12cm3C.D.解 析 ： 由 三 视 图 可 知 几 何 体 是 下 部 为 棱 长 为 2的 正 方 体 ， 上 部 是 底 面 为 边 长 2 的 正 方 形 奥 为2的 正 四 棱 锥 ，所 求 几 何 体 的 体 积 为 ： 2 3+ 2 2 2= .答 案 ： C 3.（ 5分 ） （ 2015浙 江 ） 已 知 an

3、是 等 差 数 列 ， 公 差 d 不 为 零 ， 前 n 项 和 是 Sn， 若 a3， a4，a8成 等 比 数 列 ， 则 （ ）A.a1d 0， dS4 0B.a1d 0， dS4 0C.a1d 0， dS4 0D.a1d 0， dS4 0解 析 ： 设 等 差 数 列 an的 首 项 为 a1， 则 a3=a1+2d， a4=a1+3d， a8=a1+7d，由 a 3， a4， a8成 等 比 数 列 ， 得 ， 整 理 得 ：. d 0， ， ， = 0.答 案 ： B4.（ 5分 ） （ 2015浙 江 ） 命 题 “ n N *， f（ n） N*且 f（ n） n” 的 否

4、定 形 式 是 （ ）A.n N*， f（ n） N*且 f（ n） nB.n N*， f（ n） N*或 f（ n） nC. n0 N*， f（ n0） N*且 f（ n0） n0D. n0 N*， f（ n0） N*或 f（ n0） n解 析 ： 命 题 为 全 称 命 题 ， 则 命 题 的 否 定 为 ： n0 N*， f（ n0） N*或 f（ n0） n0，答 案 ： D5.（ 5分 ） （ 2015浙 江 ） 如 图 ， 设 抛 物 线 y 2=4x 的 焦 点 为 F， 不 经 过 焦 点 的 直 线 上 有 三 个 不同 的 点 A， B， C， 其 中 点 A， B在 抛

5、物 线 上 ， 点 C 在 y 轴 上 ， 则 BCF与 ACF 的 面 积 之 比 是（ ）A. B.C. D.解 析 ： 如 图 所 示 ， 抛 物 线 的 准 线 DE的 方 程 为 x= 1，过 A， B 分 别 作 AE DE 于 E， 交 y轴 于 N， BD DE于 E， 交 y 轴 于 M，由 抛 物 线 的 定 义 知 BF=BD， AF=AE， 则 |BM|=|BD| 1=|BF| 1， |AN|=|AE| 1=|AF| 1， 则 = = = ，答 案 ： A6.（ 5分 ） （ 2015浙 江 ） 设 A， B是 有 限 集 ， 定 义 ： d（ A， B） =card（

6、 A B） card（ A B） ，其 中 card（ A） 表 示 有 限 集 A中 的 元 素 个 数 （ ）命 题 ： 对 任 意 有 限 集 A， B， “ A B” 是 “ d（ A， B） 0” 的 充 分 必 要 条 件 ；命 题 ： 对 任 意 有 限 集 A， B， C， d（ A， C） d（ A， B） +d（ B， C）A.命 题 和 命 题 都 成 立B.命 题 和 命 题 都 不 成 立C.命 题 成 立 ， 命 题 不 成 立 D.命 题 不 成 立 ， 命 题 成 立解 析 ： 命 题 ： 对 任 意 有 限 集 A， B， 若 “ A B” ， 则 A B A

7、 B， 则 card（ A B） card（ A B） ， 故 “ d（ A， B） 0” 成 立 ，若 d（ A， B） 0” ， 则 card（ A B） card（ A B） ， 则 A B A B， 故 A B 成 立 ， 故 命题 成 立 ，命 题 ， d（ A， B） =card（ A B） card（ A B） ， d（ B， C） =card（ B C） card（ B C） ， d（ A， B） +d（ B， C） =card（ A B） card（ A B） +card（ B C） card（ B C） =card（ A B） +card（ B C） card（ A B）

8、+card（ B C） card（ A C） card（ A C） =d（ A， C） ， 故 命 题 成 立 ，答 案 ： A7.（ 5分 ） （ 2015浙 江 ） 存 在 函 数 f（ x） 满 足 ， 对 任 意 x R 都 有 （ ）A.f（ sin2x） =sinx B.f（ sin2x） =x2+xC.f（ x2+1） =|x+1|D.f（ x2+2x） =|x+1|解 析 ： A.取 x=0， 则 sin2x=0， f（ 0） =0； 取 x= ， 则 sin2x=0， f（ 0） =1； f（ 0） =0， 和 1， 不 符 合 函 数 的 定 义 ； 不 存 在 函 数 f

9、（ x） ， 对 任 意 x R都 有 f（ sin2x） =sinx；B.取 x=0， 则 f（ 0） =0；取 x= ， 则 f（ 0） = 2+ ； f（ 0） 有 两 个 值 ， 不 符 合 函 数 的 定 义 ； 该 选 项 错 误 ；C.取 x=1， 则 f（ 2） =2， 取 x= 1， 则 f（ 2） =0；这 样 f（ 2） 有 两 个 值 ， 不 符 合 函 数 的 定 义 ； 该 选 项 错 误 ；D.令 |x+1|=t， t 0， 则 f（ t 2 1） =t；令 t2 1=x， 则 t= ； ；即 存 在 函 数 f（ x） = ， 对 任 意 x R， 都 有 f（

10、 x2+2x） =|x+1|； 该 选 项 正 确 .答 案 ： D8.（ 5 分 ） （ 2015浙 江 ） 如 图 ， 已 知 ABC， D是 AB的 中 点 ， 沿 直 线 CD将 ACD 折 成 A CD，所 成 二 面 角 A CD B 的 平 面 角 为 ， 则 （ ） A. A DB B. A DB C. A CB D. A CB 解 析 ： 当 AC=BC 时 ， A DB= ； 当 AC BC时 ， 如 图 ， 点 A 投 影 在 OE上 ， = A OE， 连 结 AA ，易 得 ADA AOA ， A DB A OE， 即 A DB 综 上 所 述 ， A DB ，答 案

11、 ： B二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7小 题 ， 多 空 题 每 题 6 分 ， 单 空 题 每 题 4 分 ， 共 36 分 .9.（ 6分 ） （ 2015浙 江 ） 双 曲 线 =1 的 焦 距 是 ， 渐 近 线 方 程 是 .解 析 ： 双 曲 线 =1 中 ， a= ， b=1， c= ， 焦 距 是 2c=2 ， 渐 近 线 方 程 是 y= x. 答 案 ： 2 ； y= x10.（ 6分 ）（ 2015浙 江 ） 已 知 函 数 f（ x） = ， 则 f（ f（ 3） ） = ，f（ x） 的 最 小 值 是 .解 析 ： f（ x） = ， f（ 3） =lg

12、10=1， 则 f（ f（ 3） ） =f（ 1） =0，当 x 1 时 ， f（ x） = ， 即 最 小 值 ，当 x 1 时 ， f（ x） =lg（ x2+1） lg2 无 最 小 值 ，故 f（ x） 的 最 小 值 是 .答 案 ： 0； .11.（ 6分 ） （ 2015浙 江 ） 函 数 f（ x） =sin 2x+sinxcosx+1的 最 小 正 周 期 是 ， 单 调 递 减区 间 是 .解 析 ： 化 简 可 得 f（ x） =sin2x+sinxcosx+1= （ 1 cos2x） + sin2x+1= sin（ 2x ） + ， 原 函 数 的 最 小 正 周 期

13、为 T= = ，由 2k + 2x 2k + 可 得 k + x k + ， 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 k + ， k + （ k Z）答 案 ： ； k + ， k + （ k Z）12.（ 4分 ） （ 2015浙 江 ） 若 a=log43， 则 2a+2 a= .解 析 ： a=log43， 可 知 4a=3，即 2 a= ，所 以 2a+2 a= + = .答 案 ：13.（ 4分 ） （ 2015浙 江 ） 如 图 ， 三 棱 锥 A BCD中 ， AB=AC=BD=CD=3， AD=BC=2， 点 M， N 分别 是 AD， BC的 中 点 ， 则 异 面 直 线

14、AN， CM 所 成 的 角 的 余 弦 值 是 . 解 析 ： 连 结 ND， 取 ND 的 中 点 为 ： E， 连 结 ME， 则 ME AN， 异 面 直 线 AN， CM所 成 的 角 就 是 EMC， AN=2 ， ME= =EN， MC=2 ，又 EN NC， EC= = ， cos EMC= = = .答 案 ：14.（ 4分 ） （ 2015浙 江 ） 若 实 数 x， y满 足 x2+y2 1， 则 |2x+y 2|+|6 x 3y|的 最 小 值是 .解 析 ： 由 x 2+y2 1， 可 得 6 x 3y 0， 即 |6 x 3y|=6 x 3y，如 图 直 线 2x+

15、y 2=0将 圆 x2+y2=1 分 成 两 部 分 ， 在 直 线 的 上 方 （ 含 直 线 ） ， 即 有 2x+y 2 0， 即 |2+y 2|=2x+y 2，此 时 |2x+y 2|+|6 x 3y|=（ 2x+y 2） +（ 6 x 3y） =x 2y+4，利 用 线 性 规 划 可 得 在 A（ ， ） 处 取 得 最 小 值 3；在 直 线 的 下 方 （ 含 直 线 ） ， 即 有 2x+y 2 0，即 |2+y 2|= （ 2x+y 2） ，此 时 |2x+y 2|+|6 x 3y|= （ 2x+y 2） +（ 6 x 3y） =8 3x 4y，利 用 线 性 规 划 可

16、得 在 A（ ， ） 处 取 得 最 小 值 3.综 上 可 得 ， 当 x= ， y= 时 ， |2x+y 2|+|6 x 3y|的 最 小 值 为 3.答 案 ： 3 15.（ 6分 ） （ 2015浙 江 ） 已 知 是 空 间 单 位 向 量 ， ， 若 空 间 向 量 满 足， 且 对 于 任 意 x， y R， ， 则x 0= ， y0= ， |= .解 析 ： =| | |cos =cos = ， = ， 不 妨 设 =（ ， ， 0） ， =（ 1， 0， 0） ， =（ m， n， t） ，则 由 题 意 可 知 = m+ n=2， =m= ， 解 得 m= ， n= ， =

17、（ ， ， t） ， （ ） =（ x y， ， t） ， | （ | 2=（ x y） 2+（ ） 2+t2=x2+xy+y2 4x 5y+t2+7=（ x+ ） 2+ （ y 2） 2+t2，由 题 意 当 x=x0=1， y=y0=2时 ， （ x+ ） 2+ （ y 2） 2+t2取 最 小 值 1， 此 时 t2=1， 故 |= =2答 案 ： 1； 2； 2三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 共 74 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.（ 14 分 ） （ 2015浙 江 ） 在 ABC中 ， 内 角 A，

18、B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 A= ，b 2 a2= c2.(1)求 tanC的 值 ；(2)若 ABC的 面 积 为 3， 求 b的 值 .解 析 ：(1)由 余 弦 定 理 可 得 ： ， 已 知 b2 a2= c2.可 得 ， a= .利 用 余 弦 定 理 可 得 cosC.可 得 sinC= ， 即 可 得 出 tanC= .(2)由 = =3， 可 得 c， 即 可 得 出 b.答 案 ： (1) A= ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： ， b2 a2= bc c2，又 b2 a2= c2. bc c2= c2. b= c.可 得 ， a 2=b

19、2 = ， 即 a= . cosC= = = . C （ 0， ） ， sinC= = . tanC= =2.(2) = =3， 解 得 c=2 . =3.17.（ 15分 ） （ 2015浙 江 ） 如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， BAC=90 ， AB=AC=2， A1A=4，A1在 底 面 ABC的 射 影 为 BC的 中 点 ， D 是 B1C1的 中 点 .(1)证 明 ： A1D 平 面 A1BC；(2)求 二 面 角 A1 BD B1的 平 面 角 的 余 弦 值 . 解 析 ：(1)以 BC 中 点 O为 坐 标 原 点 ， 以 OB、 OA、 OA1所

20、 在 直 线 分 别 为 x、 y、 z 轴 建 系 ， 通 过 = =0及 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 得 结 论 ；(2)所 求 值 即 为 平 面 A1BD的 法 向 量 与 平 面 B1BD的 法 向 量 的 夹 角 的 余 弦 值 的 绝 对 值 的 相 反 数 ，计 算 即 可 .答 案 ：(1)证 明 ： 如 图 ， 以 BC中 点 O 为 坐 标 原 点 ， 以 OB、 OA、 OA 1所 在 直 线 分 别 为 x、 y、 z 轴 建 系 .则 BC= AC=2 ， A1O= = ，易 知 A1（ 0， 0， ） ， B（ ， 0， 0） ， C（ ， 0， 0）

21、 ，A（ 0， ， 0） ， D（ 0， ， ） ， B1（ ， ， ） ，=（ 0， ， 0） ， =（ ， ， ） ，=（ ， 0， 0） ， =（ 2 ， 0， 0） ， =（ 0， 0， ） ， =0， A 1D OA1，又 =0， A1D BC，又 OA1 BC=O， A1D 平 面 A1BC；(2)设 平 面 A1BD的 法 向 量 为 =（ x， y， z） ， 由 ， 得 ，取 z=1， 得 =（ ， 0， 1） ，设 平 面 B1BD的 法 向 量 为 =（ x， y， z） ，由 ， 得 ，取 z=1， 得 =（ 0， ， 1） ， cos ， = = = ， 又 该 二

22、面 角 为 钝 角 ， 二 面 角 A1 BD B1的 平 面 角 的 余 弦 值 为 .18.（ 15分 ） （ 2015浙 江 ） 已 知 函 数 f（ x） =x2+ax+b（ a， b R） ， 记 M（ a， b） 是 |f（ x） |在 区 间 1， 1上 的 最 大 值 .(1)证 明 ： 当 |a| 2时 ， M（ a， b） 2；(2)当 a， b满 足 M（ a， b） 2 时 ， 求 |a|+|b|的 最 大 值 .解 析 ：(1)明 确 二 次 函 数 的 对 称 轴 ， 区 间 的 端 点 值 ， 由 a 的 范 围 明 确 函 数 的 单 调 性 ， 结 合 已 知

23、 以 及三 角 不 等 式 变 形 所 求 得 到 证 明 ；(2)讨 论 a=b=0 以 及 分 析 M（ a， b） 2 得 到 3 a+b 1 且 3 b a 1， 进 一 步 求 出 |a|+|b| 的 求 值 .答 案 ：(1)由 已 知 可 得 f(1)=1+a+b， f(-1)=1 a+b， 对 称 轴 为 x= ，因 为 |a| 2， 所 以 或 1，所 以 函 数 f（ x） 在 1， 1上 单 调 ， 所 以 M（ a， b） =max|f（ 1） ， |f（ 1） |=max|1+a+b|， |1 a+b|，所 以 M（ a， b） （ |1+a+b|+|1 a+b|）

24、|（ 1+a+b） （ 1 a+b） | |2a| 2；(2)当 a=b=0 时 ， |a|+|b|=0 又 |a|+|b| 0， 所 以 0 为 最 小 值 ， 符 合 题 意 ；又 对 任 意 x 1， 1.有 2 x2+ax+b 2得 到 3 a+b 1 且 3 b a 1， 易 知|a|+|b|=max|a b|， |a+b|=3， 在 b= 1， a=2时 符 合 题 意 ，所 以 |a|+|b|的 最 大 值 为 3.19.（ 15分 ） （ 2015浙 江 ） 已 知 椭 圆 上 两 个 不 同 的 点 A， B关 于 直 线 y=mx+ 对 称 .(1)求 实 数 m 的 取

25、值 范 围 ；(2)求 AOB面 积 的 最 大 值 （ O为 坐 标 原 点 ） . 解 析 ：(1)由 题 意 ， 可 设 直 线 AB的 方 程 为 x= my+n， 代 入 椭 圆 方 程 可 得 （ m2+2） y2 2mny+n2 2=0，设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） .可 得 0， 设 线 段 AB的 中 点 P（ x0， y0） ， 利 用 中 点 坐 标 公 式 及其 根 与 系 数 的 可 得 P， 代 入 直 线 y=mx+ ， 可 得 ， 代 入 0， 即 可 解 出 .(2)直 线 AB 与 x 轴 交 点 横 坐 标 为 n， 可 得 S OA

26、B= ， 再 利 用 均 值 不 等 式 即 可得 出 .答 案 ：(1)由 题 意 ， 可 设 直 线 AB的 方 程 为 x= my+n， 代 入 椭 圆 方 程 ， 可 得 （ m 2+2） y22mny+n2 2=0，设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） .由 题 意 ， =4m2n2 4（ m2+2） （ n2 2） =8（ m2 n2+2） 0，设 线 段 AB 的 中 点 P（ x0， y0） ， 则 .x0= m +n= ，由 于 点 P 在 直 线 y=mx+ 上 ， = + ， ， 代 入 0， 可 得 3m 4+4m2 4 0，解 得 m2 ， 或 m .(

27、2)直 线 AB与 x轴 交 点 横 坐 标 为 n， S OAB= = |n| = ，由 均 值 不 等 式 可 得 ： n2（ m2 n2+2） = ， S AOB = ， 当 且 仅 当 n2=m2 n2+2， 即 2n2=m2+2， 又 ， 解 得 m= ，当 且 仅 当 m= 时 ， S AOB取 得 最 大 值 为 .20.（ 15分 ） （ 2015浙 江 ） 已 知 数 列 an满 足 a1= 且 an+1=an an2（ n N*）(1)证 明 ： 1 2（ n N *） ；(2)设 数 列 an2的 前 n 项 和 为 Sn， 证 明 （ n N*） .解 析 ：(1)通

28、过 题 意 易 得 0 a n （ n N*） ， 利 用 an an+1= 可 得 1， 利 用= = 2， 即 得 结 论 ；(2)通 过 =an an+1累 加 得 Sn= an+1， 利 用 数 学 归 纳 法 可 证 明 an （ n 2） ， 从而 ， 化 简 即 得 结 论 .答 案 ：(1)由 题 意 可 知 ： 0 a n （ n N*） ，又 a2=a1 = ， = =2，又 a n an+1= ， an an+1， 1， = = 2， 1 2（ n N*） ；(2)由 已 知 ， =a n an+1， =a 1 an， ， =a1 a2，累 加 ， 得 Sn= + + + =a1 an+1= an+1，易 知 当 n=1时 ， 要 证 式 子 显 然 成 立 ；当 n 2 时 ， = .下 面 证 明 ： a n （ n 2） .易 知 当 n=2时 成 立 ， 假 设 当 n=k时 也 成 立 ， 则 ak+1= + ，由 二 次 函 数 单 调 性 知 ： an+1 + = ，a n+1 + = ， ， 即 当 n=k+1 时 仍 然 成 立 ，故 对 n 2， 均 有 an ， = = ，即 （ n N *） .