【考研类试卷】考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型及答案解析.doc

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1、考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型及答案解析(总分：185.04，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设 A=(aij)nn为正定矩阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.aij0(i=1，2，n)B.A-1为正定矩阵C.A*为正定矩阵D.对任意正整数 k，A k为正定矩阵2.设 A，B 为 n 阶矩阵，则 A 与 B 相似的充分必要条件是（分数：1.00）A.A，B 都相似于对角矩阵B.|E-A|=|E-B|C.D.3.设 A 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.矩阵 A 有 n 个不同的特征值B.矩阵 A 与 AT

2、有相同的特征值和特征向量C.矩阵 A 的特征向量 1， 2的线性组合 c1 1+c2 2仍是 A 的特征向量D.矩阵 A 对应于不同特征值的特征向量线性无关4.二次型 （分数：1.00）A.B.C.D.5.已知 （分数：1.00）A.B.C.D.6.已知 A，B 均为 n 阶正定矩阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.A+B，A-B，AB 是正定矩阵B.AB 的特征值全大于零C.若 AB=BA，则 AB 是正定矩阵D.对任意正常数 k 与 l，kA+lB 为正定矩阵7.下列结论正确的是（分数：1.00）A.方阵 A 与其转置矩阵 AT有相同的特征值，从而有相同的特征向量B.任意两个同阶

3、的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵C.对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的D.设 PTAP=B，若 A 为正定矩阵，|P|0，则 B 必为正定矩阵8.设线性方程组(E-A)x=0 的两个不同解向量是 1， 2，则矩阵 A 的对应于特征值 的特征向量必是（分数：1.00）A. 1B. 2C. 1- 2D. 1+ 29.设 n 阶矩阵 A 可逆， 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则下列结论中不正确的是（分数：1.00）A. 是矩阵-2A 的属于特征值-2 的特征向量B. 是矩阵 的属于特征值C. 是矩阵 A*的属于特征值上D. 是矩阵 P-1A 的属于特征值 A 的特征向量，其中

4、 P 为 n 阶可逆矩阵10.设 A 为 n 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.A 的 n 个特征向量两两正交B.A 的 n 个特征向量组成单位正交向量组C.) A 的 kD.) A11.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是（分数：1.00）A.B.C.D.12.设 A 为 n 阶矩阵，则在下列条件中，不是“A 的特征值为-1”的充分条件的是（分数：1.00）A.A2=EB.r(A+E)nC.A 的各行元素之和均为-1D.AT=-A，且 1 是 A 的特征值13.设 ， 是 n 维列向量， T0，n 阶方阵

5、A=E+ T(n3)，则在 A 的 n 个特征值中，必然（分数：1.00）A.有 n 个特征值等于 1B.有 n-1 个特征值等于 1C.有 1 个特征值等于 1D.没有 1 个特征值等于 114.n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是（分数：1.00）A.A 有 n 个相异的特征值B.AT有 n 个相异的特征值C.A 有 n 个相异的特征向量D.A 的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同15.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 相似，则下述结论中不正确的是（分数：1.00）A.A-kE-kE(k 为任意常数)B.Am m(m 为正整数)C.若 A 可逆，则 A-1 -1D.若

6、A 可逆，则 AE16.设 A 为 mn 实矩阵，r（分数：1.00）A.=n，则(A) A TA 必合同于 n 阶单位矩阵B.AAT必等价于 m 阶单位矩阵C.ATA 必相似于 n 阶单位矩阵D.AAT是 m 阶单位矩阵17.设 A 为 n 阶矩阵，则下列命题设 A 为 n 阶实可逆矩阵，如果 A 与-A 合同，则 n 必为偶数若 A 与单位矩阵合同，则|A|0若|A|0，则 A 与单位矩阵合同若 A 可逆，则 A-1与 AT合同中正确的个数是（分数：1.00）A.3 个B.2 个C.1 个D.0 个18.设 A 为 nm 实矩阵，r（分数：1.00）A.=n，则(A) AA T的行列式值不

7、为零B.AAT必与单位矩阵相似C.ATA 的行列式值不为零D.ATA 必与单位矩阵相似19.设 n(n2)阶矩阵 A 的行列式|A|=a0， 是 A 的一个特征值，A *为 A 的伴随矩阵，则 A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是（分数：1.00）A. -1an-1B. -1an-2C.a n-2D.a n-120.设二次型 f(x1，x 2，x n)=xTAx，其中 AT=A，x=(x 1，x 2，x n)T，则 f 为正定二次型的充分必要条件是（分数：1.00）A.f 的负指数是 0B.存在正交矩阵 Q，使 QTAQ=EC.f 的秩为 nD.21.设 A，B 为实对称矩阵，则 A 合同于

8、 B，如果（分数：1.00）A.r()=r()B.A，B 为同型矩阵C.A，B 的正惯性指数相等D.上述三项同时成立22.设 1， 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 2， 2分别是 A 的对应于 1， 2的特征向量，则（分数：1.00）A.当 1= 2时， 1与 2必成比例B.当 1= 2时， 1与 2必不成比例C.当 1 2时， 1与 2必成比例D.当 1 2时， 1与 2必不成比例23.设 A 为 n 阶实对称矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，Q 为 n 阶正交矩阵，则下列矩阵与 A 有相同特征值的是（分数：1.00）A.B-1QTAQBB.(B-1)TQTAQB-1C.D.BQTAQ(BT)

9、-124.与矩阵 合同的矩阵是（分数：1.00）A.B.C.D.25.已知矩阵 ，则下列矩阵与 A 既相似又合同的是（分数：1.00）A.B.C.D.26.正定实二次型的矩阵必是（分数：1.00）A.实对称矩阵且所有元素为正数B.实对称矩阵且对角线上元素为正数C.实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数D.实反对称矩阵且行列式值为正数27.设矩阵 A 与 B 相似，则必有（分数：1.00）A.A，B 同时可逆或不可逆B.A，B 有相同的特征向量C.A，B 均与同一个对角矩阵相似D.矩阵 E-A 与 E-B 相等二、填空题(总题数：24，分数：35.00)28.已知 =(1，3，2) T，=(1，-1，

10、2) T，B= T，苦矩阵 A，B 相似，则(2A+E) *的特征值为_（分数：1.00）填空项 1:_29.设 4 阶方阵 A 满足|3E+A|=0，AA T=2E，|A|0，其中 E 是 4 阶单位矩阵，则方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值为_（分数：1.00）填空项 1:_30.设 n 阶方阵 A 的各列元素之和都是 1，则 A 的特征值是_（分数：1.00）填空项 1:_31.设 A 为 n 阶方阵，且 A2-5A+6E=0，其中 E 为单位矩阵，则 A 的特征值只能是_（分数：1.00）填空项 1:_32.设 A 为 n 阶方阵AE，且 r(A+3E)+r(A-E)=n，则 A

11、的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项 1:_33.已知向量 （分数：1.00）填空项 1:_34.设 A 为 n 阶可相似对角化的矩阵，且 r(A-E)=rn，则 A 必有特征值 =_，且其重数为_，其对应的线性无关的特征向量有_个（分数：3.00）填空项 1:_35.设 AP=PB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_36.设 A 是 2 阶实对称矩阵， 1， 2是 A 的两个不同的特征值， 1， 2是分别对应于 1， 2的单位特征向量，则矩阵 B=A+ 1 （分数：1.00）填空项 1:_37.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_38.设 （分数：1.00）填空项 1:_3

12、9.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_40.已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1，-1，0，对应的特征向量分别为 1=(1，0，-1) T， 2=(0，3，2) T， 3=(-2，-1，1) T，则矩阵 A=_（分数：1.00）填空项 1:_41.设 2 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2，已知 B=A2-3A+4E，则 B=_（分数：1.00）填空项 1:_42.设-1，5， 都是矩阵 （分数：3.00）填空项 1:_43.设 1， 2是 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的对应于特征值 1的一个单位特征向量，则矩阵 B=A- 1 T的两个特征值为_（分数：1.

13、00）填空项 1:_44.f(x1，x 2，x 3，x 4)= 的矩阵 A=_() （分数：3.00）填空项 1:_45.已知二次型 ，经过正交变换 后可化为 （分数：2.00）填空项 1:_46.若二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：1.00）填空项 1:_47.若二次型矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_48.设二次型 （分数：2.00）填空项 1:_49.若二次型（分数：1.00）填空项 1:_50.若实对称矩阵 A 与矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_51.设 A 为 n 阶实对称矩阵，B，C 为 n 阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C

14、) =n，且 r(B) =r，则二次型 xTAx 的标准形为_（分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：123.00)52.已知矩阵 A=(aij)nn的秩为 n-1，求 A 的伴随矩阵 A*的特征值和特征向量（分数：5.00）_53.已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，并求 Ak的每行元素之和，其中 k 为正整数（分数：5.00）_54.设 A 是 3 阶矩阵， 0是 A 的特征值，对应的特征向量为 =(1，1，1) T，已知|A|=1，又 A*是 A 的伴随矩阵，且（分数：5.00）_已知 A=E+ T，其中 =(a 1，a 2，a 3)

15、T，=(b 1，b 2，b 3，) T，且 T=2（分数：5.01）(1).求矩阵 A 的特征值与特征向量；（分数：1.67）_(2).证明 A 可逆，并求 A-1；（分数：1.67）_(3).求行列式|A *+E|的值（分数：1.67）_设 A 和 B 均是 n 阶非零方阵，且满足 A2=A，B 2=B，AB=BA=0证明：（分数：5.00）(1).0 和 1 必是 A 和 B 的特征值；（分数：2.50）_(2).若 是 A 的属于特征值 1 的特征向量，则 必是 的属于特征值 0 的特征向量（分数：2.50）_设 A，B 均为 n 阶非零矩阵，且满足 A2+A=0，B 2+B=0，证明：

16、（分数：5.00）(1).-1 是 A，B 的特征值；（分数：2.50）_(2).若 AB=BA=0， 1， 2分别是 A，B 的对应于特征值 =-1 的特征向量，则 1， 2线性无关（分数：2.50）_设 A 是 4 阶矩阵，=0 是 A 的三重特征值， （分数：5.00）(1).问 （分数：2.50）_(2).问 s，t 满足什么条件时，s 1+t 2是 A 的对应于 =0 的特征向量（分数：2.50）_55.设 A 是 3 阶实对称阵，满足|A+2E|=0，AB=A，其中 （分数：5.00）_已知 n 阶非零矩阵 A1，A 2，A 3满足（分数：5.01）(1).证明：A i(i=1，2

17、，3)的特征值有且仅有 1 和 0；（分数：1.67）_(2).证明：A i属于 =1 的特征向量是 Aj属于 =0 的特征向量(ij)；（分数：1.67）_(3).若 1， 2， 3分别是 A1，A 2，A 3属于 =1 的特征向量，证明 1， 2， 3线性无关（分数：1.67）_已知 2 阶实矩阵 （分数：5.00）(1).若|A|0，判断 A 可否对角化，并说明理由；（分数：2.50）_(2).若 ad-bc=1，|a+d|2，判断 A 可否对角化，并说明理由（分数：2.50）_设矩阵 （分数：5.00）(1).求参数 a，b 的值；（分数：2.50）_(2).问 A 能否相似于对角阵?

18、说明理由（分数：2.50）_56.设 3 阶矩阵 ，且 r(A) 3，并已知矩阵 B 有 3 个特征值 1=1， 2=-1， 3=0，对应的特征向量分别为（分数：5.00）_57.已知矩阵 （分数：5.00）_设 ， 是 3 维单位正交列向量，令 A= T+ T，证明：（分数：5.01）(1).|A|=0；（分数：1.67）_(2).+，- 是 A 的特征向量；（分数：1.67）_(3).A 相似于对角阵，并写出该对角阵（分数：1.67）_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=8， 2= 3=2，矩阵 A 属于特征值 1=8 的特征向量为 1=(1，k，1)T，属于特征值 2= 3=2 的一

19、个特征向量为 2=(-1，1，0) T（分数：8.00）(1).求参数 k 及 2= 3=2 的另一个特征向量；（分数：4.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1= 2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量（分数：5.01）(1).求 a 的值；（分数：1.67）_(2).求 A 的另一特征值和对应的特征向量；（分数：1.67）_(3).若 =(-2，2，-1) T，求 An（分数：1.67）_58.求一正交变换，将二次型（分数：5.00）_59.已知 （分数：5.00）_60

20、.设二次型 通过正交变换化为标准形 （分数：5.00）_61.已知 A 为 3 阶实对称矩阵，二次型 f=xTAx 经正交变换 x=Qy 得标准形 ，其中 Q=( 1， 2， 3)，且 （分数：5.00）_62.已知(1，-1，0) T是二次型（分数：5.00）_设二次型 （分数：5.00）(1).试用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用坐标变换；（分数：2.50）_(2).如果 A*+kE 是正定矩阵，求 k 的取值（分数：2.50）_63.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 经正交变换 x=Py 化为标准形 ，其中矩阵 P 的第 1 列是（分数：5.00）_64.设

21、A 为 nn 实对称矩阵，证明：r(A) =n 的充分必要条件是存在 nn 实矩阵 B，使得 AB+BTA 正定，其中 BT为 B 的转置（分数：5.00）_考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型答案解析(总分：185.04，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设 A=(aij)nn为正定矩阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.aij0(i=1，2，n) B.A-1为正定矩阵C.A*为正定矩阵D.对任意正整数 k，A k为正定矩阵解析：分析 对于(A)：因为 A 正定，所以对任意的非零向量 x，都有 xTAx0，取xi=(0，0，1，0，0

22、) T0，即第 i 个分量为 1，其余分量为 0，则*即正定矩阵主对角线元素全大于零因此，(A)不正确，应选(A)对于(B)：由于 A 正定，故 AT=A，所以(A -1)T=(AT)-1=A-1，故 A-1亦为对称矩阵，对此有如下几种证法：方法 1 由 A 正定，故 A 与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 M，使 A=MTM于是有 A-1=M-1(MT)-1=M-1(M-1)T令矩阵 Q=(M-1)T，则 Q 可逆，且使 A-1=QTQ，即 A-1与单位矩阵 E 合同，故 A-1为正定矩阵方法 2 由于 A 正定，则 A 的特征值全大于零设 为 A 的任一特征值，则*为 A-1的特征值，且*因此

23、，对称矩阵 A-1的特征值全大于零，故 A-1是正定矩阵(B)正确对于(C)：由于 A*=|A|A-1，A -1是对称矩阵，故 A*为对称矩阵因此，也有两种证法：方法 1 由于已证 A-1正定，故对于 xR n，x0，均有 xTA-1x0又由 A 正定，有|A|0，故对于xR n，x0，均有 xTA*x=xT|A|A-1x=|A|xTA-1x0，即二次型 xTA*x 正定，所以 A*正定方法 2 由 A 正定知，A 的特征值都大于零设 为 A 的任一特征值，有 0，又因为|A|0，战 A*的特征值*因此，对称矩阵 A*的特征值全大于零，所以 A*为正定矩阵(C)正确对于(D)：由 A 为对称矩

24、阵，故(A k)T=(AT)k=Ak，即 Ak为对称矩阵又由于 A 的全部特征值 i0(i=1，2，n)，因此 Ak的全部特征值*(i=1，2，n)，故 Ak正定(D)正确2.设 A，B 为 n 阶矩阵，则 A 与 B 相似的充分必要条件是（分数：1.00）A.A，B 都相似于对角矩阵B.|E-A|=|E-B|C.D. 解析：分析 AB*存在可逆矩阵 P1，使得*AP 1=B*存在可逆矩阵*，使得(P T)-1APT=B*存在可逆矩阵 P，使得 APT=PTB故应选(D)由于 AB，不一定 A，B 都相似于对角矩阵，故(A)不对|E-A|=|E-E|是 AB 的必要条件，但不是充分条件，例如：

25、矩阵*有相同的特征多项式为(-1) 3，但 A 与 B 不是相似矩阵，因为对任何可逆矩阵 P 使 P-1AP=E，有 A=PEP-1=E，而 AE故(B)不对3.设 A 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.矩阵 A 有 n 个不同的特征值B.矩阵 A 与 AT有相同的特征值和特征向量C.矩阵 A 的特征向量 1， 2的线性组合 c1 1+c2 2仍是 A 的特征向量D.矩阵 A 对应于不同特征值的特征向量线性无关 解析：分析 对于选项(A)：矩阵 A 有 n 个特征值(在复数范围内)，但这些特征值中可能有重根，故(A)错对于选项(B)：A 与 AT有相同的特征值，但是，对应

26、的特征向量不一定相同，故(B)错选项(C)中，未说明 1， 2对应的特征值如果 1， 2是对应于 A 的同一特征值 的特征向量，则当 c1，c 2不全为零时，c 1 1+c2 2仍是 A 的对应于特征值 的特征向量如果 1， 2是对应于 A 的不同特征值 1， 2的特征向量，则 c1 1+c2 2不是 A 的特征向量(c10，c 20，为任意常数)故(C)不一定正确选项(D)是矩阵特征值的重要性质，故应选(D)4.二次型 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 原矩阵*不是实对称矩阵由于*故二次型的矩阵为*，于是 r(A)=2故应选(C)5.已知 （分数：1.00）A.B.C.D. 解

27、析：分析 若*，P=( 1， 2， 3)，则有 AP=P，即*亦即 (A 1，A 2，A 3)=( 1 1， 2 2， 3 3)可见 i是矩阵 A 属于特征值 ai的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵尸可逆，因此 1， 2， 3线性无关对于(A)：若 是属于特征值 的特征向量，则- 仍是属于特征值 的特征向量，故(A)正确对于(B)：若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 2+3，仍是属于特征值 的特征向量本题中， 2， 3是属于 =5 的线性无关的特征向量，故 2+ 3， 2-2 3仍是 =5 的特征向量，并且 2+ 3， 2-2 3线性无关，故(B)正确。对于(C)：因为 2， 3均是 =

28、5 的特征向量，所以 2与 3准在前谁在后均正确，即(C)正确对于(D)：由于 1， 2是不同特征值的特征向量，因此 1+ 2， 1- 2不再是矩阵 A 的特征向量，故(D)错误因此应选(D)6.已知 A，B 均为 n 阶正定矩阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.A+B，A-B，AB 是正定矩阵 B.AB 的特征值全大于零C.若 AB=BA，则 AB 是正定矩阵D.对任意正常数 k 与 l，kA+lB 为正定矩阵解析：分析 对于(A)：由 A，B 为 n 阶正定矩阵，故对于 xR n，x0，有 xTAx0，x TBx0，又因为(A+B)T=AT+BT=A+B，故 A+B 是对称矩阵，

29、且有 xT(A+B)X=xTAx+xTBx0，因此 A+B 为正定矩阵对于 A-B，若 A=B 时，A-B 为零矩阵，显然不是正定矩阵又(AB) T=BTAT=BA，由于 AB=BA 一般不成立，即不能保证 AB 是实对称矩阵，因此 AB 也不一定是正定矩阵故(A)不正确，应选(A)对于(B)：由于 A，B 均为正定矩阵，则存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 A=PTP，B=Q TQ，于是 Q(AB)Q-1=Q(PTP)(QTQ)Q-1=QPTPQT=(PQT)T(PQT)，又 PQT为可逆矩阵，从而(PQ T)T(PQT)是正定矩阵，它的所有的特征值都大于零，且由上式知，AB 与该矩阵相似，故

30、AB 的特征值全大于零故(B)正确对于(C)：因为(AB) T=BTAT=BA=AB，则 AB 为实对称矩阵，又由(B)知 AB 的特征值全大于零，故 AB 为正定矩阵(C)正确对于(D)：由于对任意 n 维列向量 x=(x1，x 2，x n)T，有xT(kA+lB)x=k(xTAx)+l(xTBx)0，故(D)正确7.下列结论正确的是（分数：1.00）A.方阵 A 与其转置矩阵 AT有相同的特征值，从而有相同的特征向量B.任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵C.对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的D.设 PTAP=B，若 A 为正定矩阵，|P|0，则 B 必为正定矩阵

31、解析：分析 对于(A)：由矩阵的特征值和特征向量的性质可知，方阵 A 与 AT有相同的特征多项式，故A 和 AT有相同的特征值，但对应的特征向量不一定相同例如：矩阵*与 AT有相同的特征值 1 和-2，而A 对应的特征向量是*，A T对应的特征向量是*因此(A)不正确对于(B)：由“两个同阶但秩不相等的矩阵一定不相似于同一个对角矩阵”可知(B)不正确要注意的是若矩阵 B 与 A 相似，即存在可逆矩阵 P，满足 P-1AP=B，这实际上也是矩阵 A 经若干次初等行变换和初等列变换而成为矩阵 B 的而初等变换不改变矩阵的秩，即等价矩阵的秩相同，所以相似矩阵当然也是等价矩阵，也具有相同的秩例如，对应

32、于实矩阵*的两个相异特征值 1 和-2 的实特征向量*不是正交的注意，实对称矩阵与实矩阵的区别：不同的特征值对应的特征向量是正交的，此乃实对称矩阵具有的性质，而实矩阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的对于(D)：由“与正定矩阵合同的矩阵必定是正定矩阵”可知(D)正确事实上，这是两个矩阵合同具有的性质合同矩阵除了等价、具有相同的秩外，还具有相同的正惯性指数，故正定性相同8.设线性方程组(E-A)x=0 的两个不同解向量是 1， 2，则矩阵 A 的对应于特征值 的特征向量必是（分数：1.00）A. 1B. 2C. 1- 2 D. 1+ 2解析：分析 由于 1 2，故 1- 20，且 A( 1-

33、 2)= 1- 2=( 1- 2)，所以， 1- 2是 A 的属于特征值 的特征向量，(C)正确而 1， 2， 1+ 2均可能是零向量，故不是 A 的特征向量因此，(A)，(B)，(D)都不对9.设 n 阶矩阵 A 可逆， 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则下列结论中不正确的是（分数：1.00）A. 是矩阵-2A 的属于特征值-2 的特征向量B. 是矩阵 的属于特征值C. 是矩阵 A*的属于特征值上D. 是矩阵 P-1A 的属于特征值 A 的特征向量，其中 P 为 n 阶可逆矩阵 解析：分析 由 A=(0)，可得*又 *，两边左乘*，可得*由此可知，(A)，(B)，(C)均正确，应选(D

34、)事实上，由 A= 可得(P -1A)=A(P -1)，即 P-1 是矩阵 P-1A 的属于特征值 的特征向量10.设 A 为 n 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.A 的 n 个特征向量两两正交B.A 的 n 个特征向量组成单位正交向量组C.) A 的 k D.) A解析：分析 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量正交，但未必两两正交；n 个特征向量未必是单位正交向量组，故(A)，(B)均不正确由于实对称矩阵 A 必可对角化，A 的属于 k 重特征值 0的线性无关的特征向量必有 k 个，故 r( 0E-A)=n-k于是可得出(C)正确，同时说明(D)不对应选(C)11.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 方法一 因 f(x1，x 2，x 3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)20，而(B)：*，(D)：*，故可排