(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示讲义(含解析).doc
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1、1第一节 数列的概念与简单表示突破点一 数列的通项公式基 本 知 识 1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项)2数列的通项公式如果数列 an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式3数列的递推公式如果已知数列 an的第 1 项(或前几项),且任何一项 an与它的前一项 an1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即 an f(an1 )(或 an f(an1 , an2 )等),那么这个式子叫做数列 an的递推公式
2、4 Sn与 an的关系已知数列 an的前 n 项和为 Sn,则 anError!这个关系式对任意数列均成立基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ,错的打“”)(1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( )(3)若已知数列 an的递推公式为 an1 ,且 a21,则可以写出数列 an的任12an 1何一项( )(4)如果数列 an的前 n 项和为 Sn,则对 nN *,都有 an1 Sn1 Sn.( )答案:(1) (2) (3) (4)二、填空题1数列 an中, a12,且 an1 an1,则 a5的值为_12解析:由 a12,
3、an1 an1,得12a2 a11110, a3 a21011, a4 a31 1 , a5 a4112 12 12 12 32 122 1 .34 74答案:742数列 an定义如下: a11,当 n2 时, anError!若 an ,则 n 的值为14_解析:困为 a11,所以a21 a12, a3 , a41 a23, a5 , a61 a3 , a7 , a811a2 12 1a4 13 32 1a6 23a44, a9 ,所以 n9.1a8 14答案:93数列 an的通项公式 an ,则 3 是此数列的第_项1n n 1 10解析: an ,1n 1 n n 1 n n 1 n n
4、 1 n n 1 n 3 , 3 是该数列的第 9 项10 10 9 10答案:94已知 Sn是数列 an的前 n 项和,且 Sn n21,则数列 an的通项公式是_答案: anError!全 析 考 法 考法一 利用 an与 Sn的关系求通项 数列 an的前 n 项和 Sn与通项 an的关系为 anError!通过纽带: an Sn Sn1 (n2),根据题目已知条件,消掉 an或 Sn,再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解例 1 (1)(2019化州模拟)已知 Sn为数列 an的前 n 项和,且 log2(Sn1) n1,则数列 an的通项公式为_(2)(201
5、9广州测试)已知数列 an的各项均为正数, Sn为其前 n 项和,且对任意nN *,均有 an, Sn, a 成等差数列,则 an_.2n解析 (1)由 log2(Sn1) n1,得 Sn12 n1 ,当 n1 时, a1 S13;当 n2 时, an Sn Sn1 2 n,所以数列 an的通项公式为 anError!(2) an, Sn, a 成等差数列,2 Sn an a .2n 2n3当 n1 时,2 S12 a1 a1 a .21又 a10, a11.当 n2 时,2 an2( Sn Sn1 ) an a an1 a ,2n 2n 1( a a )( an an1 )0.2n 2n 1
6、( an an1 )(an an1 )( an an1 )0,( an an1 )(an an1 1)0, an an1 0, an an1 1, an是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, an n(nN *)答案 (1) anError! (2) n方法技巧已知 Sn求 an的 3 个步骤(1)先利用 a1 S1求出 a1;(2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系,利用 an Sn Sn1 (n2)便可求出当n2 时 an的表达式;(3)对 n1 时的结果进行检验,看是否符合 n2 时 an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n1 与 n2
7、两段来写 考法二 利用递推关系求通项 例 2 (1)在数列 an中, a12, an1 an3 n2,求数列 an的通项公式(2)在数列 an中, a11, an an1 (n2),求数列 an的通项公式n 1n(3)在数列 an中 a11, an1 3 an2,求数列 an的通项公式(4)已知数列 an中, a11, an1 ,求数列 an的通项公式2anan 2解 (1)因为 an1 an3 n2,所以 an an1 3 n1( n2),所以 an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1 (n2)n 3n 12当 n1 时, a12 (311),符合上式,12所以
8、an n2 .32 n2(2)因为 an an1 (n2),n 1n所以 an1 an2 , a2 a1.n 2n 1 124由累乘法可得 an a1 (n2)又 a11 符合上式, an .12 23 n 1n a1n 1n 1n(3)因为 an1 3 an2,所以 an1 13( an1),所以 3,所以数列 an1为an 1 1an 1等比数列,公比 q3,又 a112,所以 an123 n1 ,所以 an23 n1 1.(4) an1 , a11, an0,2anan 2 ,即 ,又 a11,则 1,1an 1 1an 12 1an 1 1an 12 1a1 是以 1 为首项, 为公差
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