湖南省株洲市2019届高三数学上学期教学质量统一检测试题（一）文（含解析）.doc

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1、- 1 -株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合 N,根据集合的交集运算即可.【详解】因为 ,所以 ,【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题.2.已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得 ，根据复数的除法运算即可.【详解】由 ，可得 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题.3.下

2、列说法中，错误的是A. 若命题 ： ， ，则命题 ： ，B. “ ”是“ ”的必要不充分条件C. “若 ，则 ， 中至少有一个不小于 2”的逆否命题是真命题- 2 -D. 函数 的图像关于 对称【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定，必要不充分条件，逆否命题，正弦型函数的对称性,结合选项逐一分析即可.【详解】对于 A，若命题 ： ， ，则命题 ： ， 正确；对于 B， 推不出 ，而 能推出 ，所以 是 的必要不充分条件正确；对于 C, “若 ，则 ， 中至少有一个不小于 2”的逆否命题是真命题正确,因为命题与其逆否命题同真假，而若 ，则 ， 中至少有一个不小于 2 正确，故其逆否命题正确；对

3、于 D， 函数 的图像关于 对称，因为当 时， ，所以不正确.故选 D.【点睛】本题主要考查了命题的否定，必要不充分条件，逆否命题，正弦型函数的对称性，属于中档题.4.如下的茎叶图表示甲乙两人在 5 次测评中的成绩，已知甲的中位数是 90，则从乙的 5 次测评成绩中随机抽取一次成绩，其分数高于甲的平均成绩的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据甲的中位数知 ，计算甲的平均数，找到乙中大于甲平均数的个数，根据古典概型求解.【详解】因为甲的中位数是 90，所以 ，- 3 -由茎叶图知甲的平均数为 90，乙中共有分数 5 个，大于 90 的分数共有 2 个，所以 ，故选 B.【

4、点睛】本题主要考查了茎叶图，中位数，古典概型，属于中档题.5.已知正项等比数列 的前 项和为 ， 与 的等差中项为 5，且 ，则A. 21 B. 28 C. 31 D. 32【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为 q，根据题意可以列出方程组解出 ，q,根据等比数列前 n 项和求 即可.【详解】设等比数列的公比为 q,根据题意可得 ，解得： ，又由正项等比数列知， ，所以 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和公式，属于中档题.6.已知直线 的倾斜角为 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线方程可知直线斜率，即 ，根据同角三角函

5、数的基本关系及正弦的二倍角公式求解即可.- 4 -【详解】由直线方程可知 ，所以 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角，同角三角函数的基本关系，二倍角，属于中档题.7.在 中，点 为斜边 的中点， ， ，则A. 48 B. 40 C. 32 D. 16【答案】C【解析】【分析】根据中点为 D 可知， ,利用向量的数量积公式运算即可.【详解】因为点 为斜边 的中点，所以 ，所以 ,又 中所以 ,故选 C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，属于中档题.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 10- 5 -【答案】A【解析】【分

6、析】根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为 2 的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为,故选 A.【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.9.将函数 的图像向右平移 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 的图像，则下列关于函数 的说法正确的是A. 最小正周期为 B. 图像关于直线 对称C. 图像关于点 对称 D. 在 上是增函数【答案】B【解析】【分析】根据图像变换得出 ，结合其图象和性质即可选出正确答案.【详解】 的图像向右平移 个单位，再把所有点

7、的横坐标伸长到原来的 2 倍，得 ，其周期为 ,选项 A 错误；由 可得对称轴方程为,当 时，对称轴为 ，选项 B 正确，对称中心为 ,选项C 错误；增区间为 , 故选项 D 错误.故选 B.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，三角函数的图像变换，属于中档题.10.过棱长为 1 的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A. 1 B. C. D. - 6 -【答案】D【解析】【分析】取对角线顶点所不在的两个侧棱的中点 M,N,与对角线两个顶点相连，所得四边形即为所有过对角线的截面中面积最小的，由此可求出截面面积.【详解】如图：在正方体中，取 的中点 ,连接 ,过

8、的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形 时，截面面积最小，,故选 D.【点睛】本题主要考查了正方体的截面面积的求法，考查了空间想象能力，属于中档题.11.双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 y= ，代入抛物线方程整理得 ax2-bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以 b2-4a2=0，即 c2=5a2e=故选择 C- 7 -12.已知函数 ，若 只有一个极值点，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 ，令 ，解得 或 ，令 ，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.【详

9、解】 ，令 ，解得 或 ，令 ，可得 ，当 时，函数 取得极小值， ，所以当 时，令 ，解得 ，此时函数 只有一个极值点，当 时，此时函数 只有一个极值点 1，满足题意，当 时不满足条件，舍去.综上可得实数 的取值范围是 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ， ， ，若 ，则 _【答案】【解析】【分析】根据 可求出 ，求出 的坐标，计算向量 的模即可.【详解】因为 ，- 8 -所以 ，解得 ，则 所以 .【点睛】本题主要考查了向量的平行，向量的

10、坐标运算，向量的模，属于中档题.14.若 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的可行域，利用目标函数的截距的几何意义即可求解.【详解】作出可行域如图：由 得 ，平移直线 ，当直线经过点 时， 有最大值，.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，属于中档题.15.在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 , ， ，则的面积为_【答案】【解析】【分析】- 9 -利用正弦定理可得 ，又 ，可求出 ，再求出 ，利用余弦定理可解的，利用面积公式计算求解即可.【详解】由正弦定理及 ，得 ，又 ，所以 ,锐角 中, 所以 ，解得 ，所以 .【点睛】本题主要考查了正弦定理，

11、余弦定理，面积公式，属于中档题.16.已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且 的坐标为 ，则 的最小值是_【答案】【解析】【分析】过点 P 作 PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线定义可得 ,所以 ，故当 PA 和抛物线相切时， 最小，再利用斜率公式及导数的几何意义确定切点 P 的坐标，即可求解.【详解】抛物线 的焦点 F(0,1),准线方程为 ，过点 P 作 PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线定义可得 ,所以 , 为锐角，故当 最小时， 最小，故当 PA 和抛物线相切时， 最小，设切点 P ，由 的导数为则 PA 的斜率为 ，求得 ，可得 P(4,4),- 10 -所以 ，

12、 ， ,即 的最小值是 .【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线的斜率，导数的几何意义，属于中档题.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列 的前 项和为 ，已知 ， .（1）求通项公式 ；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）根据 与 的关系即可求出数列的通项公式（2） ,利用裂项相消法即可求出数列的和.【详解】 （1） ，相减得： ，又 ，（2）【点睛】本题主要考查了数列中 与 的关系，通项公式，裂项相消法，属于中档题.18.如图，平面 平面 ，其中 为矩形， 为直角梯形，- 11

13、-, ， .（1）求证：平面 平面 ；（2）若三棱锥 体积为 ，求 与面 所成角的正弦值 .【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）作 于 ，平面 平面 ，且 AD 为交线，只需证明 即可（2）连接 ，易知 为线 与面 所成的角,利用等体积法求 ， ，解三角形即可求解.【详解】 （1）证明：作 于 ， ， . ， ， . ，即：面 面 ， 为两个面的交线 面 .（）因为平面 平面 ， ， 所以 平面 ，- 12 -所以 ， 连接 ，易知 为线 与面 所成的角，在直角 中， ， 所以 与面 所成角的正弦值为 【点睛】本题主要考查了线线垂直，线面垂直，面面垂直，线面角，属于中档题.19.

14、经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了 100 个黄桃进行测重，其质量分布在区间 内（单位：克） ，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在 ， 的黄桃中随机抽取 5 个，再从这 5 个黄桃中随机抽 2 个，求这 2 个黄桃质量至少有一个不小于 400 克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有 100000 个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有黄桃均以 20 元/千克收购；B.低于 350 克

15、的黄桃以 5 元/个收购，高于或等于 350 克的以 9 元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据： ）【答案】 （1） （2）B【解析】- 13 -【分析】（1）由题得黄桃质量在 和 的比例为 ，记抽取质量在 的黄桃为 ， ，质量在 的黄桃为 ， ，列出取出 2 个的所有可能，找出其中质量至少有一个不小于 400 克的事件个数，根据古典概型即可求解（2）分别计算两种方案的收益，比较收益大小即可确定需选择的方案.【详解】 （1）由题得黄桃质量在 和 的比例为 ，应分别在质量为 和 的黄桃中各抽取 3 个和 2 个.记抽取质量在 的黄桃为 ， ， ，质量在 的黄桃为 ， ，则

16、从这 5 个黄桃中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种：， ， ， ， ， ， ， ， ，其中质量至少有一个不小于 400 克的 7 种情况，故所求概率为 .（2）方案 好，理由如下：由频率分布直方图可知，黄桃质量在 的频率为同理，黄桃质量在 ， ， ， ， 的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05若按方案 收购：黄桃质量低于 350 克的个数为 个黄桃质量不低于 350 克的个数为 55000 个收益为 元若按方案 收购：根据题意各段黄桃个数依次为 5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为（元）方案 的收益比方案 的收益高，应该选择

17、方案 .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，古典概型，分层抽样，属于中档题.20.已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且轴， 的周长为 6.- 14 -（）求椭圆的标准方程；（）过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，设 为坐标原点，是否存在常数 ，使得恒成立？请说明理由.【答案】 （） （）当 时，【解析】【分析】（）由三角形周长可得 ，求出 ，再根据 即可写出椭圆标准方程（）假设存在常数 满足条件，分两类讨论（1）当过点 的直线 的斜率不存在时，写出A,B 坐标，代入 可得 （2）当过点 的直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ， ，联立方程组，利用根与系数的关系代入中化

18、简即可求出 .【详解】 （）由题意， ， ， 的周长为 6， ， 椭圆的标准方程为 .（）假设存在常数 满足条件.（1）当过点 的直线 的斜率不存在时， ， ， ，当 时， ；（2）当过点 的直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ， ，联立 ，化简得 ， ， . - 15 - ，解得： 即 时， ；综上所述，当 时， .【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类讨论的思想，属于难题.21.已知函数 （其中 ）.（1）讨论 的单调性；（2）若 ，设 是函数 的两个极值点，若 ，且恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析（2） .【解析】【分析

19、】（1）求出函数的导数 ，分 ， ， 三种情况讨论即可（2）根据题意利用导数求出 ， ，所以 )，构造，利用导数知 在 上单调递减，求其最小值即可.【详解】 （1） 的定义域为 ， （i）若 ，则 .由 得 或 ；由 得 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； （ii）若 ，则 ， 在 上单调递增； （iii）若 ，则 ，由 得 或 ；由 得 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. （2） ， ，- 16 -由 得 ， ， ， 解得 设 ，则 在 上单调递减；当 时， 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，极值，不等式恒成立，涉及分类讨论，构造函数的方法，属于难题题.请考生在 22、23

20、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 与曲线 的极坐标方程分别为 ，.（）求直线 的极坐标方程；（）设曲线 与曲线 的一个交点为点 （ 不为极点） ，直线 与 的交点为 ，求 .【答案】 （） 【解析】【分析】（）消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可（）利用极坐标的极径的几何意义分别求 ，根据 求解.【详解】 （）直线 的参数方程为 （ 为参数）- 17

21、 -消参得： ，由 代入直角坐标方程可得 （）法 1：由 得 ，所以 点 的极坐标 ，又点 在直线 上，所以设 的极坐标为 由 得 ，所以 ，所以 . 法 2：曲线 与曲线 的直角坐标为 ，由 得点 的坐标 所以直线 的方程为由 得点 的坐标为 所以 ，或者： 【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题.【选修 4-5：不等式选讲】 23.已知函数 （ 为实数）（）当 时，求函数 的最小值；（）若 ，解不等式 .【答案】 （1）1（2）【解析】【分析】（）根据绝对值不等式的性质即可求出 的最小值（）分区间讨论去掉绝对值号，解含- 18 -参不等式即可.【详解】 （） 时，所以 的最小值为 1（） 时， ， ，因为所以此时解得： 时， ， ，此时： 时， ， ，此时无解； 综上：不等式的解集为【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想方法，属于中档题.- 19 -