安徽省东至二中2017_2018学年高二数学上学期12月份考试试题理（含解析）.doc

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1、- 1 -东至二中、石台中学 20172018 学年上学期高二年级 12 月月考数学(理科)第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题：“ ”的否定是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】全称命题“ ”的否定为特称命题“ ”，故选 C。2. 下列图形不一定是平面图形的是( )A. 三角形 B. 四边形 C. 圆 D. 梯形【答案】B【解析】三角形，圆，梯形一定是平面图形，但是四边形可以是空间四边形，故选 B.3. 已知直线 与直线 垂直，则 的值为( )A. 0 B. C. 1

2、D. 【答案】C【解析】直线 与直线 垂直， ，解得，故选 C.4. 已知命题“ 且 ”为真命题，则下面是假命题的是( )A. B. C. 或 D. 【答案】D【解析】命题“ 且 ”为真，则 真 真，则 为假，故选 D。5. 已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么这个几何体的表面积是( )- 2 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题可知，三视图复原的几何体是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱，所以几何体的表面积 （ ） ，故选 C.6. 下列命题：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 成等比数列；若 ，则 成等差数列 .其中真命题的个数为( )A. 1 B. 2 C. D.

3、4【答案】B【解析】 ，若 ，则 ，故正确；若 ，则 或 ，故错误；当 时， 不成等比数列，故错误；若 ，则 成等差数列，故正确.故选 B.7. 已知双曲线 的实轴长为 2，虚轴长为 4，则该双曲线的焦距为( )A. B. C. D. 【答案】D- 3 -【解析】由题知， ，焦距为 .故选 D.8. 在四棱锥 中， 底面 ，底面 为矩形， ， 是 上一点，若 ，则 的值为( )A. B. C. D. 4【答案】C【解析】因为 底面 ，所以 ，又 ，故 平面 ，故 ，此时， ，则 .因为 ，所以 ，即 .9. 若椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆上一点，若 到 的距离的最大值为 5，最小值为 3，则该

4、椭圆的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得： ，故 ，所以椭圆方程为： .故选 A.10. 已知过双曲线 右焦点 ，斜率为 的直线与双曲线的第一象限交于点，点 为左焦点，且 ，则此双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意 ，过双曲线 右焦点 的直线 ，代入双曲线 ，可得 ， ，- 4 -， ， ， ，故选 C.11. 在四面体 中， 底面 ， ， ， ， 为 的重心，为线段 上一点，且 平面 ，则线段 的长为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，延长 AG 交 BC 于点 H，过点 G 作 GE/BC 交 AC 于点 E

5、，过点 E 作 EF/DC，交 AD 于点F，则平面 EFG/平面 BCD，又 FG 平面 BCD，所以 FG/平面 BCD，又 ，所以 , ，所以 .12. 已知点 是椭圆 上的动点，过点 作圆 的切线， 为其中一个切点，则 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 .因为 ，所以 .故选 B.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答

6、案填在答题纸上）- 5 -13. 正方体的棱长为 ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为_.【答案】【解析】如图所示，取棱中点 ，连接 ，由正方体的性质可得 ，则 ，即几何体的棱长为 ，故答案为 .14. 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】由 ，解得 或 .“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 .点睛：设 对应的集合分别为 ，则有以下结论：（1）若 的充分条件，则 ；（2）若 的充分不必要条件，则 ；（3）若 的充要条件，则 。根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。15.

7、 若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：如图所示：- 6 -曲线 ，即 （1y3，0x4 ） ，表示以 A（2，3）为圆心，以 2 为半径的一个半圆由圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2，可得结合图象可得考点：直线与圆的位置关系16. 如图，有一圆锥形粮堆，其正(主)视图是边长为 6m 的正 ，粮堆母线 的中点 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在 处，它要沿圆锥侧面到达 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是_m.【答案】【解析】圆锥的底面半径为 3m，周长是 6 m,展开图中大圆半径为 6m，则圆心角为 ，即圆锥侧面展开图的圆心角是 180 度。在圆锥

8、侧面展开图中 .- 7 -故小猫经过的最短距离是 m.故答案是： .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 方程 表示双曲线； 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.【答案】试题解析： 为真命题时， ，为真命题时， ， 或 ， 为真命题， 为假命题， 与 真一假，当 真， 假时， ，当 假， 真时， 或 ， .18. 如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 垂直于底面， 分别是的中点.求证：(1) ；(2)平面 平面 .【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）由条件可得

9、， ，进而得 平面 ，从而可证；（2）由 ， ，进而得线面平行，结合直线相交即可证得面面平行.试题解析：- 8 -(1) 底面 ， ，又矩形 中， ，且 ， 平面 ， .(2)矩形 中， 分别为 的中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 是 中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，平面 平面 .点睛：本题主要考查了平面与平面平行的判定与证明问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理的综合应用，此类问题的解答中要证“面面平行”只要证明“线面平行” ，只要证“线线平行” ，把问题最终转化为线与线的平行问题，着重考查了学生的转化思想的应用.19. 已知条

10、件 ： ，条件 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.【答案】【解析】试题分析：解不等式得到命题 的等价条件 或 ，由 是 的必要不充分条件得到不等式组 ，解出不等式组即可.试题解析： ， 或 ， 是 的必要不充分条件， ， ， ，即 .20. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.- 9 -(1)请把字母 标记在正方体相应的顶点处(不需要说明理由)；(2)判断平面 与平面 的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线 平面 .【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】试题分析：(1)折叠成正方体即可得出；（2）根据条件可证四边形 BCEH 为平行四边形

11、，因此 BECH ，由 线面平行判定定理即可得证；（3）根据 DH平面 EFGH 可得DH EG， 又 EG FH，可证 EG平面 BFHD，所以 DF EG，同理可证同理 DF BG， 所以命题得证试题解析：(1)点 F、 G、 H 的位置如图所示(2)平面 BEC平面 ACH证明如下：因为 ABCD EFGH 为正方体，所以 BC FG， BC FG，又 FG EH， FG EH，所以 BC EH， BC EH，于是四边形 BCEH 为平行四边形，所以 BE CH，又 CH平面 ACH， BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH，同理， BG平面 ACH，- 10 -又 BE BG B，所

12、以平面 BEG平面 ACH(3)连接 FH 交 EG 于点 O，连接 BD因为 ABCD EFGH 为正方体，所以 DH平面 EFGH，因为 EG平面 EFGH，所以 DH EG，又 EG FH， EG FH O，所以 EG平面 BFHD，又 DF平面 BFHD，所以 DF EG，同理 DF BG，又 EG BG G，所以 DF平面 BEG点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及面面平行，属于中档题。对于面面平行问题，就是要在一个平面内找到两条相交直线分别平行另一个平面；在证明线面垂直时，要注意往往先转化为线线垂直，其他线面垂直，再转化到所要研究的直线上具备同时垂直两条相交直

13、线.21. 已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点 的直线 与圆 相交于两点， 是 的中点， .(1)求圆 的标准方程；(2)求直线 的方程.【答案】(1) (2) 或 .【解析】试题分析：（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，当直线斜率不存在时，满足题意，当斜率存在时，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程.试题解析：(1)设圆 的半径为 ，因为圆 与直线 相切， ，圆 的方程为 .(2)当直线 与 轴垂直时，易知 符合题意；当直线 与 轴不垂直时，设直线的方程为 ，即 ，连接 ，则 ， ， ，- 11 -则由

14、得 ，直线 为： ，故直线 的方程为 或 .点睛：本题主要考查了直线与圆相切，直线与圆相交，属于基础题；当直线与圆相切时，其性质圆心到直线的距离等于半径是解题的关键，当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.22. 已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ， 周长为 ，离心率为 .(1)求椭圆 的方程；(2)若点 是椭圆 上第一象限内的一个点，直线 过点 且与直线 平行，直线且 与椭圆 交于 两点，与 交于点 ，是否存在常数 ，使 .若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1） 周长为 ，离心率为 ，结合 ，即可得方程；（2）求出直线斜率得 的方程为 ，可设 方程为 ，由 得，由 得 ，利用弦长公式及韦达定理表示线段长即可得解.试题解析：(1)由题意知 ， ，又 ， ， ，- 12 -椭圆 的方程为 .(2)由 得 ， ，又 ， ， ， 的方程为 ，可设 方程为 ，由 得 ，由 得 ， ， ，设 ， ，则 ， ，由弦长公式： ，同理， ， ， ， ， ，存在常数 ，使 .