（江苏专用）2019高考数学二轮复习专题五函数与导数微专题11双变量双函数问题课件.pptx

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1、微专题11 双变量双函数问题,微专题11 双变量双函数问题 题型一 双函数“任意”+“存在”型,例1 已知函数f(x)=ln x-ax+ -1(aR),g(x)=x2-2bx+4.当a= 时,若对任意x1 (0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2),求实数b的取值范围.,解析 因为a= ,所以f(x)=ln x- x+ -1, 则f (x)= - - ,令f (x)=0,解得x=1或3. 当x(0,1)时, f (x)0,函数f(x)单调递增, 所以f(x)在(0,2)上的极小值即最小值为f(1)=- . 由“对任意x1(0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2)”等价于“g(x

2、)在1,2上的 最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”, 又g(x)=(x-b)2+4-b2,x1,2,得,当b(-,1)时,g(x)min=g(1)=5-2b0- ,与题意不符; 当b1,2时,g(x)min=4-b20- ,与题意不符; 当b(2,+)时,g(x)min=g(2)=8-4b, 解不等式8-4b- ,可得b . 综上,b的取值范围是 .,【方法归纳】 “对任意x1A,存在x2B,使f(x1)g(x2)”等价于“f(x)在A 上的最小值不小于g(x)在B上的最小值.”,1-1 已知函数f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x(aR),g(x)=x2-2x,若对任意x

3、1(0,2,均 存在x2(0,2,使得f(x1)g(x2),求a的取值范围.,解析 由已知得,在(0,2上有f(x)max0, 此时f(x)在(0,2上单调递增,则f(x)max=f(2)=2ln 2-20, 则f(x)在(0,2上单调递增, 故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2,由-2a-2+2ln 2ln 2-1,故ln 2-1 时,0 可知ln aln ln =-1,则-2ln a2,所以-2-2ln a 满足题意.,综上所述,aln 2-1.,题型二 双函数“任意”+“任意”型,例2 设f(x)= +xln x,g(x)=x3-x2-3.

4、 (1)如果存在x1,x20,2,使得g(x1)-g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数 M; (2)如果对任意的s,t ,都有f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围.,解析 (1)存在x1,x20,2,使得g(x1)-g(x2)M成立等价于在0,2上,g(x)max-g(x) minM.,由g(x)=3x2-2x=3x ,可得g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所 以g(x)max=maxg(0),g(2)=1,g(x)min=g =- ,因为1- = 4,且 5,所 以满足条件的最大整数M=4. (2)由(1)得,g(x)在 上的最大值为g(2)=1.则对任意的s,t ,都有f(

5、s) g(t)成立等价于f(x)1对x 恒成立,也等价于ax-x2ln x对x 恒成 立.,设h(x)=x-x2ln x,则h(x)=1-2xln x-x,且h(1)=0.设m(x)=1-2xln x-x,则m(x)=-3-2ln x,因为x ,所以m(x)=-3-2ln x0,x(1,2时,h(x)0,即函数h(x)=x-x2ln x在区间 上单调递 增,在区间(1,2上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,所以a1.,【方法归纳】 (1)研究与不等式有关的恒成立问题时,常常通过构造函数, 将原问题转化为研究函数性质的问题.解本类题的常用思路是:x1A,x2 B,使得f(x1)g(x2

6、)成立f(x)ming(x)max. (2)“对任意x1A,任意x2B,使f(x1)=g(x2)”等价于f(x)在A上的值域=g(x)在B 上的值域.,2-1 设函数f(x)= ,g(x)=x2-3x+a,若对于任意x1,x2(0,1),总有g(x2)=f(x1)成 立,求实数a的值.,解析 对于任意x1(0,1), f(x1)= = (0,2),而当x2(0,1)时,g(x2)= - 3x2+a(a-2,a),则由题得(0,2)=(a-2,a),即 故a=2.,题型三 双函数“存在”+“存在”型,例3 已知函数f(x)=ex,g(x)=x-b,bR.(1)设函数T(x)=f(x)+ag(x)

7、,aR,求T(x)的单调递增区间; (2)设函数h(x)=|g(x)|f(x),b1成立,求b的取 值范围.,解析 (1)T(x)=ex+a(x-b),T(x)=ex+a. 当a0时,T(x)0恒成立; 当a0,得xln(-a). 所以当a0时,函数T(x)的单调递增区间为(-,+); 当a1成立等价于h(x)在0,1上的最大值h(x)max和 最小值h(x)min满足:h(x)max-h(x)min1. h(x)=|g(x)|f(x)=,当xb时,有h(x)=(x-b+1)ex0; 当x0; 当b-11,得(1-b)e+b1,解得b1,所以b0. 当0b1时,h(x)在(0,b)上是减函数,

8、在(b,1)上是增函数,所以h(x)min=h(b)=0,h,(x)max=maxh(0),h(1). h(0)-h(1)=b-(1-b)e=b(e+1)-e, 若b ,则h(0)h(1); 若b1,得(1-b)e1,则0b .,() 当 b1不成立. 综上,b的取值范围为 .,【方法归纳】 (1)x1A,x2B,使得f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)max. (2)“对存在x1A,存在x2B,使f(x1)=g(x2)”等价于f(x)在A上的值域g(x)在B 上的值域.,3-1 已知函数f(x)=ln x- + -1,g(x)=x2-2bx+4.若存在x1(0,2),x21,2,使

9、f(x 1)g(x2),求实数b的取值范围.,解析 由已知得, f (x)= - - =- ,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1, 2)上单调递增,f(x)min=f(1)=- .依题意有f(x)ming(x)max,所以g(x)max- .又g(x) =(x-b)2-b2+4,从而 或 解得b ,即实数b的取值范围是 .,3-2 设函数f(x)= ,g(x)=x2-3x+a,若存在x1,x2(0,1),使得g(x2)=f(x1)成立,求 实数a的取值范围.,解析 对于任意x1(0,1), f(x1)= = (0,1),而当x2(0,1)时,g(x2)= - 3x2+a(a-2,a),则(0,1)(a-2,a),而(0,1)(a-2,a)=时,a-21或a0,即a 3或a0,所以(0,1)(a-2,a)时,0a3,故实数a的取值范围为(0,3).,