2018年中考数学真题分类汇编第三期专题31点直线与圆的位置关系试题含解析20190124385.doc

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1、1点直线与圆的位置关系一.选择题1 （2018重庆市 B 卷） （4.00 分）如图，ABC 中，A=30，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD若 BD 平分ABC，AD=2 ，则线段 CD 的长是（ ）A2 B C D【分析】连接 OD，得 RtOAD，由A=30，AD=2 ，可求出 OD.AO 的长；由 BD 平分ABC，OB=OD 可得OD 与 BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论【解答】解：连接 ODOD 是O 的半径，AC 是O 的切线，点 D 是切点，ODAC在 RtAOD 中，A=30，A

2、D=2 ，OD=OB=2，AO=4，ODB=OBD，又BD 平分ABC，OBD=CBDODB=CBDODCB，即CD= 故选：B【点评】本题考查了圆的切线的性质、含 30角的直角三角形的性质及平行线分线段成比2例定理，解决本题亦可说明C=90，利用A=30，AB=6，先得 AC 的长，再求 CD遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线2. （2018广安3 分）下列命题中：如果 ab，那么 a2b 2一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是 a1其中真命题的个数是（

3、 ）A1 B2 C3 D4【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案【解答】解：如果 ab，那么 a2b 2，错误；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是 a1 且 a0，故此选项错误故选：A【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键3.（2018江苏常州2 分）如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为 N，如果MNB=52，则NOA 的度数为（ ）A76 B56 C54

4、D52【分析】先利用切线的性质得ONM=90，则可计算出ONB=38，再利用等腰三角形的性质得到B=ONB=38，然后根据圆周角定理得NOA 的度数【解答】解：MN 是O 的切线，ONNM，ONM=90，ONB=90MNB=9052=38，ON=OB，B=ONB=38，NOA=2B=76故选：A【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理二.填空题1.（2018浙江省台州5 分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的点，过点 C 作O 的3切线交 AB 的延长线于点 D若A=32，则D= 26 度【分析】连接 OC，根据圆周角定理得到COD=2A，根据切线的性

5、质计算即可【解答】解：连接 OC，由圆周角定理得，COD=2A=64，CD 为O 的切线，OCCD，D=90COD=26，故答案为：26【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键三.解答题1. （2018广西贺州10 分）如图，AB 是O 的弦，过 AB 的中点 E 作 ECOA，垂足为C，过点 B 作直线 BD 交 CE 的延长线于点 D，使得 DB=DE（1）求证：BD 是O 的切线；（2）若 AB=12，DB=5，求AOB 的面积【解答】 （1）证明：OA=OB，DB=DE，A=OBA，DEB=DBE，ECOA，DEB=AEC，A+DEB=9

6、0，OBA+DBE=90，OBD=90，4OB 是圆的半径，BD 是O 的切线；（2）过点 D 作 DFAB 于点 F，连接 OE，点 E 是 AB 的中点，AB=12，AE=EB=6，OEAB，又DE=DB，DFBE，DB=5，DB=DE，EF=BF=3，DF= =4，AEC=DEF，A=EDF，OEAB，DFAB，AEO=DFE=90，AEODFE， ，即 ，得 EO=4.5，AOB 的面积是： =272. （2018广西梧州10 分）如图，AB 是M 的直径，BC 是M 的切线，切点为 B，C 是BC 上（除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交M 于点 G，过点 C 作 DCBC 交

7、BG 的延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E（1）求证：ABEBCD；（2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度5【分析】 （1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB.GH 和 CD 的数量关系，求得 CD【解答】 （1）证明：BC 为M 切线ABC=90DCBCBCD=90ABC=BCDAB 是M 的直径AGB=90即：BGAECBD=AABEBCD（2）解：过点 G 作 GHBC 于 HMB=BE=1AB=2AE=由（1）根据面积法ABBE=BGAEBG=由勾股定理：AG= ，GE=G

8、HAB6GH=又GHAB同理： +，得CD=【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似解答时，注意根据条件构造相似三角形3. （2018湖北江汉8 分）如图，在O 中，AB 为直径，AC 为弦过 BC 延长线上一点G，作 GDAO 于点 D，交 AC 于点 E，交O 于点 F，M 是 GE 的中点，连接 CF，CM（1）判断 CM 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ECF=2A，CM=6，CF=4，求 MF 的长【分析】 （1）连接 OC，如图，利用圆周角定理得到ACB=90，再根据斜边上的中线性质得 MC=MG=ME，所以G=1，接着证明1+2=90，从而得到O

9、CM=90，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断 CM 为O 的切线；（2）先证明G=A，再证明EMC=4，则可判定EFCECM，利用相似比先计算出CE，再计算出 EF，然后计算 MEEF 即可【解答】解：（1）CM 与O 相切理由如下：连接 OC，如图，GDAO 于点 D，G+GBD=90，AB 为直径，7ACB=90，M 点为 GE 的中点，MC=MG=ME，G=1，OB=OC，B=2，1+2=90，OCM=90，OCCM，CM 为O 的切线；（2）1+3+4=90，5+3+4=90，1=5，而1=G，5=A，G=A，4=2A，4=2G，而EMC=G+1=2G，EMC=4，而FEC=

10、CEM，EFCECM， = = ，即 = = ，CE=4，EF= ，MF=MEEF=6 = 4. （2018湖北十堰8 分）如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 FGAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G（1）求证：FG 是O 的切线；8（2）若 tanC=2，求 的值【分析】 （1）欲证明 FG 是O 的切线，只要证明 ODFG；（2）由GDBGAD，设 BG=a可得 = = = ，推出 DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】 （1）证明：连接 AD.ODAB 是直径，ADB=90，即 ADBC，AC=AB，

11、CD=BD，OA=OB，ODAC，DFAC，ODDF，FG 是O 的切线（2）解：tanC= =2，BD=CD ，BD：AD=1：2，GDB+ODB=90，ADO+ODB=90，OA=OD，OAD=ODA，GDB=GAD，9G=G，GDBGAD，设 BG=a = = = ，DG=2a，AG=4a，BG：GA=1：4【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型5.（2018四川省攀枝花）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别与 B

12、C.AC 交于点 D.E，过点 D 作 DFAC 于点 F（1）若O 的半径为 3，CDF=15，求阴影部分的面积；（2）求证：DF 是O 的切线；（3）求证：EDF=DAC（1）解：连接 OE，过 O 作 OMAC 于 M，则AMO=90DFAC，DFC=90FDC=15，C=1809015=75AB=AC，ABC=C=75，BAC=180ABCC=30，OM= OA= = ，AM= OM= OA=OE，OMAC，AE=2AM=3 ，BAC=AEO=30，AOE=1803030=120，阴影部分的面积 S=S 扇形 AOES AOE= =3 ；10（2）证明：连接 OD，AB=AC，OB=O

13、D，ABC=C，ABC=ODB，ODB=C，ACODDFAC，DFODOD 过 O，DF 是O 的切线；（3）证明：连接 BE，AB 为O 的直径，AEB=90，BEACDFAC，BEDF，FDC=EBCEBC=DAC，FDC=DACA.B.D.E 四点共圆，DEF=ABCABC=C，DEC=CDFAC，EDF=FDC，EDF=DAC6.（2018云南省昆明8 分）如图，AB 是O 的直径，ED 切O 于点 C，AD 交O 于点F，AC 平分BAD，连接 BF（1）求证：ADED；（2）若 CD=4，AF=2，求O 的半径【分析】 （1）连接 OC，如图，先证明 OCAD，然后利用切线的性质得

14、 OCDE，从而得到ADED；（2）OC 交 BF 于 H，如图，利用圆周角定理得到AFB=90，再证明四边形 CDFH 为矩形得到 FH=CD=4，CHF=90，利用垂径定理得到 BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出 AB，从而得到O 的半径11【解答】 （1）证明：连接 OC，如图，AC 平分BAD，1=2，OA=OC，1=3，2=3，OCAD，ED 切O 于点 C，OCDE，ADED；（2）解：OC 交 BF 于 H，如图，AB 为直径，AFB=90，易得四边形 CDFH 为矩形，FH= CD=4，CHF=90，OHBF，BH=FH=4，BF=8，在 RtABF 中，AB= = =2

15、，O 的半径为 【点评】本题考查 了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了垂径定理和圆周角定理7.（2018云南省曲靖）如图，AB 为O 的直径，点 C 为O 上一点，将弧 BC 沿直线 BC翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，连接 OC，CD，BD，过点 C 的切线与线段 BA 的延长线交于点 P，连接 AD，在 PB 的另一侧作MPB=ADC（1）判断 PM 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 PC= ，求四边形 OCDB 的面积12【解答】解：（1）PM 与O 相切理由如下：连接 DO 并延长交 PM

16、 于 E，如图，弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，OC=DC，BO=BD，OC=DC=BO=BD，四边形 OBDC 为菱形，ODBC，OCD 和OBD 都是等边三角形，COD=BOD=60，COP=EOP=60，MPB=ADC，而ADC=ABC，ABC=MPB，PMBC，OEPM，OE= OP，PC 为O 的切线，OCPC，OC= OP，OE=OC，而 OEPC，PM 是O 的切线；（2）在 RtOPC 中，OC= PC= =1，四边形 OCDB 的面积=2S OCD =2 12= 138.（2018云南省9 分）如图，已知 AB 是O 上的点，C 是

17、O 上的点，点 D 在 AB 的延长线上，BCD=BAC（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若D=30，BD=2，求图中阴影部分的面积【分析】 （1）连接 OC，易证BCD=OCA，由于 AB 是直径，所以ACB=90，所以OCA+OCB=BCD+OCB=90，CD 是O 的切线（2）设O 的半径为 r，AB=2r，由于D=30，OCD=90，所以可求出r=2，AOC=120，BC=2，由勾股定理可知：AC=2 ，分别计算OAC 的面积以及扇形OAC 的面积即可求出影响部分面积【解答】解：（1）连接 OC，OA=OC，BAC=OCA，BCD=BAC，BCD=OCA，AB 是直径，ACB=90

18、，OCA+OCB=BCD+OCB=90OCD=90OC 是半径，CD 是O 的切线（2）设O 的半径为 r，AB=2r，D=30，OCD=90，14OD=2r，COB=60r+2=2r，r=2，AOC=120BC=2，由勾股定理可知：AC=2易求 SAOC = 2 1=S 扇形 OAC= =阴影部分面积为 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含 30 度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识9 （2018辽宁省沈阳市） （10.00 分）如图，BE 是 O 的直径，点 A 和点 D 是O 上的两点，过点 A 作O 的切线交 BE 延长线于点（

19、1）若ADE=25，求C 的度数；（2）若 AB=AC，CE=2，求O 半径的长【分析】 （1）连接 OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可【解答】解：（1）连接 OA，AC 是O 的切线，OA 是O 的半径，15OAAC，OAC=90， ，ADE=25 ，AOE=2ADE=50，C=90AOE=9050=40；（2）AB=AC，B=C， ，AOC=2B，AOC=2C，OAC=90，AOC+C=90，3C=90，C=30，OA= OC，设O 的半径为 r，CE=2，r= ，解得：r=2，O 的半径为 2【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行

20、解答10 （2018辽宁省盘锦市）如图，在 RtABC 中，C=90，点 D 在线段 AB 上，以 AD 为直径的O 与 BC 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，B=BAE=30（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若 AC=3，求O 的半径 r；（3）在（1）的条件下，判断以 A.O、E.F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由16【解答】解：（1）如图 1，连接 OE，OA=OE，BAE=OEABAE=30，OEA=30，AOE=BAE+OEA=60在BOE 中，B=30，OEB=180BBOE=90，OEBC点 E 在O 上，BC 是O 的切线；（2）如图 21B=BAE=30

21、，AEC=B+BAE=60在 RtACE 中，AC=3，sinAEC= ，AE = = =2 ，连接 DE1AD 是O 的直径，AED=90在 RtADE 中，BAE=30，cosDAE= ，AD= = =4，O 的半径 r= AD=2；（3）以 A.O、E.F 为顶点的四边形是菱形，理由：如图 3在 RtABC 中，B=30，BAC=60，连接 OF，OA=OF，AOF 是等边三角形，OA=AF，AOF=60，连接EF，OE，OE=OFOEB=90，B=30，AOE=90+30=120，EOF=AOEAOF=60OE=OF，OEF 是等边三角形，OE=EFOA=OE，OA=AF=EF=OE，

22、四边形 OAFE 是菱形1711.（2018辽宁省葫芦岛市) 如图，AB 是O 的直径， = ，E 是 OB 的中点，连接CE 并延长到点 F，使 EF=CE连接 AF 交O 于点 D，连接 BD，BF（1）求证：直线 BF 是O 的切线；（2）若 OB=2，求 BD 的长【解答】 （1）证明：连接 OCAB 是O 的直径， = ，BOC=90E 是 OB 的中点，OE=BE在OCE 和BFE 中 ，OCEBFE（SAS） ，OBF=COE=90，直线 BF 是O 的切线；（2）解：OB=OC=2，由（1）得：OCEBFE，BF=OC=2，AF= =2 ，S ABF = ，42=2 BD，BD

23、= 12 （2018辽宁省抚顺市） （12.00 分）如图，RtABC 中，ABC=90，以 AB 为直径作O，点 D 为O 上一点，且 CD=CB.连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E（1）判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由；18（2）若 BE=4，DE=8，求 AC 的长【分析】 （1）欲证明 CD 是切线，只要证明 ODCD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设O 的半径为 r在 RtOBE 中，根据 OE2=EB2+OB2，可得（8r） 2=r2+42，推出r=3，由 tanE= = ，推出 = ，可得 CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；【解答】 （1）证

24、明：连接 OCCB=CD，CO=CO，OB=OD，OCBOCD，ODC=OBC=90，ODDC，DC 是O 的切线（2）解：设O 的半径为 r在 RtOBE 中，OE 2=EB2+OB2，（8r） 2=r2+42，r=3，tanE= = ， = ，CD=BC=6，在 RtABC 中，AC= = =6 【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型1913. （2018呼和浩特10 分）如图，已知 BCAC，圆心 O 在 AC 上，点 M 与点 C 分别是 AC与O 的交点，点 D 是 MB 与O 的交点，点 P 是

25、 AD 延长线与 BC 的交点，且 = （1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 AD=12，AM=MC，求 的值（1）证明：连接 OD.OP、CD = ，A=A ，ADMAPO，ADM=APO，MDPO，1=4，2=3，OD=OM，3=4，1=2，OP=OP，OD=OC，ODPOCP，ODP=OCP，BCAC，OCP=90，ODAP，PD 是O 的切线（2）连接 CD由（1）可知：PC=PD，AM=MC，AM=2MO=2R，在 RtAOD 中，OD 2+AD2=OA2，R 2+122=9R2，R=3 ，20OD=3 ，MC=6 ， = = ，DP=6，O 是 MC 的中点， = = ，点 P

26、 是 BC 的中点，BP=CP=DP=6，MC 是O 的直径，BDC=CDM=90，在 RtBCM 中，BC=2DP=12，MC=6 ，BM=6 ，BCMCDM， = ，即 = ，MD=2 ， = = 14. （2018乐山10 分）如图，P 是O 外的一点，PA.PB 是O 的两条切线，A.B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC（1）求证：ACPO；（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若O 的半径为 3，CQ=2，求 的值21（1）证明：PA.PB 是O 的两条切线，A.B 是切点，PA=PB，且 PO

27、平分BPA，POABBC 是直径，CAB=90，ACAB，ACPO；（2）解：连结 OA.DF，如图，PA.PB 是O 的两条切线，A.B 是切点，OAQ=PBQ=90在 RtOAQ 中，OA=OC=3，OQ=5由 QA2+OA2=OQ2，得 QA=4在 RtPBQ 中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由 QB2+PB2=PQ2，得 82+PB2=（PB+4） 2，解得PB=6，PA=PB=6OPAB，BF=AF= AB又D 为 PB 的中点，DFAP，DF= PA=3，DFEQEA， = = ，设AE=4t，FE=3t，则 AF=AE+FE=7t，BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=

28、10t， = = 15. （2018广安9 分）如图，已知 AB 是O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，PC 切O 于点 C，CG 是O 的弦，CGAB，垂足为 D（1）求证：PCA=ABC（2）过点 A 作 AEPC 交O 于点 E，交 CD 于点 F，连接 BE，若 cosP= ，CF=10，求 BE的长22【分析】 （1）连接半径 OC，根据切线的性质得：OCPC，由圆周角定理得：ACB=90，所以PCA=OCB，再由同圆的半径相等可得：OCB=ABC，从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明CAF=ACF，则 AF=CF=10，根据 cosP=cosFAD= ，可得AD=

29、8，FD=6，得 CD=CF+FD=16，设 OC=r，OD=r8，根据勾股定理列方程可得 r 的值，再由三角函数 cosEAB= ，可得 AE 的长，从而计算 BE 的长；方法二：根据平行线的性质得：OCAE，P=EAO，由垂直的定义得：OCD=EAO=P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设 AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x8，由 OC=OA 列式可得 x 的值，最后同理得结论【解答】证明：（1）连接 OC，交 AE 于 H，PC 是O 的切线，OCPC，PCO=90，PCA+ACO=90， （1 分）AB 是O 的直径，ACB=90， （2 分）ACO+OCB=90，P

30、CA=OCB， （3 分）OC=OB，OCB=ABC，PCA=ABC；（4 分）（2）方法一：AEPC，CAF=PCA，ABCG， ，ACF=ABC， （5 分）ABC=PCA，23CAF=ACF，AF=CF=10， （6 分）AEPC，P=FAD，cosP=cosFAD= ，在 RtAFD 中，cosFAD= ，AF=10，AD=8， （7 分）FD= =6，CD=CF+FD=16，在 RtOCD 中，设 OC=r，OD=r8，r2=（r8） 2+162，r=20，AB=2r=40， （8 分）AB 是直径，AEB=90，在 RtAEB 中，cosEAB= ，AB=40，AE=32，BE=

31、=24 （9 分）方法二：AEPC，OCPC，OCAE，P=EAO， （5 分） ，EAO+COA=90，ABCG，OCD+COA=90，OCD=EAO=P， （6 分）在 RtCFH 中，cosHCF= ，CF=10，CH=8， （7 分）在 RtOHA 中，cosOAH= ，设 AO=5x，AH=4x，OH=3x，OC=3x+8，由 OC=OA 得：3x+8=5x，x=4，AO=20，24AB=40， （8 分）在 RtABE 中，cosEAB= ，AB=40，AE=32，BE= =24 （9 分）【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC 构造直角

32、三角形是解题的关键16. （2018莱芜10 分）如图，已知 A.B 是O 上两点，OAB 外角的平分线交O 于另一点 C，CDAB 交 AB 的延长线于 D（1）求证：CD 是O 的切线；（2）E 为 的中点，F 为O 上一点，EF 交 AB 于 G，若tanAFE= ，BE=BG，EG=3 ，求O 的半径【分析】 （1）连接 OC，如图，先证明OCB=CBD 得到 OCAD，再利用 CDAB 得到OCCD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图，利用垂径定理得到 OEAB，再利用圆周角定理得到ABE=AFE，在 RtBEH 中利用正切可设 EH=3x，

33、BH=4x，则 BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在 RtEHG 中利用勾股定理得到 x2+（3x） 2=（3 ） 2，解方程得x=3，接下来设O 的半径为 r，然后在 RtOHB 中利用勾股定理得到方程（r9）2+122=r2，最后解关于 r 的方程即可【解答】 （1）证明：连接 OC，如图，BC 平分OBD，OBD=CBD，OB=OC，25OBC=OCB，OCB=CBD，OCAD，而 CDAB，OCCD，CD 是O 的切线；（2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图，E 为 的中点，OEAB，ABE=AFE，tanABE=tanAFE= ，在 RtBEH 中，tanHBE=

34、 =设 EH=3x，BH=4x，BE=5x，BG=BE=5x，GH=x，在 RtEHG 中，x 2+（3x） 2=（3 ） 2，解得 x=3，EH=9，BH=12，设O 的半径为 r，则 OH=r9，在 RtOHB 中， （r9） 2+122=r2，解得 r= ，即O 的半径为 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线” ；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径” 也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形19. （2018陕西10 分）如图，在 RtABC 中

35、，ACB90，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O，分别与 AC.BC 相交于点 M、N26(1)过点 N 作O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NEAB；(2)连接 MD，求证：MDNB【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 【分析】 （1）如图，连接 ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得ADCDDB，从而可得DCBDBC，再由DCBONC，可推导得出 ONAB，再结合 NE是O 的切线，ON/AB，继而可得到结论；（2）如图，由（1）可知 ONAB，继而可得 N 为 BC 中点，根据圆周角定理可知CMD90，继而可得 MDCB，再由 D 是 AB

36、的中点，根据得到 MDNB【详解】 （1）如图，连接 ON，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的中线，ADCDDB，DCBDBC，又OC=ON，DCBONC，ONCDBC，ONAB，NE 是O 的切线，ON 是O 的半径，ONE90，NEB90，即 NEAB；（2）如图所示，由（1）可知 ONAB，OCOD，CNNB CB，又CD 是O 的直径，CMD=90，ACB=90，CMD+ACB=180，MD/BC，又D 是 AB 的中点，MD CB，MDNB27【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.20. （2018湖北咸宁10 分

37、）如图，以ABC 的边 AC 为直径的O 恰为ABC 的外接圆，ABC 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于点 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AB=25，BC= ，求 DE 的长【答案】 （1）证明见解析；（2）DE= 【解析】 【分析】 （1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出 DE 是O 的切线；（2）首先过点 C 作 CGDE，垂足为 G，则四边形 ODGC 为正方形，得出tanCEG=tanACB， ，即可求出答案【详解】 （1）如图，连接 OD，AC 是O 的直径，ABC=90，BD 平分ABC，ABD=45，AOD=90，DE

38、AC，ODE=AOD=90，DE 是O 的切线；（2）在 RtABC 中，AB=2 ，BC= ，AC= =5，28OD= ，过点 C 作 CGDE，垂足为 G，则四边形 ODGC 为正方形，DG=CG=OD= ，DEAC，CEG=ACB，tanCEG=tanACB， ，即 ，解得：GE= ，DE=DG+GE= 【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.21.（2018辽宁大连10 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，BAD=90，点 E 在 BC 的延长线上，且DEC=BAC（1）求证：DE

39、 是O 的切线；（2）若 ACDE，当 AB=8，CE=2 时，求 AC 的长解：（1）如图，连接 BDBAD=90，点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，BCD=90，DEC+CDE=90DEC=BAC，BAC+CDE=9029BAC=BDC，BDC+CDE=90，BDE=90，即：BDDE点 D 在O 上，DE 是O 的切线；（2）DEACBDE=90，BFC=90，CB=AB=8，AF=CF= ACCDE+BDC=90，BDC+CBD=90，CDE=CBDDCE=BCD=90，BCDDCE， ， ，CD=4在 RtBCD 中，BD= =4同理：CFDBCD， ， ，CF= ，AC=2

40、AF= 22.（2018吉林长春7 分）如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点 A，BC 交O 于点D已知O 的半径为 6，C=40（1）求B 的度数（2）求 的长 （结果保留 ）【分析】 （1）根据切线的性质求出A=90，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出AOD，根据弧长公式求出即可【解答】解：（1）AC 切O 于点 A，BAC=90，C=40，B=50；30（2）连接 OD，B=50，AOD=2B=100， 的长为 = 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键23.（2018江苏镇江8 分）如图 1，平

41、行四边形 ABCD 中，ABAC，AB=6，AD=10，点 P在边 AD 上运动，以 P 为圆心，PA 为半径的P 与对角线 AC 交于 A，E 两点（1）如图 2，当P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长；（2）不难发现，当P 与边 CD 相切时，P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点，随着AP 的变化，P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为 4，直接写出相对应的 AP 的值的取值范围 AP 或 AP=5 【解答】解：（1）如图 2 所示，连接 PF，在 RtABC 中，由勾股定理得：AC= =8，设 AP=x，则 DP=10x，PF=x，P 与边 CD 相切于点 F，PFCD，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABAC，ACCD，ACPF，DPFDAC， ， ，x= ，AP= ；（2）当P 与 BC 相切时，设切点为 G，如图 3，