[职业资格类试卷]2015年下半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析.doc

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1、2015 年下半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析一、单项选择题1 已知数列a n与数列b n，n=1，2，3，则下列结论不确定的是( )（A）若对任意的整数 n，有 anb n， an=a， bn=b，且 b0，则 a0（B）若 bn=b，且 ab，则对任意的正整数 n，a nb n（C）若 bn=b，且存在正整数 N，使得当 nN 时，a nbn，则 ab（D）若对任意整数 n，有 anbn， bn=b，且 b0，则 a02 已知变换矩阵 则 A 将空间曲面(x1) 2+(y2) 2+(z1) 2=1 变成( )（A）球面（B）椭球线（C）抛物线（D）

2、双曲线3 为研究 7 至 lO 岁少年儿童的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了100 名和 1000 名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为、(单位：cm)，则 、 的大小关系为( )（A）（B） （C） =（D）不能确定4 下列关系不正确的是( )（A）(a+c) b=ba+bc（B） (a+c)b=ba+bc（C） (ab) 2+(ab)2=a2b2（D）(ab)c=(a c)b (bc)a5 已知多项式 f(x)=2x47x 3+8x2+7x8 和 g(x)=x23x+4，则 g(x)除 f(x)的商和余式分别为( )（A）2x 2x1 和 2x+3（B） 2x2

3、x3 和 2x+1（C） 2x2x3 和 2x+4（D）2x 2x1 和 06 函数级数 xn 的收敛 IXI 司为( )（A）(1，1)（B） (1，1（C） 1，1)（D）1，17 义务教育数学课程标准(2011 年版)中设定了九条“基本事实” ，下列命题属于“基本事实”的是( )（A）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等（B）两条平行直线间的距离处处相等（C）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（D）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例8 对于四个图形：两条相交直线、等腰三角形、平行四边形、正多边形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )（A）1（B） 2（C

4、） 3（D）4二、简答题9 一条光线斜射在一水平放置的平面上，入射角为 6，请建立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程。若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求出旋转曲面的方程。10 求证：非齐次线性方程组 有唯一解，当且仅当向量 m=(a，a) ，n=(b，b)线性无关。11 某飞行表演队由甲、乙两队组成。甲队由喷红色雾和绿色雾的飞机组成，各 3架，乙队仅有 3 架喷红色雾的飞机。在一次表演中，需要从甲队抽 3 架到乙队组成混合表演队，并且任意指定一架为领飞机，求领飞机是绿色雾的概率。12 阐述确定数学课程内容的依据。13 抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面，请举例。三、解答题1

5、4 叙述、证明拉格朗日中值定理，并简述拉格朗日中值定理与中学数学内容的关系。四、论述题15 试述“数学的严谨性和量力性相结合” 的数学教学原则的内涵，并以 “在是无理数”的教学说明在教学中如何体现该教学原则。五、案例分析题15 某教师关于“ 反比例函数图象 ”教学过程中的三个步骤为：第一步：复习回顾提出问题：我们已经学过一次函数的哪些内容?是如何研究的? 第二步：引入新课提出问题：反比例函数的图象是什么形状呢?引导学生利用描点法画出 y=1x 的图像。列表：描点：连线：引导学生用光滑的曲线连接描点，并用计算机演示图象的生成过程。在此过程中启发学生思考，由于 x，y 都不能为 0，所以函数图象与

6、 x 轴、y 轴不能有交点。(如下图) 第三步：深入思考根据反比例函数 y=1x 的表达式，引导学生由“ 数”想“形”，进一步考察该函数图象的特点。提出问题：你能根据 y=1x 中的 x 和 y 的符号特点确定这个函数的图象在哪个象限吗?点(1，1) 与点(1，1)、点(2，12)与点 (2，12)都在这个函数的图象上吗? 像这样的两个点有什么特殊的位置关系? 这个函数的图象在第一象限怎样变化? 在第三象限怎样变化 ?问题：16 该教学过程的主要特点是什么?17 在第二步的连线过程中，如果你是该老师，如何引导学生思考所连的线不是折线而是光滑的曲线?18 对于第三步的，如果你是该老师，如何引导学

7、生思考函数图象在第一象限(或第三象限)的变化?六、教学设计题18 义务教育数学课程标准(2011 年版)关于平行四边形的性质的教学要求是：探索并证明平行四边形的性质定理平行四边形的对边以及对角相等。请基于该要求，完成下列教学设计任务：19 设计平行四边形性质的教学目标；20 设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程；21 设计平行四边形性质证明的教学流程，使学生顿悟证明过程中的数学思想方法。2015 年下半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 取 an=1n，b n=l bn=1，0 1，而a1=1 b1=0，a

8、 2=b2=12，因此 B 的结论不正确。故选 B。2 【正确答案】 B【试题解析】 由已知设曲面上一点(x，y，z) 经矩阵 A 变换后为(x，y，z) ，则故变换后方程为(x1) 2+(12y2)2+(13z1) 2=1，则(x 1)2+ =1，故选 B。3 【正确答案】 D【试题解析】 随机抽取的样本并不是全体调查对象，只是近似表示调查对象的身高情况，因而 、 的大小关系不能确定。故选 D。4 【正确答案】 B【试题解析】 由向量积的性质可得，(a+c)b= babc ，故 B 项错误。5 【正确答案】 C【试题解析】 用辗转相除法可得答案 C。6 【正确答案】 A【试题解析】 幂级数

9、xn 的收敛半径为 r= |an an+1|=1，又当 x=1 时，函数级数 xn 发散，当 x=1 时，级数 也发散，故其收敛域为(1，1)。故选 A。7 【正确答案】 D【试题解析】 义务教育数学课程标准(2011 年版)中设定的九条“基本事实”是：两点之间确定一条直线； 两点之间线段最短； 过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 三边分别相等的两个三角形全等；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。由上

10、可知，只有 D 选项符合题意。故选 D。8 【正确答案】 A【试题解析】 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形结合轴对称图形定义可知，只有两条相交直线既是中心对称图形又是轴对称图形。故选 A。二、简答题9 【正确答案】 建立如下图的空间直角坐标系，其中入射点为原点，法线为 z 轴，且光线在 yOz 坐标面上， 则入射光线的直线方程为z=ycot6= y(y0)，而反射光线与入射光线关于 z 轴对称，所以反射光线的直线方程为 z= y(y0)，反射光线绕法线一周即直线 z= y(y0)绕 z 轴旋转一周，所得旋转曲面的方程为

11、 z= ，即 z2=3(x2+y2)(z0)。10 【正确答案】 (1)当非齐次方程组 有唯一解时，假设向量 m=(a，a)，n=(b，b)线性相关，则 n=km，即 b=ka，b=ka，原方程组可化为 当aa=cc时，非齐次方程组无解，与方程组有唯一解有矛盾。所以向量m=(a，a)，n=(b，b) 线性无关。(2)当向量 m=(a，a)，n=(b ，b) 线性无关时，有唯一解。故原题得证。11 【正确答案】 先从甲队抽 3 架飞机到乙队：选出 1 架是喷绿色烟雾的飞机的概率为 C31C32 C63=920，选出 2 架是喷绿色烟雾的飞机的概率为C32C31C 63=920，选出 3 架是喷绿

12、色烟雾的飞机的概率为 C33C 63=120，再从乙队指定一架为领飞机：6 架中含有 1 架是喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为 16，6 架中含有 2 架是喷绿色烟雾的飞机日寸，所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为 13，6 架中含有 3 架是喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为 12，所以，所选的领飞机是喷绿色烟雾的飞机的概率为12 【正确答案】 在普通高中课程标准中规定，数学课程标准、单元目标和具体数学知识点三者要有机结合。确定教学内容时，特别要注意以下三点：一是数学知识的主要特征。一个数学知识点内容是极为庞杂的，我们应该选择该数学知识点最本质的

13、东西作为教学重点。二是学生需要。确定知识点的教学内容不是由教材一个要素决定的，还涉及学生认知发展阶段性的问题。因此，不是教材有什么我们就教什么、学什么，而是只选择教材内容与学生认知发展相一致的内容作为教学内容。三是编者的意图编者的意图主要是通过例题以及课后的练习题来体现的数学例题以及课后练习题的重要性在数学课程中远远高于其他学科，因为数学例题以及课后练习题是数学课程内容建设中一个不可或缺的组成部分。在其他课程中，练习题最多只是课程内容的重现，有的只属于教学领域，作为一种教学手段，对课程本身并没有很大影响。但数学课不是这样，数学课“教什么” 在相当程度上是由练习题或明或暗指示给教师的。13 【正

14、确答案】 数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象的，所以表现在以下几个方面：(1)表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象，如运算律、空间几何的证明。(2)表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号。如空间几何图形的位置关系的定义，数量间的加减乘除方法的归类(3)数学在抽象过程中抛开较多的事物的具体特征，因而具有十分抽象的形式。数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽兔材料为其具体背景，如数形结合得出函数单调性和奇偶性性质。(4)高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽

15、象必须要以具体为基础。(5)数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。学会有关的数学术语和符号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的真正理解。同时数学有它的准确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，结论对错分明，因此数学阅读要求认真细致，同时必须勤思多想。三、解答题14 【正确答案】 如果函数 f(x)满足：(1) 在闭区间 a，b上连续；(2)在开区间(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使 f()= 证明：已知函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，构造辅助函数 g(x)=f(x)f(a) (xa)，验

16、证可得 g(a)=g(b)=0，有因为 g(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 g(x)=f(x) 根据罗尔定理可知，在 (a， b)内至少有一点 ，使得 g()=0， 由此可得 =f()，定理完毕。拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体性态的有力工具。拉格朗日中值定理在中学数学中应用非常广泛，如利用导数来研究函数的某些性质、证明不等式和方程根的存在性、描绘函数的图象、解决极值、最值问题等。四、论述题15 【正确答案】 (1)数学的严谨性是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。量力性是指学生的可接受性。

17、这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的不断提高，来逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐提高学生的接受能力。显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心理发展的渐变性决定了学生在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，因此教师在不同的教学阶段，应该依据不同的教学目的和教学内容而提出不

18、同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的。(2)在证明“ 是无理数”的教学过程中，对严谨性的要求，应设法安排使学生拥有逐步适应的过程和机会，逐步提高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强调思维的严谨性，但允许猜想，辩证的处理好推理的有据和猜想的关系。由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中，我们采用反证法，先假设是有理数，“如果 x 是有理数，那么 x 可以写成最简分数x=pq(p、q 是整数，P 与 q 互质)的形式，于是 2=x2=p2q 2，即 p2=2q2，由于 2q2是偶数，所以 P 也是偶数。不妨设 p=2a，可得 4a

19、2=2q2，即 q2=2a2，而 2a2 是偶数，所以 q 应是偶数，这样 p、q 都是偶数了，它们的公约数是 2，与 p、q 互质矛盾。可见，x 不是有理数，而是无理数。”教学中可以由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到” 的精神，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。在教学中不能消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。五、案例分析题16 【正确答案】 在导入过程运用了温故知新导入，优势是可以帮助学生复习已经学习过的知识，从复习学习过的知识过程当中找到前后联系，从而引出新课题，帮助学生快速进入课

20、堂。在新课教学过程中让学生通过动手操作，画出反比例函数图象，但是在引导学生运用列表法的时候选出的点不够有代表性，x 轴不能都是整数，可以随机的选取一部分分数，为下边讲解函数图象是一条光滑的曲线做准备。另外在此过程中利用现代教学手段，计算机演示是一种很好的教学方法，可以很直观的将函数图象的动态画面展示给学生，方便学生建立数形结合的意识。第三步，组织学生观察讨论曲线特点，根据选取图象中若干特殊点，总结在第一象限以及第三象限的变化情况。17 【正确答案】 反比例函数图象的特点是光滑的曲线，而不是折线，这是区别一次函数图象的最大特点。首先我会请学生分小组讨论这个问题，如果反函数的图象的点用折线连起来会

21、是什么图形，用曲线连起来会是什么图形。给学生 3 分钟时间讨论，在讨论的过程中我会给予学生提示，我们选取的点是有限的，其实反比例函数的点是无数个的，为什么正多边形的边无限增多就变成了光滑的圆。讨论结束由小组代表回答，鉴于这个问题有难度，在学生回答结束之后我会给予详细的讲解：反比例函数的图象可通过描点法给出，折线是由若干直线组合而成，而直线必须对应一个一次函数，显然反比例函数不能对应到一次函数上，所以它不是折线，而是曲线。另外我们只是描了图象上少数的几个点，图象构架比较空，所以自然地认为看起来应该用折线连，如果多描几个点，多到密密麻麻的情况，就会明白其实这个就和“正多边形边数越多越接近圆，圆就是

22、正多边形边数无限大时的情况” 的道理是一样的，逐步提升学生具备无限思想的能力。18 【正确答案】 在此环节我将组织学生通过选取若干特殊点进行比较，独立思索曲线的变化情况，让学生大胆说出自己的想法，并给予鼓励，以达到锻炼学生从数学模型中抽象出数学结论的能力，对数学图象的变化认知得到初步的锻炼以及提升。六、教学设计题19 【正确答案】 【教学设计】平行四边形性质的三维数学目标如下：知识与技能：了解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形边、角的性质定理，发展分析、推理思维能力。过程与方法：经历对平行四边形性质的探索过程，明确性质的条件和结论，并能运用性质解决问题。情感态度与价值观：在合作探究中体会解

23、决问题的快乐，提高实践能力和合作交流能力。20 【正确答案】 【教学设计】发现探究平行四边形性质的流程：流程一：首先，引导学生以四人为一学习小组，自主根据平行四边形的定义任意绘制平行四边形并观察。其次，通过多媒体以问题串的形式呈现出以下问题：“除了两组对边分别相等它的边之间还有什么关系? 它的角之间有什么关系 ?量一量，检验一下与你的猜想一致吗?”让学生组内讨论分析。最后，在学生探究并讨论结束后，请一两个小组代表汇报本组的发现，教师适时予以引导，得出猜想：平行四边形对边、对角相等。流程二：首先，通过多媒体呈现问题：“小明同学用量角器量出平行四边形的一个内角是77，就说知道了其余三个内角的度数；

24、用直尺量出了一组邻边的长分别为 40cm和 45cm，就说知道了这个平行四边形的周长。你知道小明同学是怎么计算的吗?”引导学生以学习小组的形式进行讨论。其次，讨论结束后，请几个小组代表汇报本组的观点，教师将观点进行总结归纳，与学生一起得出猜想：平行四边形对边、对角相等。21 【正确答案】 【教学设计】平行四边形性质证明的教学流程如下：首先，通过第二个问题中的任一流程得出平行四边形的性质猜想：平行四边形对边、对角相等。其次，口头提出任务得出猜想后，能否用文字和符号语言将其证明出来?”并给予学生一定的时间让其先不看书中证明步骤，利用之前所学知识进行自主证明。此时，教师走到学生中间，必要时予以点拨，比如添加辅助线，先证明两三角形全等等内容再次，请三个小组的代表到黑板上板书本组的证明过程，教师与其他小组一起分别点评之后，一起总结归纳出平行四边形关于边、角的性质定理平行四边形的对边以及对角相等。再与学生一起对证明过程中的数学思想方法所需要用到的转化思想(通过证明三角形全等来证明对边、对角相等)进行总结归纳。最后，再让学生将自己的证明过程与书中过程进行比对，不够合理之处予以修正。