[考研类试卷]考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷1及答案与解析.doc
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1、考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 A= ,那么矩阵 A 的三个特征值是( )(A)1,0,-2(B) 1,1,-3(C) 3,0,-2(D)2,0,-32 已知 A 是 4 阶矩阵,A *是 A 的伴随矩阵,若 A*的特征值是 1,-1,2,4,那么不可逆矩阵是( )(A)A-E(B) 2A-E(C) A+2E(D)A-4E3 已知 A 是 n 阶可逆矩阵,那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )(A)A T(B) A2(C) A-1(D)A-E4 已知 =(1, -2,3) T 是矩阵
2、 A= 的特征向量,则( )(A)a=-2,b=6 (B) a=2,b=-6(C) a=2,b=6(D)a=-2,b=-65 设 A 是 n 阶矩阵,P 是 n 阶可逆矩阵,n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量,那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P-1AP (3)AT (4) 肯定是其特征向量的矩阵共有( )(A)1 个(B) 2 个(C) 3 个(D)4 个6 设 A 是 n 阶矩阵,下列命题中正确的是( )(A)若 是 AT 的特征向量,那么 是 A 的特征向量(B)若 是 A*的特征向量,那么 是 A 的特征向量(C)若 是 A2 的特征向量,那么 是 A 的特征向量(
3、D)若 是 2A 的特征向量,那么 是 A 的特征向量7 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ,若向量组 ,A,A 2 线性无关,而A3=3A-2A2,那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是( )(A)(B) A+2(C) A2-A(D)A 2+2A-38 设 A 是三阶矩阵,其特征值是 1,3,-2,相应的特征向量依次是 1, 2, 3,若P=(1,2 3,- 2),则 P-1AP=( )二、填空题9 设 3 阶方阵 A 的特征值分别为-2,1,1,且 B 与 A 相似,则2B=_10 设 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1,2,2,E 为 3 阶单位矩阵,则4A -1-E=_11
4、设 3 阶方阵 A 的特征值是 1,2,3,它们所对应的特征向量依次为1, 2, 3,令 P=(33, 1,2 2),则 P-1AP=_12 已知 A 有一个特征值-2,则 B=A2+2E 必有一个特征值是_13 设 A 是 n 阶矩阵,=2 是 A 的一个特征值,则 2A2-3A+5E 必定有特征值_14 设 A 是 3 阶矩阵,且各行元素的和都是 5,则矩阵 A 一定有特征值_15 已知 A= ,A *是 A 的伴随矩阵,那么 A*的特征值是_16 矩阵 A= 的三个特征值分别为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=-1, 2=3=
5、1,对应于 1 的特征向量为 1=,求 A18 设矩阵 A= ,其行列式A=-1,又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值 0,属于 0 的一个特征向量为 =(-1,-1, 1)T 求 a,b,c 和 0 的值19 设矩阵 A= ,B=P -1A*P,求 B+2E 的特征值与特征向量,其中 A*为 A 的伴随矩阵,E 为 3 阶单位矩阵20 设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1=6, 2=3=3,与特征值 1=6 对应的特征向量为1=(1,1,1) T,求 A21 设 3 阶方阵 A 的特征值为 1=2, 2=-2, 3=1;对应的特征向量依次为求 A22 设 3 阶对称阵 A 的特征值为 1=1
6、, 2=-1, 3=0;对应 1, 2 的特征向量依次为p1= ,求 A22 设 a=(a1,a 2,a n)T,a 10,A=aa T,23 证明 =0 是 A 的 n-1 重特征值;24 求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量25 已知 A= 是 n 阶矩阵,求 A 的特征值、特征向量,并求可逆矩阵 P 使 P-1AP=A25 设 A 为 3 阶矩阵, 1, 2, 3 是线性无关的 3 维列向量,且满足A1=1+2+3,A 2=22+3,A 3=22+3326 求矩阵 A 的特征值;27 求可逆矩阵 P 使得 P-1AP=A考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 1
7、 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据特征值的性质: i=aij 现在a ii=1+(-3)+1=-1,故可排除选项C 显然,矩阵 A 中第 2、3 两列成比例,易知行列式A=0,故 =0 必是 A 的特征值,因此可排除选项 B 对于选项 A 和选项 D,可以用特殊值法,由于说明 =1 不是 A 矩阵的特征值故可排除选项 A所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1、-1、2、4,所以A *=-8,又因为A *=A n-1,即 A 3=-8,于是A=-2 那
8、么,矩阵 A 的特征值是:-2,2,-1 , 因此,A-E 的特征值是-3,1,-2, ,因为特征值非 0,故矩阵AE 可逆 同理可知矩阵 A+2E 的特征值中含有 0,所以矩阵 A+2E 不可逆所以应选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 由于E-A T=(E-A) T= E-A,A 与 AT 有相同的特征多项式,所以 A 与 AT 有相同的特征值 由 A=,0 可得到: A 2=2,A -1=-1, (A-E)=(-1), 说明 A2、A -1、A-E 与 A 的特征值是不一样的(但 A 的特征向量也是它们的特征向量)所以应选 A【知识模块】 矩阵的特征
9、值和特征向量4 【正确答案】 A【试题解析】 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量,按定义有所以 =-4,a=-2,b=6,故应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由 A=,0,有 A2=A()=Aa=2,0, 即 必是 A2 属于特征值 2 的特征向量关于(2)和(3)则不一定成立这是因为 (P -1AP)(P-1)=P-1A=P-1, 按定义,矩阵 P-1AP,的特征向量是 P-1 因为 P-1 与 不一定共线,因此 不一定是 P-1AP 的特征向量,即相似矩阵的特征向量是不一样的 线性方程组(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解,所
10、以 不一定是第二个方程组的解,即 不一定是 AT 的特征向量所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 如果 是 2A 的特征向量,即(2A)=,0那么 A= ,所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量由于(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解,所以 不一定是 AT 的特征向量例如 上例还说明当矩阵 A 不可逆时,A *的特征向量不一定是 A 的特征向量;A 2 的特征向量也不一定是 A 的特征向量所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3+2A2-3A=0故 (A+3E)(A 2-A)=0=
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