[考研类试卷]考研数学三线性代数(向量)模拟试卷1及答案与解析.doc
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1、考研数学三线性代数(向量)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 现有四个向量组 (1, 2,3) T,(3,-1,5) T,(0,4,-2) T,(1,3,0) T (a,1,b, 0,0) T,(c,0,d,2,0) T,(e,0,f ,0,3) T (a,1,2,3)T, (b,1,2, 3)T,(c,3,4,5) T,(d,0,0,0) T (1,0,3,1) T,(-1,3,0,-2)T,(2 ,1,7,2) T,(4,2,14,5) T 则下列结论正确的是( )(A)线性相关的向量组为;线性无关的向量组为(B)线性相关的向量组为
2、;线性无关的向量组为 (C)线性相关的向量组为 ;线性无关的向量组为 (D)线性相关的向量组为 ;线性无关的向量组为 2 设向量组(I): 1=(a11,a 12,a 13), 2=(a21,a 22,a 23), 3=(a31,a 32,a 33);向量组(): 1=(a11,a 12,a 13, a14), 2=(a21,a 22,a 23,a 24),=(a 31,a 32,a 33,a 34,),则正确的命题是( ) 3 设向量组 1, 2, 3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )(A) 1-2, 2-3, 3-1(B) 1-2, 2+3, 3+1(C) 1+2,3 1-52,
3、5 1+92(D) 1+2, 21+32+43, 1-2-234 设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,且满足 AB=E,则( )(A)A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关(B) A 的列向量组线性无关,B 的列向量组线性无关(C) A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关(D)A 的行向量组线性无关,B 的行向量组线性无关5 设向量组 1, 2, 3 线性无关,向量 1 可由 1, 2, 3 线性表示,向量 2 不能由 1, 2, 3 线性表示,则必有( )(A) 1, 2, 1 线性无关(B) 1, 2, 2 线性无关(C) 2, 3, 1, 2 线性相关(D) 1,
4、 2, 3, 1+2 线性相关6 设 A,B 为 n 阶方阵,设 P,Q 为 n 阶可逆矩阵,下列命题不正确的是( )(A)若 B=AQ,则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价(B)若 B=PA,则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价(C)若 B=PAQ,则 A 的行 (列)向量组与 B 的行(列)向量组等价(D)若 A 的行(列) 向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价,则矩阵 A 与 B 等价7 向量组 1=(1,3,5,-1) T, 2=(2,-1,-3,4) T, 3=(6,4,4,6)T, 4=(7,7,9,1) T, 5=(3,2,2,3) T 的极大线性无关组是( )(A)
5、1, 2, 5(B) 1, 3, 5(C) 2, 3, 4(D) 3, 4, 58 设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n-1,则 a 必为( )9 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价,则必有( )(A)当Aa(a0)时,B=a(B)当 A=a(a0)时,B=-a(C)当 A0 时,B=0(D)当A=0 时,B=010 假设 A 是 n 阶方阵,其秩 r(A)n,那么在 A 的 n 个行向量中( )(A)必有 r 个行向量线性无关(B)任意 r 个行向量线性无关(C)任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组(D)任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示11 设向量组: 1, 2,
6、 r 可由向量组: 1, 2, s 线性表示,则( )(A)当 rs 时,向量组必线性相关(B)当 rs 时,向量组必线性相关(C)当 rs 时,向量组必线性相关(D)当 rs 时,向量组必线性相关二、填空题12 已知向量组 1= 的秩为 2,则 t=_13 已知向量组 1=(2,3,4,5) T, 2=(3,4,5,6) T, 3=(4,5,6,7)T, 4=(5,6,7,8) T,则向量组 r(1, 2, 3, 2)=_14 任意一个 3 维向量都可以用 1=(1,0,1) T, 2=(1,-2,3) T, 3=(0,1,2) T 线性表示,则 a 的取值为 _15 已知向量组 1=(1,
7、2,-1,1) T, 2=(2,0,t,0) T, 3=(0,-4,5,t) T 线性无关,则 t 的取值为_16 若 1=(1, 0,5,2) T, 2=(3,-2,3,-4) T, 3=(-1,1,t ,3) T 线性相关,则未知数 t=_17 向量组 1=(1,-2 ,0,3) T, 2=(2,-5,-3,6) T, 3=(0,1,3,0) T, 4=(2,-1,4,7) T 的一个极大线性无关组是_18 若向量组 1=(1,-1 ,2,4) T, 2=(0,3,1,2) T, 3=(3,0,7,a) T, 4=(1,-2,2,0) T 线性无关,则未知数 a 的取值范围是_三、解答题解
8、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设非齐次线性方程组 AX=B 的系数矩阵的秩为 r, 1, n-r+1 是它的 n-r+1 个线性无关的解试证它的任一解可表示为 x=k 11+kn-r+1n-+1 (其中 k1+kn-r+1=1)20 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程组 Akx=0 有解向量 ,且 Ak-10证明:向量组 ,A,A k-1是线性无关的21 设 1, 2, , n 是一组 n 维向量,已知 n 维单位坐标向量 e1,e 2,e n 能由它们线性表示,证明 1, 2, n 线性无关22 设 1, 2, , n 是一组 n 维向量,证明它们线性无关的充
9、分必要条件是任一n 维向量都可由它们线性表示23 设向量组 1, 2, m 线性相关,且 10,证明存在某个向量 k(2km),使 k 能由 1, 2, k-1 线性表示24 设向量组 B:b 1,b r 能由向量组 A: 1, s 线性表示为(b 1,b r)=(1, , s)K,其中 K 为 sr 矩阵,且向量组 A 组线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r25 设 证明:向量组 1, 2, n 与向量组1, 2, n 等价26 设 A,B 均是 n 阶矩阵,且 r(A)+r(B)n,证明 A,B 有公共的特征向量27 已知 n 元齐次线性方程组 Ax
10、=0 的解全是 A2x=0 的解,证明 A2 的行向量可以由A2 的行向量线性表示考研数学三线性代数(向量)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 向量组是四个三维向量,从而线性相关,可排除 B 由于(1,0, 0),(0,2,0),(0,0,3)线性无关,添上两个分量就可得向量组,故向量组线性无关所以应排除 C 向量组 中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例,于是 1, 2, 3 线性相关,那么添加 3 后,向量组 必线性相关应排除 A 由排除法,所以应选 D【知识模块】 向量2 【正确答案】 B【试题解析
11、】 由于 A、C 两个命题互为逆否命题,一个命题与它的逆否命题同真同假,而本题要求有且仅有一个命题是正确的,所以 A、C 均错误如设有向量组:1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,0) 与 1=(1,0,0,0), 2=(0,1,0,0),3=(0,0,0,1)显然 r(1, 2, 3)=2,r( 1, 2, 3)=3 即当 1, 2, 3 线性相关时,其延伸组 1, 2, 3 可以线性无关,因此,A 、C 错误 如果 1, 2, 3线性相关,即有不全为 0 的 x1,x 2,x 3,使 x11+x22+x33=0,即方程组有非零解,那么齐次方程组 必有非零解,即 1, 2
12、, 3 线性相关所以 D 错误故选 B【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 通过已知选项可知 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0, ( 1-2)+(2+3)-(3+1)=0, 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关 对于选项 C,可设1=1+2, 2=31-52, 3=51+92,即 1, 2, 3 三个向量可由 1, 2 两个向量线性表示,所以 1, 2, 3 必线性相关,即 1+2,3 1-52,5 1+92 必线性相关 因而用排除法可知应选 D【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AB=E 是 m 阶方阵,所以 r(AB)=m且有 r(A)r(AB
13、)=m,又因 r(A)m,故 r(A)=m于是根据矩阵的性质,A 的行秩=r(A)=m ,所以 A 的行向量组线性无关同理,B 的列秩=r(B)=m,所以 B 的列向量组线性无关所以应选 C【知识模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 1, 2, 3 线性无关, 2 不能由 1, 2, 3 线性表示知,1, 2, 3, 2 线性无关,从而部分组 1, 2, 2 线性无关,故 B 为正确答案下面证明其他选项的不正确性 取 1=(1,0,0,0) T, 2=(0,1,0,0)T, 3=(0,0, 1,0) T, 2=(0,0,0,1) T, 1=1,知选项 A 与 C 错误 对于选项D
14、,由于 1, 2, 3 线性无关,若 1, 2, 3, 1+2 线性相关,则 1+2 可由1, 2, 3 线性表示,而 1 可由 1, 2, 3 线性表示,从而 2 可由 1, 2, 3 线性表示,与假设矛盾,从而 D 错误 所以应选 B【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块,设 A=(1, 2, n),B=(1, 2, , n),则有( 1, 2, n)=(1, 2, n)表明向量组 1, 2, n 可由向量组 1, 2, n 线性表示,表示的系数依次为 Q 的第一列至第 n 列所对应的各元素由于 Q 可逆,从而有 A=BQ-1,即( 1
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