2018年上海市高考数学试题+解析.pdf

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1、第1页（共24页）绝密启用前2018年上海市高考数学试卷考试时间：120分钟；试卷整理：微信公众号-浙江数学题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）评卷人得分一选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）1（5分）（2018上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A2 B2 C2 D42（5分）（2018上海）已知aR，则“a1”是“1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件3（5分）（2018上海）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA

2、1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）第2页（共24页）A4 B8 C12 D164（5分）（2018上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）ABCD0第3页（共24页）第卷（非选择题）评卷人得分二填空题（共12小题，满分54分）5（4分）（2018上海）行列式的值为6（4分）（2018上海）双曲线y2=1的渐近线方程为7（4分）（2018上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）8（

3、4分）（2018上海）设常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=9（4分）（2018上海）已知复数z满足（1+i）z=17i（i是虚数单位），则|z|=10（4分）（2018上海）记等差数列an的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=11（5分）（2018上海）已知2，1，1，2，3，若幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，则=12（5分）（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且| |=2，则的最小值为13（5分）（2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中

4、5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）14（5分）（2018上海）设等比数列an的通项公式为an=qn1（nN*），前n项和为第4页（共24页）Sn若=，则q=15（5分）（2018上海）已知常数a0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）若2p+q=36pq，则a=16（5分）（2018上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为评卷人得分三解答题（共5小题，满分76分）17（14分）（2018上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O

5、，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且AOB=90，M为线段AB的中点，如图求异面直线PM与OB所成的角的大小18（14分）（2018上海）设常数aR，函数f（x）=asin2x+2cos2x（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）= +1，求方程f（x）=1在区间，上的解第5页（共24页）19（14分）（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中x%（0x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公

6、交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义20（17分）（2018上海）设常数t2在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：y2=8x（0xt，y0）l与x轴交于点A、与交于点BP、Q分别是曲线与线段AB上的动点（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPE

7、Q，使得点E在上？若存在，求第6页（共24页）点P的坐标；若不存在，说明理由21（17分）（2018上海）给定无穷数列an，若无穷数列bn满足：对任意nN*，都有|bnan|1，则称bn与an“接近”（1）设an是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，nN*，判断数列bn是否与an接近，并说明理由；（2）设数列an的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，bn是一个与an接近的数列，记集合M=x|x=bi，i=1，2，3，4，求M中元素的个数m；（3）已知an是公差为d的等差数列，若存在数列bn满足：bn与an接近，且在b2b1，b3b2，b201b200中至少有100个为

8、正数，求d的取值范围第7页（共24页）2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）1（5分）（2018上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A2 B2 C2 D4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查2（5分）（2018上海）已知aR，则“a1”是“1”的（）A充分非必要条件

9、B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】“a1” “ ”，“ ” “a1或a0”，由此能求出结果【解答】解：aR，则“a1” “ ”，“ ” “a1或a0”，第8页（共24页）“a1”是“ ”的充分非必要条件故选：A【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）（2018上海）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A4 B8 C12 D16【分析】根据新定义和正

10、六边形的性质可得答案【解答】解：根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有26=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D第9页（共24页）【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题4（5分）（2018上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）ABCD0【分析】直接利用定义性函数的应用求出结果【解答】解：设D是含数

11、1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，故f（1）=cos =，故选：B【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用二填空题（共12小题，满分54分）5（4分）（2018上海）行列式的值为18【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可【解答】解：行列式=4521=18故答案为：18【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查第10页（共24页）6（4分）（2018上海）双曲线y2=1的渐近线方程为【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的a=2，b=1，

12、焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=双曲线的渐近线方程为y=故答案为：y=【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想7（4分）（2018上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为Tr+1= xr，令r=2，得展开式中x2的系数为=21故答案为：21【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题8（4分）（2018上海）设常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）若f（x）的反

13、函数的图象经过点（3，1），则a= 7第11页（共24页）【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a【解答】解：常数aR，函数f（x）=1og2（x+a）f（x）的反函数的图象经过点（3，1），函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），log2（1+a）=3，解得a=7故答案为：7【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（4分）（2018上海）已知复数z满足（1+i）z=17i（i是虚数单位），则|z|= 5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，

14、再由复数求模公式计算得答案【解答】解：由（1+i）z=17i，得，则|z|=故答案为：5【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题10（4分）（2018上海）记等差数列an的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=4，d=2，由此能求出S7第12页（共24页）【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，解得a1=4，d=2，S7=7a1+ =28+42=14故答案为：14【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程

15、思想，是基础题11（5分）（2018上海）已知2，1，1，2，3，若幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，则=1【分析】由幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，得到a是奇数，且a0，由此能求出a的值【解答】解：2，1，1，2，3，幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，a是奇数，且a0，a=1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题12（5分）（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且| |=2，则的最小值为3【分析】据题意可设E

16、（0，a），F（0，b），从而得出|ab|=2，即a=b+2，或b=a+2，第13页（共24页）并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；a=b+2，或b=a+2；且；当a=b+2时，；b2+2b2的最小值为；的最小值为3，同理求出b=a+2时，的最小值为3故答案为：3【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式13（5分）（2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这

17、三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，第14页（共24页）这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查14（5分）（2018上海）设等比数列an的通项公式为an=qn1（nN*），前n项和为Sn若=，则q

18、= 3【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可【解答】解：等比数列an的通项公式为a =qn1（nN*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，an+1=qn可得= = = =，可得q=3故答案为：3【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查15（5分）（2018上海）已知常数a0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）若2p+q=36pq，则a= 6第15页（共24页）【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q

19、，）则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a0，故：a=6故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用16（5分）（2018上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值【解答

20、】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），第16页（共24页）由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且 =11cosAOB=，即有AOB=60，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2 =1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的

21、方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题三解答题（共5小题，满分76分）17（14分）（2018上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；第17页（共24页）（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且AOB=90，M为线段AB的中点，如图求异面直线PM与OB所成的角的大小【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角【解答】解：（1）圆锥的顶点为P，底面圆

22、心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，圆锥的体积V= =（2）PO=4，OA，OB是底面半径，且AOB=90，M为线段AB的中点，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为，则cos= = =第18页（共24页）=arccos异面直线PM与OB所成的角的为arccos【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思

23、想，是基础题18（14分）（2018上海）设常数aR，函数f（x）=asin2x+2cos2x（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）= +1，求方程f（x）=1在区间，上的解【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出【解答】解：（1）f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）为偶函数，f（x）=f（x），asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，2asin2x=0，第19页（共24页）a=0；（2）f（）= +1，asin +2cos2（）=a+1= +1，a

24、=，f（x）= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，f（x）=1，2sin（2x+）+1=1，sin（2x+）=，2x+ =+2k，或2x+ = +2k，kZ，x=+k，或x= +k，kZ，x，x=或x= 或x=【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题19（14分）（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中x%（0x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响

25、，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说第20页（共24页）明其实际意义【分析】（1）由题意知求出f（x）40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义【解答】解；（1）由题意知，当30x100时，f（x）=2x+9040，即x265x+9000，解得x20或x45，x（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0x30时，g（x）=30x%+40（1x

26、%）=40；当30x100时，g（x）=（2x+90）x%+40（1x%）=x+58；g（x）=；当0x32.5时，g（x）单调递减；当32.5x100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力20（17分）（2018上海）设常数t2在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），第21页（共24页）直线l：x=t，曲线：y2=8x（0xt，y0）l与x轴交于点A、与交于点BP、

27、Q分别是曲线与线段AB上的动点（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线kPFkFQ=1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+

28、=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2 t），则|BF|= =t+2，|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2 t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+ =t+2，|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，|AQ|=，Q（3，），设OQ的中点D，D（，），kQF= =，则直线PF方程：y=（x2），第22页（共24页）联立，整理得：3x220x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），AQP的面积S= =；（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF= =，kFQ=，直线QF方程为y

29、=（x2），yQ=（82）=，Q（8，），根据+ =，则E（+6，），（）2=8（+6），解得：y2=，存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上，且P（，）【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题21（17分）（2018上海）给定无穷数列an，若无穷数列bn满足：对任意nN*，第23页（共24页）都有|bnan|1，则称bn与an“接近”（1）设an是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，nN*，判断数列bn是否与an接近，并说明理由；（2）设数列an的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，bn是一个与an接近的数

30、列，记集合M=x|x=bi，i=1，2，3，4，求M中元素的个数m；（3）已知an是公差为d的等差数列，若存在数列bn满足：bn与an接近，且在b2b1，b3b2，b201b200中至少有100个为正数，求d的取值范围【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得an1bnan+1，求得bi，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d0，d=0，2d0，d2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围【解答】解：（1）数列bn与an接近理由：an是首项为1，公比为的等比数列，可得an=，bn=an+1+

31、1= +1，则|bnan|=| +1|=11，nN*，可得数列bn与an接近；（2）bn是一个与an接近的数列，可得an1bnan+1，数列an的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b10，2，b21，3，b33，5，b47，9，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M=x|x=bi，i=1，2，3，4，M中元素的个数m=3或4；第24页（共24页）（3）an是公差为d的等差数列，若存在数列bn满足：bn与an接近，可得an=a1+（n1）d，若d0，取bn=an，可得bn+1bn=an+1an=d0，则b2b1，b3b2，b201b2

32、00中有200个正数，符合题意；若d=0，取bn=a1，则|bnan|=|a1a1|=1，nN*，可得bn+1bn=0，则b2b1，b3b2，b201b200中有200个正数，符合题意；若2d0，可令b2n1=a2n11，b2n=a2n+1，则b2nb2n1=a2n+1（a2n11）=2+d0，则b2b1，b3b2，b201b200中恰有100个正数，符合题意；若d2，若存在数列bn满足：bn与an接近，即为an1bnan+1，an+11bn+1an+1+1，可得bn+1bnan+1+1（an1）=2+d0，b2b1，b3b2，b201b200中无正数，不符合题意综上可得，d的范围是（2，+）【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题