2017年吉林省吉林市高考二模数学理及答案解析.docx

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1、2017年 吉 林 省 吉 林 市 高 考 二 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 60 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一个 是 符 合 题 目 要 求 .1.已 知 U=R， M=x|-l x 2， N=x|x 3， 则 (UM) N=( )A.x|2 x 3B.x|2 x 3C.x|x -1， 或 2 x 3D.x|x -1， 或 2 x 3解 析 ： 利 用 补 集 的 定 义 求 出 集 合 M的 补 集 ； 借 助 数 轴 求 出 ( uM) N.答 案 ： D.2.如 果 复 数 z=

2、21 i ， 则 ( )A.|z|=2B.z的 实 部 为 1C.z的 虚 部 为 -1D.z的 共 轭 复 数 为 1+i解 析 ： 直 接 利 用 复 数 的 除 法 运 算 化 简 ， 求 出 复 数 的 模 ， 然 后 逐 一 核 对 选 项 即 可 得 到 答 案 .答 案 ： C.3.下 列 关 于 命 题 的 说 法 错 误 的 是 ( ) A.命 题 “ 若 x2-3x+2=0， 则 x=1” 的 逆 否 命 题 为 “ 若 x 1， 则 x2-3x+2 0”B.“ a=2” 是 “ 函 数 f(x)=logax 在 区 间 (0， + )上 为 增 函 数 ” 的 充 分 不

3、 必 要 条 件C.若 命 题 P： n N， 2n 1000， 则 P： n N， 2n 1000D.命 题 “ x (- ， 0)， 2x 3x” 是 真 命 题解 析 ： 选 项 A 是 写 一 个 命 题 的 逆 否 命 题 ， 只 要 把 原 命 题 的 结 论 否 定 当 条 件 ， 条 件 否 定 当 结 论即 可 ；选 项 B看 由 a=2能 否 得 到 函 数 f(x)=logax 在 区 间 (0， + )上 为 增 函 数 ， 反 之 又 是 否 成 立 ；选 项 C、 D 是 写 出 特 称 命 题 的 否 定 ， 注 意 其 否 定 全 称 命 题 的 格 式 .答

4、案 ： D.4. ABC中 ， 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 若 a= 7 ， b=3， c=2， 则 A=( )A.30 B.45C.60D.90解 析 ： 根 据 题 意 和 余 弦 定 理 求 出 cosA 的 值 ， 由 A 的 范 围 求 出 角 A 的 值 .答 案 ： C.5.函 数 f(x)= 1x +ln|x|的 图 象 大 致 为 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 当 x 0 时 ， 函 数 f(x)= 1x +ln(-x)， 由 函 数 的 单 调 性 ， 排 除 CD； 当 x 0 时 ， 函 数 f(x)= 1x +ln(x)，

5、此 时 ， 代 入 特 殊 值 验 证 ， 排 除 A， 只 有 B 正 确 ，答 案 ： B.6.阅 读 如 图 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 输 出 的 结 果 为 ( ) A.-2B. 12C.-1D.2解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 语 句 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 A 的 值 ， 模拟 程 序 的 运 行 过 程 ， 分 析 循 环 中 各 变 量 值 的 变 化 情 况 ， 可 得 答 案 .答 案 ： B.7.设 a n是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ， 满 足 2 2

6、 2 24 5 6 7a a a a ， 则 该 数 列 的 前 10 项 和 等 于( )A.-10B.-5C.0D.5解 析 ： 设 出 等 差 数 列 的 首 项 和 公 差 ， 把 已 知 等 式 用 首 项 和 公 差 表 示 ， 得 到 a 1+a10=0， 则 可 求得 数 列 的 前 10 项 和 等 于 0.答 案 ： C.8.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 ， 若 该 几 何 体 的 所 有 顶 点 都 在 一 个 球 面 上 ， 则 该 球 面 的 表 面 积 为( ) A.4B. 283 C. 443 D.20解 析 ： 由 三 视 图 知 ， 几 何 体 是

7、一 个 三 棱 柱 ， 三 棱 柱 的 底 面 是 边 长 为 2的 正 三 角 形 ， 侧 棱 长 是2， 根 据 三 棱 柱 的 两 个 底 面 的 中 心 的 中 点 与 三 棱 柱 的 顶 点 的 连 线 就 是 外 接 球 的 半 径 ， 求 出 半径 即 可 求 出 球 的 表 面 积 .答 案 ： B.9.已 知 f(x)= 3 sinxcosx-sin 2x， 把 f(x)的 图 象 向 右 平 移 12 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 2个 单 位 ，得 到 y=g(x)的 图 象 ， 若 对 任 意 实 数 x， 都 有 g( -x)=g( +x)成 立 ， 则 g(

8、+4 )+g( 4 )=( )A.4B.3C.2D. 32解 析 ： 由 条 件 利 用 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 求 得 g(x)的 解 析 式 ， 再 根 据 题 意 可 得 g(x)的 图 象 关于 直 线 x= 对 称 ， 再 根 据 正 弦 函 数 的 图 象 的 对 称 性 求 得 的 值 ， 可 得 g( + 4 )+g( 4 )的 值 . 答 案 ： A.10.在 等 腰 直 角 ABC中 ， AC=BC， D在 AB边 上 且 满 足 ： 1CD tCA t CB ， 若 ACD=60 ，则 t 的 值 为 ( )A. 3 12B. 3 -1 C. 3 22D. 3

9、 12解 析 ： 易 知 A， B， D三 点 共 线 ， 从 而 建 立 坐 标 系 ， 从 而 利 用 坐 标 运 算 求 解 即 可 .答 案 ： A.11.已 知 双 曲 线 C 1： 24x -y2=1， 双 曲 线 C2： 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2，M是 双 曲 线 C2的 一 条 渐 近 线 上 的 点 ， 且 OM MF2， O 为 坐 标 原 点 ， 若 2OMFS =16， 且 双 曲 线 C1，C2的 离 心 率 相 同 ， 则 双 曲 线 C2的 实 轴 长 是 ( )A.32B.16C.8D.4解 析

10、 ： 求 得 双 曲 线 C 1的 离 心 率 ， 求 得 双 曲 线 C2一 条 渐 近 线 方 程 为 y= ba x， 运 用 点 到 直 线 的距 离 公 式 ， 结 合 勾 股 定 理 和 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 化 简 整 理 解 方 程 可 得 a=8， 进 而 得 到 双 曲 线的 实 轴 长 .答 案 ： B.12.已 知 函 数 f(x)= 1| 2| 02 1 0 xe xx x x ， ， ， 若 关 于 x 的 方 程 f2(x)-3f(x)+a=0(a R)有 8 个不 等 的 实 数 根 ， 则 a的 取 值 范 围 是 ( )A.(0， 14 )B.

11、(13 ， 3) C.(1， 2)D.(2， 94 )解 析 ： 画 出 函 数 的 图 象 ， 利 用 函 数 的 图 象 ， 判 断 f(x)的 范 围 ， 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求解 a 的 范 围 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 .把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置 . 13.已 知 O 是 坐 标 原 点 ， 点 A(-1， 1).若 点 M(x， y)为 平 面 区 域 212x yxy 上 的 一 个 动 点 ， 则OA OM 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ：

12、 先 画 出 满 足 约 束 条 件 212x yxy 的 平 面 区 域 ， 求 出 平 面 区 域 的 角 点 后 ， 逐 一 代 入OA OM 分 析 比 较 后 ， 即 可 得 到 OA OM 的 取 值 范 围 .答 案 ： 0， 2. 14.已 知 |a|=2， |b |=2， a与 b 的 夹 角 为 45 ， 且 b -a与 a垂 直 ， 则 实 数 =_.解 析 ： 根 据 向 量 b -a与 向 量 a 垂 直 ( b -a) a =0再 结 合 两 向 量 数 量 积 的 定 义 即 可求 解 .答 案 ： 2 .15.过 抛 物 线 C： y 2=4x的 焦 点 F作

13、直 线 l 交 抛 物 线 C于 A， B， 若 |AF|=3|BF|， 则 l 的 斜 率 是_.解 析 ： 由 抛 物 线 方 程 求 出 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 ， 设 出 直 线 l的 方 程 ， 和 抛 物 线 方 程 联 立 ， 化 为关 于 y 的 一 元 二 次 方 程 后 利 用 根 与 系 数 的 关 系 得 到 A， B 两 点 纵 坐 标 的 和 与 积 ， 结 合|AF|=3|BF|， 转 化 为 关 于 直 线 斜 率 的 方 程 求 解 .答 案 ： 3 .16.艾 萨 克 牛 顿 (1643年 1月 4 日 -1727 年 3 月 31 日 )英 国 皇

14、 家 学 会 会 长 ， 英 国 著 名 物 理 学家 ， 同 时 在 数 学 上 也 有 许 多 杰 出 贡 献 ， 牛 顿 用 “ 作 切 线 ” 的 方 法 求 函 数 f(x)零 点 时 给 出 一个 数 列 x n： 满 足 xn+1=xn- nnf xf x ， 我 们 把 该 数 列 称 为 牛 顿 数 列 .如 果 函 数 f(x)=ax2+bx+c(a 0)有 两 个 零 点 1， 2， 数 列 xn为 牛 顿 数 列 ， 设 an=ln 21nnxx ， 已 知 a1=2， xn 2， 则 an的通 项 公 式 an=_.解 析 ： 由 已 知 得 到 a， b， c的 关

15、 系 ， 可 得 f(x)=ax 2-3ax+2a， 求 导 后 代 入 xn+1=xn- nnf xf x ， 整 理 可 得 211 2 21 1n nn nx xx x ， 两 边 取 对 数 ， 可 得 ln 21nnxx 是 以 2为 公 比 的 等 比 数 列 ， 再由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 导 答 案 .答 案 ： 2n.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.已 知 函 数 f(x)=Msin( x+ )(M 0， | | 2 )的 部 分 图 象

16、 如 图 所 示 . (1)求 函 数 f(x)的 解 析 式 ；(2)在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的 对 边 分 别 是 a， b， c， 若 (2a-c)cosB=bcosC， 求 f( 2A )的 取值 范 围 .解 析 ： (1)根 据 图 象 求 出 A， 和 ， 即 可 求 函 数 f(x)的 解 析 式 ；(2)利 用 正 弦 定 理 化 简 ， 求 出 B， 根 据 三 角 内 角 定 理 可 得 A 的 范 围 ， 利 用 函 数 解 析 式 之 间 的关 系 即 可 得 到 结 论答 案 ： (1)由 图 象 知 A=1， T=4( 512 6 )= ， =2，

17、 f(x)=sin(2x+ ) 图 象 过 ( 6 ， 1)， 将 点 ( 6 ， 1)代 入 解 析 式 得 sin( 3 + )=1， | | 2 ， = 6故 得 函 数 f(x)=sin(2x+ 6 ).(2)由 (2a-c)cosB=bcosC，根 据 正 弦 定 理 ， 得 ： (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC 2sinAcosB=sin(B+C)， 2sinAcosB=sinA. A (0， )， sinA 0， cosB= 12 ， 即 B= 3 A+C= 23 ， 即 0 A 23 那 么 ： f( 2A )=sin(A+ 6 )， 0 A 23 ， 6 A

18、+ 6 56 ，sin(A+ 6 ) ( 12 ， 1故 得 f( 2A ) ( 12 ， 1.18.已 知 数 列 a n是 等 比 数 列 ， Sn为 数 列 an的 前 n 项 和 ， 且 a3=3， S3=9( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )设 bn= 2 2 33log na ， 且 bn为 递 增 数 列 ， 若 cn= 14n nb b ， 求 证 ： c1+c2+c3+ +cn 1.解 析 ： ( )设 数 列 an的 公 比 为 q， 根 据 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 ， 从 而 解 得 ；( )讨 论 可 知 a 2n+3=3 (- 12

19、)2n=3 ( 12 )2n， 从 而 可 得 bn= 2 2 33log na =2n， 利 用 裂 项 求 和 法 求和 .答 案 ： ( )设 数 列 an的 公 比 为 q， 当 q=1时 ， 符 合 条 件 a1=a3=3， an=3. 当 q 1 时 ， 21 31 31 91a qa qq ， 所 以 21 21 31 9a qa q q 解 得 a 1=12， q=- 12 ，所 以 an=12 (- 12 )n-1.综 上 所 述 ： 数 列 an的 通 项 公 式 为 an=3(q=1)或 an=12 (- 12 )n-1.( )证 明 ： 若 an=3， 则 bn=0，

20、与 题 意 不 符 ；故 a 2n+3=3 (- 12 )2n=3 ( 12 )2n，故 bn= 2 2 33log na =2n，故 cn= 14 1 1 1n nb b n n ，故 c 1+c2+c3+ +cn=1- 1 1 1 1 1 112 2 3 1 1n n n 1.19.某 车 间 20 名 工 人 年 龄 数 据 如 表 ： ( )求 这 20名 工 人 年 龄 的 众 数 与 平 均 数 ；( )以 十 位 数 为 茎 ， 个 位 数 为 叶 ， 作 出 这 20名 工 人 年 龄 的 茎 叶 图 ；( )从 年 龄 在 24和 26 的 工 人 中 随 机 抽 取 2人

21、， 求 这 2 人 均 是 24 岁 的 概 率 .解 析 ： ( )利 用 车 间 20 名 工 人 年 龄 数 据 表 能 求 出 这 20 名 工 人 年 龄 的 众 数 和 平 均 数 .( )利 用 车 间 20名 工 人 年 龄 数 据 表 能 作 出 茎 叶 图 .( )记 年 龄 为 24 岁 的 三 个 人 为 A1， A2， A3； 年 龄 为 26岁 的 三 个 人 为 B1， B2， B3， 利 用 列 举 法能 求 出 这 2人 均 是 24岁 的 概 率 .答 案 ： ( )由 题 意 可 知 ， 这 20名 工 人 年 龄 的 众 数 是 30，这 20 名 工

22、人 年 龄 的 平 均 数 为 x= 120 (19+3 28+3 29+5 30+4 31+3 32+40)=30，( )这 20 名 工 人 年 龄 的 茎 叶 图 如 图 所 示 ： ( )记 年 龄 为 24岁 的 三 个 人 为 A1， A2， A3； 年 龄 为 26岁 的 三 个 人 为 B1， B2， B3，则 从 这 6 人 中 随 机 抽 取 2人 的 所 有 可 能 为A1， A2， A1， A3， A2， A3， A1， B1， A1， B2，A1， B3， A2， B1， A2， B2， A2， B3， A3， B1，A3， B2， A3， B3， B1， B2， B

23、1， B3， B2， B3共 15 种 .满 足 题 意 的 有 A1， A2， A1， A3， A2， A33种 ，故 所 求 的 概 率 为 P= 3 115 5 .20.如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 底 面 ABCD是 菱 形 ， 且 ABC=120 .点 E 是 棱 PC的 中 点 ， 平面 ABE与 棱 PD 交 于 点 F. ( )求 证 ： AB EF；( )若 PA=PD=AD=2， 且 平 面 PAD 平 面 ABCD， 求 平 面 PAF 与 平 面 AEF 所 成 的 二 面 角 的 正 弦值 .解 析 ： ( )推 导 出 AB CD， 从 而 AB

24、 面 PCD， 由 此 能 证 明 AB EF.( )取 AD 中 点 G， 连 接 PG， GB， 以 G为 原 点 ， GA、 GB、 GP 所 在 直 线 为 坐 标 轴 建 立 空 间 直 角坐 标 系 G-xyz， 利 用 向 量 法 能 求 出 平 面 PAF与 平 面 AFE所 成 的 二 面 角 的 正 弦 值 .答 案 ： ( ) 底 面 ABCD 是 菱 形 ， AB CD，又 AB面 PCD， CD面 PCD， AB 面 PCD又 A， B， E， F四 点 共 面 ， 且 平 面 ABEF 平 面 PCD=EF， AB EF 解 ： ( )取 AD 中 点 G， 连 接

25、 PG， GB， PA=PD， PG AD，又 平 面 PAD 平 面 ABCD， 且 平 面 PAD 平 面 ABCD=AD， PG 平 面 ABCD PG GB， 在 菱 形 ABCD 中 ， AB=AD， DAB=60 ， G 是 AD 中 点 ， AD GB，如 图 ， 以 G为 原 点 ， GA、 GB、 GP 所 在 直 线 为 坐 标 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 G-xyz 由 PA=PD=AD=2 得 ， G(0， 0， 0)， A(1， 0， 0)，B(0， 3 ， 0)， C(-2， 3 ， 0)， D(-1， 0， 0)， P(0， 0， 3 )又 AB EF

26、， 点 E 是 棱 PC中 点 ， 点 F 是 棱 PD中 点 ， F(- 12 ， 0， 32 )， AF =(- 32 ， 0， 32 )， AB =(-1， 3 ， 0)，设 平 面 AFE的 法 向 量 为 n =(x， y， z)，则 有 00n AFn AB ， 333z xy x ， 不 妨 令 x=3， 则 平 面 AFE的 一 个 法 向 量 为 n =(3， 3 ， 3 3)， BG 平 面 PAD， GB =(0， 3 ， 0)是 平 面 PAF的 一 个 法 向 量 ，|cos n ， GB |= 3 131339 3n GBn GB ， 平 面 PAF与 平 面 AF

27、E所 成 的 二 面 角 的 正 弦 值 为 ：sin n ， GB = 2 2 391 cos 13nGB ， . 21.如 图 ， 椭 圆 E： 2 224x yb =1(0 b 2)， 点 P(0， 1)在 短 轴 CD 上 ， 且 PC PD =-2 ( ) 求 椭 圆 E 的 方 程 及 离 心 率 ；( ) 设 O 为 坐 标 原 点 ， 过 点 P 的 动 直 线 与 椭 圆 交 于 A， B 两 点 .是 否 存 在 常 数 ， 使 得OA OB PA PB 为 定 值 ？ 若 存 在 ， 求 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： ( )由 已 知

28、可 得 点 C， D的 坐 标 分 别 为 (0， -b)， (0， b).结 合 PC PD =-2列 式 求 得b， 则 椭 圆 方 程 可 求 ， 进 一 步 求 出 c 可 得 椭 圆 的 离 心 率 ；( )当 直 线 AB的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 AB的 方 程 为 y=kx+1， A， B 的 坐 标 分 别 为 (x 1， y1)， (x2，y2).联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 得 A， B 横 坐 标 的 和 与 积OA OB PA PB ， 可 知 当 =2 时 ， OA OB PA PB =-7 为

29、定 值 .当 直 线 AB 斜 率 不存 在 时 ， 直 线 AB即 为 直 线 CD， 仍 有 2OA OB PA PB OC OD PC PD =-3-4=-7，故 存 在 常 数 =2， 使 得 OA OB PA PB 为 定 值 -7.答 案 ： ( )由 已 知 ， 点 C， D 的 坐 标 分 别 为 (0， -b)， (0， b).又 点 P的 坐 标 为 (0， 1)， 且 PC PD =-2， 即 1-b 2=-2，解 得 b2=3. 椭 圆 E 方 程 为 2 24 3x y =1. c= 2 2a b =1， 离 心 率 e= 12 ；( )当 直 线 AB的 斜 率 存

30、 在 时 ， 设 直 线 AB的 方 程 为 y=kx+1， A， B 的 坐 标 分 别 为 (x 1， y1)， (x2，y2).联 立 2 2 14 3 1x yy kx ， 得 (4k2+3)x2+8kx-8=0.其 判 别 式 0，x 1+x2= 284 3kk ， x1x2= 284 3k .从 而 ， OA OB PA PB =x1x2+y1y2+ x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+ )(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1= 2 22 28 1 1 4 3 4 24) 3 4 3( k kk k -2 -3， 当 =2时 ， 24 24 3k -2 -3=-7，即

31、OA OB PA PB =-7为 定 值 .当 直 线 AB 斜 率 不 存 在 时 ， 直 线 AB即 为 直 线 CD，此 时 2OA OB PA PB OC OD PC PD =-3-4=-7，故 存 在 常 数 =2， 使 得 OA OB PA PB 为 定 值 -7.22.设 函 数 f(x)=(x+b)lnx， g(x)=alnx+1 2a x 2-x(a 1)， 已 知 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 与 直 线 x+2y=0 垂 直 .(1)求 b 的 值 ；(2)若 对 任 意 x 1， 都 有 g(x) 1aa ， 求 a 的 取 值 范 围 .

32、解 析 ： (1)求 出 函 数 导 数 ， 由 两 直 线 垂 直 斜 率 之 积 为 -1， 解 方 程 可 得 b；(2)求 出 导 数 ， 对 a 讨 论 ， 若 a 12 ， 则 1 aa 1， 若 12 a 1， 则 1 aa 1， 若 a 1， 分 别 求 出 单 调 区 间 ， 可 得 最 小 值 ， 解 不 等 式 即 可 得 到 所 求 范 围 .答 案 ： (1)直 线 x+2y=0 的 斜 率 为 - 12 ，可 得 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 斜 率 为 2， 所 以 f (1)=2， 又 f (x)=lnx+bx +1， 即 ln1+

33、b+1=2， 所 以 b=1.(2)g(x)的 定 义 域 为 (0， + )，g (x)= bx +(1-a)x-1= 1 a x ax (x-1). 若 a 12 ， 则 1 aa 1， 故 当 x (1， + )时 ， g (x) 0， g(x)在 (1， + )上 单 调 递 增 .所 以 ， 对 任 意 x 1， 都 有 g(x) 1aa 的 充 要 条 件 为 g(1) 1aa ， 即 1 12a 1aa ，解 得 a - 2 -1或 2 -1 a 12 若 12 a 1， 则 1 aa 1， 故 当 x (1， 1 aa )时 ， g (x) 0； 当 x (0， 1)， (1 aa ， + )时 ， g (x) 0.f(x)在 (1， 1 aa )上 单 调 递 减 ， 在 (0， 1)， (1 aa ， + )上 单 调 递 增 .所 以 ， 对 任 意 x 1， 都 有 g(x) 1aa 的 充 要 条 件 为 g(x) 1aa . 而 g(x)=aln 21 2 1 1 1a a a aa a a a 在 12 a 1上 恒 成 立 ，所 以 12 a 1 若 a 1， g(x)在 1， + )上 递 减 ， 不 合 题 意 .综 上 ， a 的 取 值 范 围 是 (- ， - 2 -1) ( 2 -1， 1).