2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理及答案解析.docx

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1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 安 徽 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 个 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 i是 虚 数 单 位 ， 表 示 z 的 共 轭 复 数 .若 z=1+i， 则 +i =( )A. -2B. -2iC. 2D. 2i 解 析 ： z=1+i， ， +i = = .答 案 ： C.2.“ x 0” 是 ln(x+1) 0 的 ( )A. 充 分 不 必 要 条 件B. 必 要 不

2、 充 分 条 件C. 充 分 必 要 条 件D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： x 0， x+1 1， 当 x+1 0 时 ， ln(x+1) 0； ln(x+1) 0， 0 x+1 1， -1 x 0， x 0， “ x 0” 是 ln(x+1) 0 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B.3.如 图 所 示 ， 程 序 框 图 (算 法 流 程 图 )的 输 出 结 果 是 ( ) A. 34B. 55C. 78D. 89 解 析 ： 第 一 次 循 环 得 z=2， x=1， y=2；第 二 次 循 环 得 z=3， x=2， y=3；第 三 次 循 环 得

3、 z=5， x=3， y=5；第 四 次 循 环 得 z=8， x=5， y=8；第 五 次 循 环 得 z=13， x=8， y=13；第 六 次 循 环 得 z=21， x=13， y=21；第 七 次 循 环 得 z=34， x=21， y=34；第 八 次 循 环 得 z=55， x=34， y=55； 退 出 循 环 ， 输 出 55，答 案 ： B4.以 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 两 种 坐 标 系 中 取相 同 的 长 度 单 位 .已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 是 (t为

4、 参 数 )， 圆 C的 极 坐 标 方 程 是 =4cos ， 则 直 线 l 被 圆 C 截 得 的 弦 长 为 ( )A.B. 2C.D. 2解 析 ： 直 线 l 的 参 数 方 程 是 (t 为 参 数 )， 化 为 普 通 方 程 为 x-y-4=0；圆 C 的 极 坐 标 方 程 是 =4cos ， 即 2=4 cos ， 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x2+y2=4x，即 (x-2)2+y2=4， 表 示 以 (2， 0)为 圆 心 、 半 径 r 等 于 2 的 圆 .弦 心 距 d= = r， 弦 长 为 2 =2 =2 ，答 案 ： D.5. x、 y 满 足 约

5、束 条 件 ， 若 z=y-ax 取 得 最 大 值 的 最 优 解 不 唯 一 ， 则 实 数 a的 值 为 ( )A. 或 -1 B. 2或C. 2或 1D. 2或 -1解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： (阴 影 部 分 ABC).由 z=y-ax 得 y=ax+z， 即 直 线 的 截 距 最 大 ， z 也 最 大 .若 a=0， 此 时 y=z， 此 时 ， 目 标 函 数 只 在 A 处 取 得 最 大 值 ， 不 满 足 条 件 ，若 a 0， 目 标 函 数 y=ax+z的 斜 率 k=a 0， 要 使 z=y-ax 取 得 最 大 值

6、 的 最 优 解 不 唯 一 ，则 直 线 y=ax+z 与 直 线 2x-y+2=0平 行 ， 此 时 a=2， 若 a 0， 目 标 函 数 y=ax+z的 斜 率 k=a 0， 要 使 z=y-ax 取 得 最 大 值 的 最 优 解 不 唯 一 ，则 直 线 y=ax+z 与 直 线 x+y-2=0， 平 行 ， 此 时 a=-1，综 上 a=-1 或 a=2，答 案 ： D 6.设 函 数 f(x)(x R)满 足 f(x+ )=f(x)+sinx.当 0 x 时 ， f(x)=0， 则 f( )=( )A.B.C. 0D. -解 析 ： 函 数 f(x)(x R)满 足 f(x+

7、)=f(x)+sinx.当 0 x 时 ， f(x)=0， f( )=f( )=f( )+sin =f( )+sin +sin=f( )+sin +sin +sin=sin +sin +sin= .答 案 ： A. 7.一 个 多 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 多 面 体 的 表 面 积 为 ( ) A. 21+B. 18+C. 21D. 18解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ， 几 何 体 是 正 方 体 的 棱 长 为 2， 截 去 两 个 正 三 棱 锥 ， 侧 棱 互 相 垂 直 ， 侧棱 长 为 1，几 何 体 的 表 面 积 为 ： S 正 方 体 -2S

8、棱 锥 侧 +2S 棱 锥 底= =21+ .答 案 ： A. 8.从 正 方 体 六 个 面 的 对 角 线 中 任 取 两 条 作 为 一 对 .其 中 所 成 的 角 为 60 的 共 有 ( )A. 24对B. 30对C. 48对D. 60对解 析 ： 正 方 体 的 面 对 角 线 共 有 12 条 ， 两 条 为 一 对 ， 共 有 =66条 ，同 一 面 上 的 对 角 线 不 满 足 题 意 ， 对 面 的 面 对 角 线 也 不 满 足 题 意 ， 一 组 平 行 平 面 共 有 6 对 不 满足 题 意 的 直 线 对 数 ， 不 满 足 题 意 的 共 有 ： 3 6=1

9、8.从 正 方 体 六 个 面 的 对 角 线 中 任 取 两 条 作 为 一 对 .其 中 所 成 的 角 为 60 的 共 有 ： 66-18=48.答 案 ： C.9.若 函 数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的 最 小 值 为 3， 则 实 数 a 的 值 为 ( ) A. 5或 8B. -1或 5C. -1或 -4D. -4或 8解 析 ： -1 时 ， x - ， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 -1；- x -1， f(x)=-x-1+2x+a=x+a-1 -1；x -1， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 a-2， -1=3或 a-2=3， a=8或

10、a=5， a=5时 ， -1 a-2， 故 舍 去 ； -1时 ， x -1， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 2-a；-1 x - ， f(x)=x+1-2x-a=-x-a+1 - +1；x - ， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 - +1， 2-a=3 或 - +1=3， a=-1或 a=-4，a=-1时 ， - +1 2-a， 故 舍 去 ； 综 上 ， a=-4或 8.答 案 ： D.10.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 .已 知 向 量 、 ， | |=| |=1， =0， 点 Q满 足 = ( + )，曲 线 C=P| = cos + sin ，

11、0 2 ， 区 域 =P|(0 r | | R， r R.若 C 为 两 段 分 离 的 曲 线 ， 则 ( )A. 1 r R 3B. 1 r 3 RC. r 1 R 3D. 1 r 3 R 解 析 ： 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 .已 知 向 量 、 ， | |=| |=1， =0，不 妨 令 =(1， 0)， =(0， 1)，则 = ( + )=( ， )， = cos + sin =(cos ， sin )，故 P 点 的 轨 迹 为 单 位 圆 ， =P|(0 r | | R， r R表 示 的 平 面 区 域 为 ： 以 Q 点 为 圆 心 ， 内 径 为 r， 外 径

12、为 R 的 圆 环 ，若 C 为 两 段 分 离 的 曲 线 ， 则 单 位 圆 与 圆 环 的 内 外 圆 均 相 交 ，故 |OQ|-1 r R |OQ|+1， |OQ|=2， 故 1 r R 3，答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .11.若 将 函 数 f(x)=sin(2x+ )的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 ， 所 得 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 则 的最 小 正 值 是 .解 析 ： 将 函 数 f(x)=sin(2x+ )的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 ， 所 得 图 象 对 应 的

13、函 数 解 析 式 为 y=sin2(x- )+ =sin(2x+ -2 )关 于 y 轴 对 称 ，则 -2 =k + ， k z， 即 =- - ， 故 的 最 小 正 值 为 ，答 案 ： .12.数 列 a n是 等 差 数 列 ， 若 a1+1， a3+3， a5+5 构 成 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， 则 q= .解 析 ： 设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d，由 a1+1， a3+3， a5+5构 成 等 比 数 列 ，得 ： ，整 理 得 ： ，即 +5a 1+a1+4d.化 简 得 ： (d+1)2=0， 即 d=-1. q= = .答 案 ： 1.13.

14、设 a 0， n是 大 于 1的 自 然 数 ， (1+ ) n的 展 开 式 为 a0+a1x+a2x2+ +anxn.若 点 Ai(i， ai)(i=0，1， 2)的 位 置 如 图 所 示 ， 则 a= . 解 析 ： (1+ )n的 展 开 式 的 通 项 为 ，由 图 知 ， a0=1， a1=3， a2=4， ， ， ， a2-3a=0， 解 得 a=3，答 案 ： 3.14.设 F 1， F2分 别 是 椭 圆 E： x2+ =1(0 b 1)的 左 、 右 焦 点 ， 过 点 F1的 直 线 交 椭 圆 E 于 A、B两 点 ， 若 |AF1|=3|F1B|， AF2 x 轴

15、， 则 椭 圆 E 的 方 程 为 .解 析 ： 由 题 意 ， AF2 x 轴 ， |AF2|=b2， |AF1|=3|F1B|， B(- c， - b2)，代 入 椭 圆 方 程 可 得 ， 1=b 2+c2， b2= ， c2= ， x2+ =1.答 案 ： x2+ =1.15.已 知 两 个 不 相 等 的 非 零 向 量 ， ， 两 组 向 量 ， ， ， ， 和 ， ， ， 均 由 2 个 和 3 个 排 列 而 成 ， 记 S= + + + + ，S min表 示 S所 有 可 能 取 值 中 的 最 小 值 .则 下 列 命 题 正 确 的 是 (写 出 所 有 正 确 命 题

16、 的 编号 ). S 有 5 个 不 同 的 值 ； 若 ， 则 Smin与 | |无 关 ； 若 ， 则 Smin与 | |无 关 ； 若 | | 4| |， 则 S min 0； 若 | |=2| |， Smin=8| |2， 则 与 的 夹 角 为 .解 析 ： S 有 3 种 结 果 ： S1= + + + + ，S2= + + + + ，S 3= + + + + ， 故 错 误 ； S1-S2=S2-S3= + -2 + -2| | | |= 0， S 中 最 小 为 S3；若 ， 则 Smin=S3= ， 与 | |无 关 ， 故 正 确 ； 若 ， 则 S min=S3=4 +

17、， 与 | |有 关 ， 故 错 误 ； 若 | | 4| |， 则 Smin=S3=4| | | |cos + -4| | | |+ - + =0，故 正 确 ； 若 | |=2| |， Smin=S3=8| |2cos +4 =8 ， 2cos =1， = ，即 与 的 夹 角 为 .综 上 所 述 ， 命 题 正 确 的 是 ，答 案 ： . 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .16.(12分 )设 ABC 的 内 角 为 A、 B、 C 所 对 边 的 长 分 别 是 a、 b、 c， 且 b=3， c=1， A=2B.( )求 a 的 值 ；( )求

18、 sin(A+ )的 值 .解 析 ： ( )利 用 正 弦 定 理 ， 可 得 a=6cosB， 再 利 用 余 弦 定 理 ， 即 可 求 a的 值 ；( )求 出 sinA， cosA， 即 可 求 sin(A+ )的 值 .答 案 ： ( ) A=2B， ， b=3， a=6cosB， a=6 ， a=2 ； ( ) a=6cosB， cosB= ， sinB= ， sinA=sin2B= ， cosA=cos2B=2cos2B-1=- ， sin(A+ )= (sinA+cosA)= .17.(12分 )甲 乙 两 人 进 行 围 棋 比 赛 ， 约 定 先 连 胜 两 局 者 直

19、接 赢 得 比 赛 ， 若 赛 完 5 局 仍 未 出 现连 胜 ， 则 判 定 获 胜 局 数 多 者 赢 得 比 赛 .假 设 每 局 甲 获 胜 的 概 率 为 ， 乙 获 胜 的 概 率 为 ， 各局 比 赛 结 果 相 互 独 立 .( )求 甲 在 4 局 以 内 (含 4 局 )赢 得 比 赛 的 概 率 ；( )记 X 为 比 赛 决 胜 出 胜 负 时 的 总 局 数 ， 求 X 的 分 布 列 和 均 值 (数 学 期 望 ).解 析 ： (1)根 据 概 率 的 乘 法 公 式 ， 求 出 对 应 的 概 率 ， 即 可 得 到 结 论 .(2)利 用 离 散 型 随 机

20、 变 量 分 别 求 出 对 应 的 概 率 ， 即 可 求 X 的 分 布 列 ； 以 及 均 值 . 答 案 ： 用 A 表 示 甲 在 4 局 以 内 (含 4局 )赢 得 比 赛 的 是 事 件 ， Ak表 示 第 k 局 甲 获 胜 ， Bk表 示 第k局 乙 获 胜 ， 则 P(Ak)= ， P(Bk)= ， k=1， 2， 3， 4， 5( )P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A2+P(A1B2A3A4)=( )2+ ( )2+ ( )2= .( )X的 可 能 取 值 为 2， 3， 4， 5.P(X=2)=P(A 1A2)+P(B1B2)= ，P(X=3)=P(B1A2A

21、3)+P(A1B2B3)= ，P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)= ，P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= ，故 分 布 列 为 ： E(X)=2 +3 +4 +5 = .18.(12分 )设 函 数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3， 其 中 a 0.( )讨 论 f(x)在 其 定 义 域 上 的 单 调 性 ；( )当 x 0， 1时 ， 求 f(x)取 得 最 大 值 和 最 小 值 时 的 x的 值 .解 析 ： ( )利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 即 可 ；( )利 用 ( )的 结 论 ， 讨 论 两 根

22、与 1 的 大 小 关 系 ， 判 断 函 数 在 0， 1时 的 单 调 性 ， 得 出 取 最值 时 的 x 的 取 值 .答 案 ： ( )f(x)的 定 义 域 为 (- ， + )， f (x)=1+a-2x-3x 2，由 f (x)=0， 得 x1= ， x2= ， x1 x2， 由 f (x) 0得 x ， x ；由 f (x) 0 得 x ；故 f(x)在 (- ， )和 ( ， + )单 调 递 减 ，在 ( ， )上 单 调 递 增 ；( ) a 0， x 1 0， x2 0，(i)当 a 4时 ， x2 1， 由 ( )知 ， f(x)在 0， 1上 单 调 递 增 ，

23、f(x)在 x=0和 x=1处 分 别取 得 最 小 值 和 最 大 值 .(ii)当 0 a 4时 ， x2 1， 由 ( )知 ， f(x)在 0， x2单 调 dz， 在 x2， 1上 单 调 递 减 ，因 此 f(x)在 x=x2= 处 取 得 最 大 值 ， 又 f(0)=1， f(1)=a， 当 0 a 1 时 ， f(x)在 x=1处 取 得 最 小 值 ；当 a=1时 ， f(x)在 x=0和 x=1处 取 得 最 小 值 ；当 1 a 4 时 ， f(x)在 x=0 处 取 得 最 小 值 .19.(13分 )如 图 ， 已 知 两 条 抛 物 线 E 1： y2=2p1x(

24、p1 0)和 E2： y2=2p2x(p2 0)， 过 原 点 O的 两条 直 线 l1和 l2， l1与 E1， E2分 别 交 于 A1、 A2两 点 ， l2与 E1、 E2分 别 交 于 B1、 B2两 点 . ( )证 明 ： A1B1 A2B2；( )过 O 作 直 线 l(异 于 l1， l2)与 E1、 E2分 别 交 于 C1、 C2两 点 .记 A1B1C1与 A2B2C2的 面 积 分别 为 S1与 S2， 求 的 值 .解 析 ： ( )由 题 意 设 出 直 线 l1和 l2的 方 程 ， 然 后 分 别 和 两 抛 物 线 联 立 求 得 交 点 坐 标 ， 得 到

25、的 坐 标 ， 然 后 由 向 量 共 线 得 答 案 ；( )结 合 ( )可 知 A 1B1C1与 A2B2C2的 三 边 平 行 ， 进 一 步 得 到 两 三 角 形 相 似 ， 由 相 似 三 角 形的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 得 答 案 .答 案 ： ( )由 题 意 可 知 ， l1和 l2的 斜 率 存 在 且 不 为 0，设 l1： y=k1x， l2： y=k2x. 联 立 ， 解 得 .联 立 ， 解 得 .联 立 ， 解 得 .联 立 ， 解 得 . ， .， A1B1 A2B2；( )由 ( )知 A 1B1 A2B2，同 ( )可 证 B1C1

26、B2C2， A1C1 A2C2. A1B1C1 A2B2C2，因 此 ，又 ， .故 . 20.(13分 )如 图 ， 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ， A1A 底 面 ABCD， 四 边 形 ABCD为 梯 形 ， AD BC，且 AD=2BC， 过 A1、 C、 D 三 点 的 平 面 记 为 ， BB1与 的 交 点 为 Q. ( )证 明 ： Q 为 BB1的 中 点 ；( )求 此 四 棱 柱 被 平 面 所 分 成 上 、 下 两 部 分 的 体 积 之 比 ；( )若 AA1=4， CD=2， 梯 形 ABCD的 面 积 为 6， 求 平 面 与 底 面 ABCD所

27、成 二 面 角 的 大 小 .解 析 ： ( )证 明 平 面 QBC 平 面 A1D1DA， 可 得 QBC A1AD， 即 可 证 明 Q 为 BB1的 中 点 ；( )设 BC=a， 则 AD=2a， 则 = = ， VQ-ABCD= = ahd，利 用 V 棱 柱 = ahd， 即 可 求 出 此 四 棱 柱 被 平 面 所 分 成 上 、 下 两 部 分 的 体 积 之 比 ；( ) ADC中 ， 作 AE DC， 垂 足 为 E， 连 接 A1E， 则 DE 平 面 AEA1， DE A1E， 可 得 AEA1为平 面 与 底 面 ABCD所 成 二 面 角 ， 求 出 S ADC

28、=4， AE=4， 可 得 tan AEA1= =1， 即 可 求 平 面 与 底 面 ABCD所 成 二 面 角 的 大 小 .答 案 ： ( ) 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ， 四 边 形 ABCD为 梯 形 ， AD BC， 平 面 QBC 平 面 A 1D1DA， 平 面 A1CD与 面 QBC、 平 面 A1D1DA的 交 线 平 行 ， QC A1D QBC A1AD， = ， Q为 BB1的 中 点 ；( )连 接 QA， QD， 设 AA1=h， 梯 形 ABCD 的 高 为 d， 四 棱 柱 被 平 面 所 分 成 上 、 下 两 部 分 的 体积 为 V1，

29、V2， 设 BC=a， 则 AD=2a， = = ， VQ-ABCD= = ahd， V1= ， V 棱 柱 = ahd， V2= ahd， 四 棱 柱 被 平 面 所 分 成 上 、 下 两 部 分 的 体 积 之 比 ；( )在 ADC中 ， 作 AE DC， 垂 足 为 E， 连 接 A1E， 则 DE 平 面 AEA1， DE A1E， AEA 1为 平 面 与 底 面 ABCD所 成 二 面 角 ， BC AD， AD=2BC， S ADC=2S ABC， 梯 形 ABCD的 面 积 为 6， DC=2， S ADC=4， AE=4， tan AEA1= =1， AEA1= ， 平

30、面 与 底 面 ABCD所 成 二 面 角 的 大 小 为 .21.(13分 )设 实 数 c 0， 整 数 p 1， n N *.( )证 明 ： 当 x -1且 x 0 时 ， (1+x)p 1+px；( )数 列 an满 足 a1 ， an+1= an+ an1-p.证 明 ： an an+1 .解 析 ： 第 ( )问 中 ， 可 构 造 函 数 f(x)=(1+x)p-(1+px)， 求 导 数 后 利 用 函 数 的 单 调 性 求 解 ；对 第 ( )问 ， 从 a n+1 着 手 ， 由 an+1= an+ an1-p， 将 求 证 式 进 行 等 价 转 化 后 即 可 解

31、决 ，用 相 同 的 方 式 将 an an+1进 行 转 换 ， 设 法 利 用 已 证 结 论 证 明 .答 案 ： ( )令 f(x)=(1+x)p-(1+px)， 则 f (x)=p(1+x)p-1-p=p(1+x)p-1-1. 当 -1 x 0 时 ， 0 1+x 1， 由 p 1知 p-1 0， (1+x)p-1 (1+x)0=1， (1+x)p-1-1 0， 即 f (x) 0， f(x)在 (-1， 0上 为 减 函 数 ， f(x) f(0)=(1+0) p-(1+p 0)=0， 即 (1+x)p-(1+px) 0， (1+x)p 1+px. 当 x 0 时 ， 有 1+x

32、1， 得 (1+x)p-1 (1+x)0=1， f (x) 0， f(x)在 0， + )上 为 增 函 数 ， f(x) f(0)=0， (1+x)p 1+px.综 合 、 知 ， 当 x -1且 x 0 时 ， 都 有 (1+x) p 1+px， 得 证 .( )先 证 an+1 . an+1= an+ an1-p， 只 需 证 an+ an1-p ， 将 写 成 p-1个 相 加 ， 上 式 左 边= ，当 且 仅 当 ， 即 时 ， 上 式 取 “ =” 号 ，当 n=1时 ， 由 题 设 知 ， 上 式 “ =” 号 不 成 立 ， a n+ an1-p ， 即 an+1 .再 证 an an+1.只 需 证 an an+ an1-p， 化 简 、 整 理 得 anp c， 只 需 证 an c .由 前 知 a n+1 成 立 ， 即 从 数 列 an的 第 2 项 开 始 成 立 ，又 n=1时 ， 由 题 设 知 成 立 ， 对 n N*成 立 ， an an+1.综 上 知 ， a n an+1 ， 原 不 等 式 得 证 .